湖北省随州市曾都区两校2023届九年级下学期3月段考数学试卷(含答案)

九年级数学测试卷
时间：120分钟分值：120分
一、选择题（共10小题，每题3分）
1.-2023的相反数是（）
A. -2023
B.2023
C.2022
D.2021
2.科学家在实验室中检测出某种病毒的直径约为0.000000105米，该直径用科学记数法表示为（）
A.1.05×10-6
B.10.5×10-6
C.1.05×10-7
D.0.105×10-7
3.下列计算正确的是（）
A.a2·a3=a6
B.(2a)3=8a3
C.2a3+3a3=5a5
D.(a+1)2=a2+1
4.将一副直角三角尺按如图所示方式放置,已知AE∥BC,则∠AFD的度数是( ）
A .45°
B.50°
C.75°
D.60°
5.某校开展安全知识竞赛，进入决赛的有6名同学，他们的成绩分别是：100,99,90,99,88,97.这6名同学的决赛成绩的中位数和众数分别是（）
A.99,99
B.90,98
C.98,99
D.94.5,99
6.如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，（每次飞镖均落在纸板上），则击中阴影区域的概率是（）
A. B.
C. D.
7.甲乙两人在直线跑道上同起点、同终点，同方向
匀速跑步500米,先到终点的人原地休息,已知甲先出发
2秒．在跑步过程中,甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出
发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出下列结论：①
a=8；②b=90；③c=123.其中错误的是（）
A.②
B.①②
C.②③
D.①②③
8.如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东
方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小
船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是3千米.则A，B两观测站之间
的距离为（）
（注：结果有根号的保留根号）.
A.3+3
B.3+3
C.6
D.6
9.对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中较大的数，
如：max{2，4}＝4．按照这个规定．方程max{x，﹣x}＝的解为（ ）
A．B．C．或D．或﹣1 10.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-1,且过点（1,0），顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：（1）4a-2b+c<0; (2)8a+c=0; (3)c=3a-3b;
(4)直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1,x2,则
x1+x2+x1x2=-5，其中正确的有（）
A、4个 B 、3个C、2个D、1个
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.2-1-tan60°+（π-2011）0+|-|=__________.
12.如图，AB与圆O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为
点D，AB=BC=4，则∠AOB=____________.
13. 《算法统宗》是我国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住.设店
中共有x间房，可求得x的值为__________.
14. 如图，点A在反比例函数y=（x＜0）的图象上，点B
在反比例函数y=（x＞0）的图象上，且∠AOB=90°，tan∠OBA的值等于，则k的值为____________.
15. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕
点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则EC的值为
__________.
16. 如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB=2，对折矩形纸片ABCD，使AD与
BC重合，折痕为EF，展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN
交BC于点G．则∠ABN=__________，若P为线段BM上一动点，H是BN
的中点，则PN+PH的最小值是_______________.
三、解答题（共72分）
17.先化简，再求值（6分，4+2）
，其中x是x-3<0的非负整数解.
18.（本题7分，3+4）已知关于x的一元二次方程x2 +（2﹣2k）x+ k2 = 0有两个实数根x1、x2
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1、x2满足| x1+x2|+1=x1x2，求k的值.
19.（本题8分，4+4）在平行四边形ABCD中，O是AC的中点, 过O作EF⊥AC，
分别交CD，AB于点E，F，接AE，CF.
（1）求证：四边形AECF是菱形；（2)若CF平
分∠ACB，且AF=6，BF=2，求BC的长.
20.（本题9分，2+2+1+4）某中学积极落实国家的“双减”教育政策，决定增设：A跳绳；B书法；C舞蹈；D足球四项课外活动来促进学生全面发展，学校面
向七年级参与情况开展了“你选修哪项活动”的问卷调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了名同学；
（2）条形统计图中，m= ，n= ；
（3）扇形统计图中，书法B所在扇形的圆心角的度数是；
（4）小红和小强分别从这四项活动中任选一门参加，求两人恰好选到同一门课程的概率.(用树状图或列表法解答).
21.（本题9分，4+5）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若BC＝5，tan∠BAC=，求DE的长.
22.（本题10分，2+4+4）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价
为18元/千克．设第x天的销售价格为y（元/千克），销售量为m千克．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当1≤x≤30时，y＝40；当31≤x≤50时，y与x满足一次函数关系，且当x＝36时，y＝37；x＝44时，y ＝33．②m与x的关系为m＝5x+50．
（1）当31≤x≤50时，y与x的关系式为____________.
（2）x为多少时，当天的销售利润w（元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润w（元）随x的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a元/千克，求a的最小值．
23.（11分，4+3+4）爱好数学的小明在探究两条直线的位置关系查阅资料时，
发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图(1)、图(2)、图(3)中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
[特例探究]
c=6时，
[归纳证明]
(2)请你观察图1中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表
示出来，并利用图3证明你的结论．
[拓展证明]
（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且
AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长.
24.（本题12分，3+2+3+4）如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A 、B
两点，AB ＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x=1.
（1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；
（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x=1的对称点F正好落在BC 上，求点F的坐标；
（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x 轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC 于点Q .设运动时间为t(t>0)秒.
①若△AOC 与△BMN 相似，请直接写出t的值；
②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由.
