2014石景山区中考数学二模

2014石景山区中考数学二模
一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母填在题后括号内．
1．（4分）的倒数是（）
A．5 B．C． D．
2．（4分）某省去年底森林面积为2801700公顷，将2801700用科学记数法表示应为（）
A．28017×102B．2.8017×106C．28.017×105D．0.28017×107
3．（4分）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等腰三角形、平行四边形四个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（）A．B．C．D．1
4．（4分）关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是（）
A．0 B．8 C．4±2D．0或8
5．（4分）如图，已知△ABC中，∠B=50°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于（）
A．130°B．230°C．270°D．310°
6．（4分）如图是石景山当代商场地下广场到地面广场的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下广场、地面广场电梯口处的水平线，已知∠ABC=135°，BC的长约是m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）m．
A．6 B． C． D．
7．（4分）下面一组数据是10名学生测试跳绳项目的成绩（单位：个/分钟）．
176 180 184 180 170 176 172 164 186 180
该组数据的众数、中位数、平均数分别为（）
A．180，180，178 B．180，178，178
C．180，178，176.8 D．178，180，176.8
8．（4分）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的位置如图1所示，点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，
2），点D的坐标为（﹣3，1）．矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，设运动时间为x（0≤x≤3）秒，第一象限内的图形面积为y，则下列图象中表示y与x的函数关系的图象大致是（）
A．B．C． D．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．（4分）分解因式：ax2﹣4ay2=．
10．（4分）已知二次函数y=x2+bx+8的图象的顶点在y轴右侧，则b的一个值可为（只需写出符合条件的一个b的值）．
11．（4分）已知A（﹣1，m）与B（2，m﹣3）是反比例函数图象上的两个点．则m的值．12．（4分）如图，已知直线l：y=x，过点A1（1，0）作x轴的垂线交直线l于点B1，以A1 B1为边作正方形A1B1C1A2，过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以A2 B2为边作正方形A2B2C2A3，…；则点A5的坐标为，点C n的坐标为．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．（5分）计算：+2sin60°+（）﹣1﹣（﹣3）0．
14．（5分）解不等式组．
15．（5分）已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE，求证：AE=BD．
16．（5分）已知当x=1时，2ax2+bx的值为﹣2，求当x=2时，ax2+bx的值．
17．（5分）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．
18．（5分）北京某郊区景点门票价格：成人票每张40元，学生票每张是成人票的半价．小明和小华两家人买了12张门票共花了420元，求两家人的学生和成人各有几人？
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．（5分）如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，BA=2．以OB为边，向外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
20．（5分）以下是根据北京市国民经济和社会发展统计公报中的相关数据，绘制的北京市年生产总值统计图的一部分．
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）根据北京市2009﹣﹣2013年生产总值年增长率，请计算出2011年北京市年生产总值是（结果精确到1百亿元），并补全条形统计图；
（2）若从2013年以后，北京市年生产总值都按15%的年增长率增长，则请你估算，若年生产总值不低于2009年的2倍，至少要到年．（填写年份）
（3）在（1）的条件下，2009﹣﹣2013这四年间，比上一年增长的生产总值的平均数为多少百亿元？若按此平均数增长，请你预测2014年北京地区的生产总值多少百亿元？
21．（5分）如图，在△ABC中，∠BCA=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点P，Q是AC的中点．
（1）求证：直线PQ与⊙O相切；
