2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第二章推理与证明2.3

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第十五页，编辑于星期日：点 二十一分。
【跟踪训练 1】 用数学归纳法证明：1－141－91·1－116…1－n12＝n2＋n1 (n≥2，n∈N*)．
证明 ①当 n＝2 时， 左边＝1－41＝43，右边＝22＋ ×21＝43， ∴左边＝右边．∴当 n＝2 时，等式成立． ②假设当 n＝k(k≥2，k∈N*)时，等式成立， 即1－141－19…1－k12＝k＋2k1，
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探究3 用数学归纳法证明整除性问题 例 3 用数学归纳法证明 42n＋1＋3n＋2 能被 13 整除，其中 n∈N*.
[证明] 证法一：①当 n＝1 时，42×1＋1＋31＋2＝91 能被 13 整除，故结论 成立．
第二十四页，编辑于星期日：点 二十一分。
因为 42k＋1·13 能被 13 整除，42k＋1＋3k＋2 能被 13 整除， 所以 42k＋1·13＋3(42k＋1＋3k＋2)能被 13 整除． 所以当 n＝k＋1 时命题也成立， 由①②知，当 n∈N*时，42n＋1＋3n＋2 能被 13 整除．
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证法二：①当 n＝1 时，42×1＋1＋31＋2＝91 能被 13 整除，故结论成立． ②假设当 n＝k(k≥1，且 k∈N*)时，即 42k＋1＋3k＋2 能被 13 整除，则当 n ＝k＋1 时， [42(k＋1)＋1＋3k＋3]－(42k＋1＋3k＋2) ＝(42k＋1·42＋3k＋2·3)－(42k＋1＋3k＋2) ＝42k＋1·13＋2(42k＋1＋3k＋2)． 因为 42k＋1·13 能被 13 整除，42k＋1＋3k＋2 能被 13 整除，所以[42(k＋1)＋1＋3k＋ 3]－(42k＋1＋3k＋2)能被 13 整除，所以 42(k＋1)＋1＋3k＋3 能被 13 整除． 所以当 n＝k＋1 时命题也成立． 由①②知，当 n∈N*时，42n＋1＋3n＋2 能被 13 整除．
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(2)要使骨牌全部倒下，骨牌的摆放有什么要求？(骨牌的间距不大于骨牌 的高度)
(3)这样做的原因是什么？这样摆放可以达到什么样的效果？(前一张骨 牌倒下，适当的间距导致后一张骨牌也倒下)
(4)如果推倒的不是第一张骨牌，而是其他位置上的某一张骨牌，能使所 有的骨牌倒下吗？
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拓展提升 在推证 n＝k＋1 时，为了凑出归纳假设，采用了“增减项”技巧，所以 证明整除性问题的关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等手 段，凑出 n＝k 时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．
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可以断定 □04 这个命题对 n∈N*且 n≥n0 的所有正整数都成立 ．
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2．数学归纳法的步骤中，第一步的作用是 □05 递推的基础 ，第二步的 作用是 □06 递推的依据 ．
3．数学归纳法实质上是 □07 演绎推理法 的一种，它是一种 □08 严格 的证明方法 ，它只能 □09 证明结论 ，不能发现结论，并且只能证明 □10 与
②假设当 n＝k(k≥1，且 k∈N*)时，42k＋1＋3k＋2 能被 13 整除，则当 n＝k ＋1 时，
42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3(42k＋1＋3k＋ 2)，
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利―用 ―→②…
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第八页，编辑于星期日：点 二十一分。
运用类比的方法，我们不难将推倒骨牌的原理进行迁移、升华，进而得
到数学归纳法证明的步骤：
(1)当 n＝1 时，结论成立；
(2)假设当 n＝k 时结论成立，证明 n＝k＋1 时结论也必定成立．
当n＝1时 结论成立
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2．做一做
(1)已知 f(n)＝1n＋n＋1 1＋n＋1 2＋…＋n12，则 f(n)共有________项，f(2)＝
________.
(2)定义一种运算“*”，对于正整数 n，满足以下运算性质：①1]
.
(3)设 Sk＝k＋1 1＋k＋1 2＋k＋1 3＋…＋21k，则 Sk＋1＝________(用含 Sk 的代
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第十六页，编辑于星期日：点 二十一分。
那么，当 n＝k＋1 时， 1－411－91…1－k121－k＋1 12 ＝k＋2k11－k＋112＝k＋2k1·kkk＋＋122＝2kk＋＋21 ＝k2＋k＋1＋11， 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 根据①②可知，等式对任意 n≥2，n∈N*都成立．
数式表示)． 答案 (1)n2－n＋1 12＋13＋14 (2)2×3n－1
(3)Sk＋2k＋1 1－2k＋1 2
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第十二页，编辑于星期日：点 二十一分。
探究1 用数学归纳法证明等式问题 例 1 已知 n∈N*，用数学归纳法证明： 1－21＋31－41＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n.