九年级数学试题答案
一、选择题
1. B
2.C
3.B
4.C
5.C
6.B
7.A
8.B
9.D 10.C
二、填空题
11. -1 12. 60° 13. 8 14. -6 15. 416. 60°，
三、解答题（本题6分）
17.（本题6分，4+2）解：原式=（-x-2）（x-1）=-x2-x+2
∵x-3<0
∴x<3
∴x的非负整数解是0、1、2
∵x-1≠0x-2≠0
∴x≠1x≠2
∴x=0
∴原式=2
18. （本题7分,3+4）解：（1）方程整理为x2﹣2（k﹣1）x+k2=0，
根据题意得△=4（k﹣1）2﹣4k2 ≥ 0，解得k ≤；
（2）根据题意得x1+x2 =2（k﹣1），x1•x2 = k2，
∵|x1+x2|+1=x1x2，∴| 2（k﹣1）|+1=k2，∵k ≤，∴2（k﹣1）< 0
∴﹣2（k﹣1）+1=k2，整理得k2+2k﹣3=0，解得k1=﹣3，k2=1（舍去），∴k=﹣3．
19.（本题8分，4+4）
解：(1)四边形AFCE是菱形，
理由：∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
在△EOC和△FOA中，
∵∠DCA=∠CAB ，CO=AO ，∠EOC=FOA
∴△EOC≌△FOA（ASA），
∴OE=OF，
又∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形.
(2)∵FA=FC
∴∠FAC=∠ACF
∴∠CFB=∠FAC+∠ACF=2∠ACF
∵∠ACB=2∠ACF
∴ ∠CFB= ∠ACB ∵∠B=∠B ∴△CFB ∽△ABC ∴
=
∴BC 2=BF·AB ∴BC 2=2×（2+6）∴BC=4
20.（本题9分，2+2+1+4）解：（1）105÷35%=300（人）．（2）n=300×30%=90（人），
m=300﹣105﹣90﹣45=60（人）．
(3)×360°=72°．
(4)
从树状图可知，从四名同学中任选两名共有12种结果，每种结果出现的可能性相等，其中选中甲、乙两位同学(记为事件A )有2种结果，所以P (A )＝＝
．
21.
（
9分，4+5）
(1)证明：连接OD.∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°.∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝45°，∴∠AOD ＝90°.∵DE ∥AC ，∴∠ODE ＝∠AOD ＝90°，∴DE 是⊙O 的切线．
(2)解：在Rt △ABC 中，tan ∠BAC=
，BC ＝5，
∴AB=25,AC ＝AB 2＋BC 2＝5，∴OD ＝5
2
.过点C 作CG ⊥
DE ，垂足为G ，则四边形ODGC 为正方形，∴OC ＝CG ＝OD ＝5
2
＝2.5.∵DE ∥AC ，∴
∠CEG ＝∠ACB ，∴tan ∠CEG ＝tan ∠ACB ，∴CG GE ＝AB BC ，即2.5GE ＝255
，∴GE ＝5
4，∴
DE ＝DG ＋GE ＝15
4
.
22（本题10分，2+4+4）解：（1）依题意，当x ＝36时，y ＝37；x ＝44时，y ＝33，
甲乙丙丁乙甲丙丁丙甲乙丁丁
甲乙丙
当31≤x≤50时，设y＝kx+b，则有，解得
∴y与x的关系式为：y＝x+55
（2）依题意，∵W＝（y﹣18）•m ∴
整理得，
当1≤x≤30时，∵W随x增大而增大∴x＝30时，取最大值W＝30×110+1100＝4400当31≤x≤50时，W＝x2+160x+1850＝
∵＜0∴x＝32时，W取得最大值，此时W＝4410
综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元
（3）依题意，W＝（y+a﹣18）•m＝
∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大
∴对称轴x＝＝≥35，得a≥3故a的最小值为3．
23.（11分，4+3+4）（1）如图1，a=6, b=6.如图2，a=2,b=.
(2）结论a2+b2=5c2，设PF=x,则PA=2x,设PE=y,则PB=2y.
∴AE2=(2x)2+y2，∴b2=4x2+y2，b2=16x2+4y2
同理，a2=16y2+4x2，c2=4x2+4y2
∴a2+b2=5c2
（3）如图4中，在△AGE和△FGB中，
，
∴△AGE≌△FGB，
∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，同理可证△APH≌△BFH，
∴AP=BF，PE=CF=2BF，
即PE∥CF，PE=CF，
∴四边形CEPF是平行四边形，
∴FP∥CE，
∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG，
∴△ABF是中垂三角形，
由(2)可知AB2+AF2=5BF2，
∵AB=3，BF=AD=，
∴9+AF2=5×()2，
∴AF=4．
24.（本题12分，3+2+3+4）
解：（1））∵点A、B关于直线x=1对称，AB＝4
∴A（－1，0），B（3，0）
代入y=-x2+bx+c中，得：
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3
∴C点坐标为（0，3）
（2）设直线BC的解析式为y=mx+n，则有：
∴直线BC解析式为y=-x+3，
又E到对称轴的距离为1，
∴EF=2
∴F点的横坐标为2，将x=2代入y=-x+3中，
得：y=-2+3=1
∴F（2，1）
（3）○1t=1
○2∵M（2t,0）,MN⊥x轴
∴Q（2t,3-2t）
∵△BOQ为等腰三角形,
∴分三种情况讨论
第一种，当OQ＝BQ时，
∵QM⊥OB
∴OM＝MB
∴2t=3-2t
t=
第二种，当BO＝BQ时，在Rt△BMQ中
∵∠OBQ ＝45O∴BQ＝BM
∴BO＝BM 即3＝（3-2t)
∴t＝
第三种，当OQ＝OB时，则点Q、C重合，此时t=0
而t>0，故不符合题意
综上所述，当t=或秒时，△BOQ为等腰三角形。