（2）连结PO并延长交⊙O于点E、交AC的延长线于点F，连结PC，若OC=，tan∠OPC=，求EF的长．
22．（5分）阅读下列材料：
小明同学遇到了这样一个问题：如图，M是边长为a的正方形ABCD内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积分割成面积相等的四个部分．
小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目．如图2，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将以点O为顶点的直角绕点O任意旋转，且直角两边与BA，CB相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值．可以类比此问题解决．
（1）请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为；
参考小明同学的想法，解答问题：
（2）请你在图3中，解决原问题
（3）如图4．在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，保留作图痕迹．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23．（7分）关于x的一元二次方程x2﹣3（m+1）x+3m+2=0．
（1）求证：无论m为何值时，方程总有一个根大于0；
（2）若函数y=x2﹣3（m+1）x+3m+2与x轴有且只有一个交点，求m的值；
（3）在（2）的条件下，将函数y=x2﹣3（m+1）x+3m+2的图象沿直线x=2翻折，得到新的函数图象G．在x，y轴上分别有点P（t，0），Q（0，2t），其中t＞0，当线段PQ与函数图象G只有一个公共点时，求t的值．
24．（7分）将△ABC绕点A顺时针旋转α得到△ADE，DE的延长线与BC相交于点F，连接AF．
（1）如图1，若∠BAC=α=60°，DF=2BF，请直接写出AF与BF的数量关系；
（2）如图2，若∠BAC＜α=60°，DF=3BF，猜想线段AF与BF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，若∠BAC＜α，DF=mBF（m为常数），请直接写出的值（用含α、m的式子表
示）．
25．（8分）在平面直角坐标系xOy中，射线l：．点A是第一象限内一定点，，射线OA 与射线l的夹角为30°．射线l上有一动点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线l匀速运动，同时x 轴上有一动点Q从点O出发，以相同的速度沿x轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示PQ的长．
（2）若当P、Q运动某一时刻时，点A恰巧在线段PQ上，求出此时的t值．
（3）定义M抛物线：顶点为P，且经过Q点的抛物线叫做“M抛物线”．若当P、Q运动t秒时，将△PQA绕其某边中点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在“M抛物线”上，求此时t的值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共32分，每小题4分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母填在题后括号内．
1．【解答】的倒数是﹣，故选：D．
2．【解答】将2801700用科学记数法表示为：2.8017×106．故选：B．
3．【解答】∵四张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等腰三角形、平行四边形四个图案．中心对称图形的是圆、矩形、平行四边形，
∴从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为：．
故选C．
4．【解答】∵一元二次方程x2+（m﹣2）x+m+1=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即（m﹣2）2﹣4×1×（m+1）=0，
整理，得m2﹣8m=0，
解得m1=0，m2=8．
故选D．
5．【解答】∠BDE+∠BED=180°﹣∠B，=180°﹣50°，=130°，
∠1+∠2=360°﹣（∠BDE+∠BED）=360°﹣130°=230°．
故选：B．
6．【解答】过点C作AB的延长线的垂线CE，即乘电梯从点B到点C上升的高度h，
∵∠ABC=135°，
∴∠CBE=180°﹣∠ABC=45°，
∴CE=BC•sin∠CBE=6•sin45°=6•=6（m）．
∴h=6（m）．
故选A．
7．【解答】∵180出现了3次，出现的次数最多，
∴众数是180；
把这组数据从小到大排列为：164，170，172，176，176，180，180，180，184，186，
最中间两个数的平均数是（176+180）÷2=178，
则中位数是178；
这组数据的平均数是（176+180+184+180+170+176+172+164+186+180）÷10=176.8；
故选C．
8．【解答】如图1，∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，2），点D的坐标为（﹣3，1），
∴OA=OB=2，△AOB是等腰直角三角形，AD==，
∴AB=2．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=，AB=CD=2，∠DAB=∠ABC=∠C=∠D=90°．