由①②可知，原不等式对任意 n∈N*都成立．
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第十九页，编辑于星期日：点 二十一分。
拓展提升 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大些，方法更灵活些， 用数学归纳法证明的第二步，即已知 f(k)>g(k)，求证 f(k＋1)>g(k＋1)时应注意 灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中 要注意以下两点： (1)先凑假设，作等价变换； (2)瞄准当 n＝k＋1 时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．
[证明] ①当 n＝1 时，左边＝1－21＝21，右边＝21，命题成立． ②假设当 n＝k(k∈N*，k≥1)时命题成立，即 1－21＋31－41＋…＋2k－1 1－21k＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k. 那么当 n＝k＋1 时，
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第十三页，编辑于星期日：点 二十一分。
2．3 数学归纳法
第一页，编辑于星期日：点 二十一分。
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1．数学归纳法的内容如下：一个 □01 与正整数有关
的命题，如果
(1) □02 当 n 取第一个值 n0(例如 n0＝ห้องสมุดไป่ตู้ 或 n0＝2 等)时结论正确 ，(2) □03 假设当
n＝k(k∈N*，且 k≥n0)时结论正确，能够证明当 n＝k＋1 时结论也正确 ，那么
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第七页，编辑于星期日：点 二十一分。
(5)能够成功地推倒排成一排的骨牌的条件是什么？(通过观察和思考，可
以得到的结论是：①第一张骨牌被推倒；②若某一张骨牌倒下，则其后面的
一张骨牌必定倒下)
第一张骨牌 被推倒
利――用→②
第二张骨牌 被推倒
利――用→②
第三张骨牌 被推倒
即
1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1 k<2
k.
则当 n＝k＋1 时，
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第十八页，编辑于星期日：点 二十一分。
1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1＋ k
1 k＋1
<2
k＋
k1＋1＝2
k
k＋1＋1 k＋1
<
k2＋k＋k＋1 12＋1＝2kk＋＋11＝2
k＋1.
∴当 n＝k＋1 时，不等式成立．
利―用―→2
当n＝2时 结论成立
利―用―→2
当n＝3时 结论成立
利―用―→2…
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第九页，编辑于星期日：点 二十一分。
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)与正整数 n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( × ) (2)数学归纳法的第一步 n0 的初始值一定为 1.( × ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( √ )
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第十七页，编辑于星期日：点 二十一分。
探究2 用数学归纳法证明不等式问题
例2
证明不等式
1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1 n<2
n(n∈N*)．
[证明] ①当 n＝1 时，左边＝1，右边＝2.
左边<右边，不等式成立．
②假设当 n＝k(k∈N*)时，不等式成立，
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第二十页，编辑于星期日：点 二十一分。
【跟踪训练 2】 用数学归纳法证明 1＋n2≤1＋12＋13＋…＋21n≤12＋n(n ∈N*)．
证明 ①当 n＝1 时，1＋12≤1＋211≤21＋1 ∴32≤1＋12≤32，命题成立． ②假设当 n＝k(k∈N*)时命题成立，即 1＋2k≤1＋12＋13＋…＋21k≤21＋k，
左边＝1－21＋31－41＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋1 1－2k＋1 2＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋
21k＋
1 2k＋1
－
2k＋1 2＝k＋1 2
＋
k＋1 3＋…＋
21k＋
1 2k＋1
＋
k＋1 1－
1 2k＋2
＝k＋1 2＋
k＋1 3＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＝右边．
故当 n＝k＋1 时，命题也成立．
正整数相关 的命题．
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第四页，编辑于星期日：点 二十一分。
4．常把归纳法和数学归纳法结合起来，形成□11 归纳—猜想—证明 的思想 方法，既可以 □12 发现结论 ，又能 □13 给出严格的证明 ，组成一套完整的
数学研究的思想方法．
5．用数学归纳法证明命题时，两步 □14 缺一不可 ，并且在第二步的推 理证明中必须用 □15 归纳假设 ，否则不是数学归纳法．
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≤12＋k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k <12＋k＋21k＋21k＋…＋21k ＝12＋k＋2k·21k＝12＋(k＋1)， 即 n＝k＋1 时，命题成立． 由①和②可知，命题对所有 n∈N*都成立．
综上可知，命题对一切非零自然数都成立．
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第十四页，编辑于星期日：点 二十一分。
拓展提升 用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题时，关键在于“先看项”， 弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是 否有关，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，等式两边会增加多少项．
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第二十一页，编辑于星期日：点 二十一分。
则当 n＝k＋1 时， 1＋21＋31＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k ≥1＋2k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k >1＋2k＋2k＋1 2k＋2k＋1 2k＋…＋2k＋1 2k ＝1＋2k＋2k·2k1＋1＝1＋k＋2 1. 又 1＋21＋31＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k
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第五页，编辑于星期日：点 二十一分。
对数学归纳法本质的理解 数学归纳法可能与同学们以前所接触的证明方法差别很大，为了达到 “知其然，知其所以然”的效果，可对比以下问题理解数学归纳法的实质． (1)有 n 个骨牌排成如图所示的一排，现推倒第一张骨牌，会有什么现象？
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第二十七页，编辑于星期日：点 二十一分。
【跟踪训练 3】 用数学归纳法证明：62n－1＋1 能被 7 整除，其中 n∈ N*.
证明 ①当 n＝1 时，62－1＋1＝7 能被 7 整除． ②假设当 n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1 能被 7 整除． 那么当 n＝k＋1 时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1 ＝36(62k－1＋1)－35. ∵62k－1＋1 能被 7 整除，35 也能被 7 整除， ∴当 n＝k＋1 时，62(k＋1)－1＋1 能被 7 整除． 由①②知命题成立．