分三种情况：
①当0≤x≤1时，矩形ABCD落在第一象限内的图形是三角形PB′Q，如图2
∵OA′=2﹣x，△A′OP是等腰直角三角形，
∴A′P=OA′=（2﹣x），
∴PB′=A′B′﹣A′P=2﹣（2﹣x）=x，
∵△PB′Q是等腰直角三角形，
∴y=PB′2=×（x）2=x2；
②当1＜x≤2时，矩形ABCD落在第一象限内的图形是梯形PB′CQ，如图3
∵OA′=2﹣x，△A′OP是等腰直角三角形，
∴A′P=OA′=（2﹣x），
∴PB′=A′B′﹣A′P=2﹣（2﹣x）=x，
D′Q=（2﹣x）+=3﹣x，
∴C′Q=2﹣（3﹣x）=x﹣，
∴y=（C′Q+B′P）•B′C′=（x﹣+x）×=2x﹣1；
③当2＜x≤3时，矩形ABCD落在第一象限内的图形是五边形PA′B′CQ，如图4．
∵OA′=x﹣2，△A′OP是等腰直角三角形，
∴A′P=OA′=（x﹣2），
∴PD′=A′D′﹣A′P=﹣（x﹣2）=3﹣x，
∴S△PD′Q=PD′2=×（3﹣x）2=x2﹣6x+9；
∴y=S矩形A′B′C′D′﹣S△PD′Q=2×﹣（x2﹣6x+9）=﹣x2+6x﹣5；
纵观各选项，只有D选项图形符合．
故选D．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．【解答】ax2﹣4ay2=a（x2﹣4y2）=a（x+2y）（x﹣2y）．
10．【解答】二次函数y=x2+bx+8的图象的顶点在y轴右侧，
∴，b＜0，b=﹣1，
故答案为：﹣1．
11．【解答】∵A（﹣1，m）与B（2，m﹣3）是反比例函数图象上的两个点，
∴（﹣1）×m=2×（m﹣3），解得m=2．
故答案为：2．
12．【解答】直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，可知B1点的坐标为（1，1），以A1 B1为边作正方形A1B1C1A2，A1B1=A1A2=1，
OA2=1+1=2，点A2的坐标为（2，0），C1的坐标为（2，1），
这种方法可求得B2的坐标为（2，2），故点A3的坐标为（4，0），C2的坐标为（4，2），
此类推便可求出点点A5的坐标为（16，0），点C n的坐标为（2n，2n﹣1）．
故答案为（16，0），（2n，2n﹣1）．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．【解答】原式=3+2×+6﹣1=4+5．
14．【解答】∵解不等式2x﹣1≥x+1得：x≥2，
解不等式x+8≤4x﹣1得：x≥3，
∴不等式组的解集为x≥3．
15．【解答】证明：∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC，
∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD．
16．【解答】将x=1代入2ax2+bx=﹣2中，
得2a+b=﹣2，
当x=2时，ax2+bx=4a+2b，=2（2a+b），=2×（﹣2），=﹣4．
17．【解答】（1）证明：∵△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，
∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）=0，解得，m=2，
则方程的另一根为：m+2﹣1=2+1=3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；
该直角三角形的周长为1+3+=4+；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2．
18．【解答】设两家人有学生x人，成人y人，
据题意得：，解得：．
答：两家人的学生有3人，成人有9人．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．【解答】（1）证明：在Rt△OAB中，D为OB的中点，
∴DO=DA，
∴∠DAO=∠DOA=30°，∠EOA=90°，
∴∠AEO=60°
又∵△OBC为等边三角形
∴∠BCO=∠AEO=60°，
∴BC∥AE，
∵∠BAO=∠COA=90°，
∴OC∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形．
（2）解：在Rt△ABO中，
∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，AB=2，
∴OA=AB•tan60°=2×=．
在Rt△OAG中，OA2+OG2=AG2，设OG=x，
由折叠可知：AG=GC=4﹣x，可得，
解得，
∴OG=．
20．【解答】（1）141×15.6%+141≈22+141=163（百亿元）．
统计图补充如图：
（2）年生产总值2009年的2倍是：122×2=244（百亿元），
而195（1+15%）=224.25（百亿元），
195（1+15%）2=257.8875（百亿元）＞244（百亿元），
2013+2=2015，
即若年生产总值不低于2009年的2倍，至少要到2015年；
（3）增长的生产总值的平均数：（195﹣122）÷4=18.25，
即2009﹣2013这四年间，比上一年增长的生产总值的平均数为18.25百亿元；195+18.25=213.25，
故预测2014年北京地区的生产总值为213.25百亿元．
故答案为163百亿元；2015．
21．【解答】（1）证明：连结PO、PC，如图，∵BC是⊙O的直径，
∴∠BPC=90°，
∴∠APC=90°，
又∵Q是AC的中点，
∴PQ=CQ，
∴∠CPQ=∠PCQ，
∵OP=OC
∴∠OPC=∠OCP，
∴∠OPC+∠CPQ=∠OCP+∠PCQ=∠BCA=90°，∴OP⊥PQ，
∴直线PQ与⊙O相切；、
（2）解：连结CE，如图，
∵EP是直径，
∴∠ECP=90°，即∠ECO+∠OCP=90°，
又∵∠ECO+∠ECF=90°，
∴∠ECF=∠OCP=∠OPC，
而∠F=∠F
∴△FEC∽△FCP，
∴==，
在Rt△EPC中，tan∠OPC==，
∴==，
∴CF=2EF，PF=2CF，
∴PF=4EF，
∴PE=3EF，
即3EF=2×，
∴EF=．
22．【解答】（1）如图2，连接BO，
∵O是边长为a的正方形ABCD的中心，
∴BO=CO，∠ABO=∠ACB=45°，
∵∠CON+∠BON=90°，∠MOB+∠BON=90°，
∴∠MOB=∠CON，
在△BOM和△CON中，
∴△BOM≌△CON（ASA），
∴重叠部分的面积为：S△BOC=S正方形ABCD=；
故答案为：；
（2）如图3所示：
（3）如图4所示：当BQ=CD=b时，PQ将四边形ABCD面积二等分．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）23．【解答】（1）解方程x2﹣3（m+1）x+3m+2=0，得x1=1，x2=3m+2，
∵x1=1＞0
∴无论m为何值时，方程总有一个根大于0；
（2）∵若函数y=x2﹣3（m+1）x+3m+2与x轴有且只有一个交点，
∴△=9（m+1）2﹣4（3m+2）=0，
∴m=﹣，
（3）当时，函数y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
依题意，沿直线x=2翻折后的解析式为：y=（x﹣3）2=x2﹣6x+9，
可得，y=（x﹣3）2=x2﹣6x+9与x，y轴的交点分别为（3，0），（0，9）．设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），
由P（t，0），Q（0，2t）．
∴直线PQ的解析式为y=﹣2x+2t，
①当线段PQ与函数图象相切时，有：﹣2x+2t=x2﹣6x+9，
整理得：x2﹣4x+9﹣2t，
△=16﹣4（9﹣2t）=0
∴
②当线段PQ经过点（0，9）时，2t=9
∴
当t＞时，P（t，0）在（3，0）的右侧，线段PQ只与图象G的右侧有交点，即当t＞时，线段PQ与函数图象G只有一个公共点．
综上：当或t＞时，线段PQ与函数图象G只有一个公共点．
24．【解答】解：（1）AF=BF．
理由如下：在DF上截取DG=BF，连接AG，（如图1），
由旋转得AD=AB，∠D=∠B，
在△ADG和△ABF中，，
∴△ADG≌△ABF（SAS），
∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，
∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=60°．
∴△GAF是等边三角形，
又∵DF=2BF，
∴AF=GF=DF﹣DG=DF﹣BF=BF，
即AF=BF；
（2）解：猜想：AF=2BF．
证明：在DF上截取DG=BF，连接AG（如图2）．
由旋转得AD=AB，∠D=∠B，
在△ADG和△ABF中，，
∴△ADG≌△ABF（SAS），
∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，
∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=60°，
∴△GAF是等边三角形，
又∵DF=3BF，
∴AF=GF=DF﹣DG=DF﹣BF=2BF，
即AF=2BF；
（3）在DF上截取DG=BF，连接AG，（如图3），
由旋转得AD=AB，∠D=∠B，
在△ADG和△ABF中，，
∴△ADG≌△ABF（SAS），
∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，
∴∠GAF=∠GAB+∠BAF=∠GAB+∠DAG=∠DAB=α，
∴△GAF是等腰三角形，
∵DF=mBF，
∴GF=DF﹣DG=mBF﹣BF=（m﹣1）BF，
过点A作AH⊥DF于H，则FH=GF=（m﹣1）BF，∠FAH=∠GAF=α，
∵sin∠FAH=，
∴sin=，
∴=．
25．【解答】（1）∵射线l解析式为，∴∠POQ=60°．
∵P，Q运动速度相同，
∴OP=OQ=2t，
∴△OPQ是等边三角形，
∴PQ=2t；
（2）由题意：A（6，2），P（，3t），Q（2t，0），
过点A作AB⊥x轴于B，如图1，
则AB=2，
∵在Rt△ABQ中，∠ABQ=90°，∠AQB=60°，
∴，
∴OQ=OB+BQ=8，
∴秒；
（3）由抛物线的对称性知：抛物线经过P、Q、O三点P（，3t），Q（2t，0），O（0，0），如图2，不妨设：抛物线M的解析式为y=ax（x﹣2t），
将P（，3t）代入可得，
得到抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x，
显然：△PQA绕PQ中点旋转180°后，三个对应顶点在抛物线上，
设A的对应点为A′，如图3，
得到四边形PAQA′是平行四边形，
∵P（，3t），Q（2t，0），A（6，2），
∴A′（3t﹣6，3t﹣2），
将A′（3t﹣6，3t﹣2），代入抛物线y=﹣x2+2x，
解得或，
∴当经过秒或秒时，△PQA绕PQ中点旋转180°后，三个对应顶点在“M抛物线”上．。