运用几何画板直观演示微积分基本定理

运用几何画板直观演示微积分基本定理()()()()b
a b f x f b f a f x dx a
'=-=⎰
重庆市万州上海中学 刘印学 404024
微积分基本定理又叫牛顿-莱布尼茨公式（Newton-Leibniz formula ）,揭示了函数导数与定积分之间的内在联系，为计算定积分提供了一种有效的方法，是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来成为一门影响深远的学科，可以说是微积分中最重要、最辉煌的成果。

定理的实质就是从两个角度反映函数值在给定自变量范围内的增量计算，殊途同归。

一方面，就是两个端点处的函数值的差（其物理意义就是位移函数的位移变化，另一方面，可以通过将区间进行分割—计算每一部分的增量—求和。

每一部分的增量用割线的斜率与自变量增量的积表示，但是，分割等分越细，计算每一部分的增量就近似地用切线的斜率与自变量增量的积表示，分割无限细时，增量的和与函数在相应区间内的导函数的定积分取得联系，下面先运用几何画板中的深度迭代、构造、平移、计算等功能进行直观演示，拟加深同学们对定理的深刻理解，最后给以一般的数学符号表示其过程。

1、 在几何画板窗口中绘制新函数（以()ln ,[,]f x x x a b =∈的函数值增量为例）
并在x 轴上任取两点A 、B ，构造线段AB,作为自变量变化起止位置。

2、分别过
A 、
B 做x 轴的垂线，与函数图像交于
C 、
D （用箭头工具选中x
轴、A点，“构造”—垂线，再选中函数图像，“构造”--交点。

再选中A、交点，“构造线段，修改点的标签字母、隐藏垂线。

这些都在“显示”菜单下，也可以相爱选中对象后直接右键，弹出选项。

用同样的操作过程画出D，G
3、选中A、B“度量”—距离，也可以选中线段”度量“—长度。

为后面等分区间，
找到第一个分点用平移。

新建参数n，预设3等分。

计算AB/N, “变换”—标记距离，点A，“变换”—平移。

在对话框中注意修改固定角度，0才能水平平移，有时也要在直角坐标系下平移，就会显示第一个分点
4、按步骤2的操作画出H点。

4、分别度量C、D的纵坐标，计算纵坐标的差，CD的值就是函数值的增量。

度量A与第一个分点的横坐标，计算他们的差，选C、H“构造”—线段--“度量”--“斜率”
5、计算N-1，计算第一段的函数值增量=CH的斜率*（XA’-XA）,新建参数t,预设
0，作为函数值增量的累加变量，计算t+第一段函数值的增量，改变标签T
6、选点A，参数t,参数n,按住SHIFT建，“变换”—“深度迭代”，完善对话框迭代象目标，点“迭代”就出现下面的图表。

7、隐藏操作过程中的显示，只留下参数，改变N的值，观察分割变化。

观察可知，N无限增大时，每一等分的区间就无限小，无限趋近于0，根据导数的
意义，由DG=D C y y -, 和DG=/1
1lim (ln )ln()ln()n
b a n k AB
x b a dx n
x →+∞
==-=∑
⎰
8、一般地，对任意闭区间[,]a b 上的连续函数()f x 的函数值增量为s=()()f b f a -； ① 如将区间分割为n 等分，则111
k k n
n
k A A k k b a
s s K n -==-==∑∑
（其中，1k k A A K -表示第K 个区间上函数图像上两点的割线的斜率），当N 无限增大时，1k k
A
A K -无限趋近与第K 个区
间上函数图像上切线的斜率，即是11lim
(),[,]k k
A A k k n K f x x x x --→+∞
'=∈，因此，
11
11
lim ()()k k n
n
n b k A A k a n k k k b a b a
s s K f x f x dx n n -→+∞===--''=====∑
∑∑⎰ （定积分意义与表示） ②
由① ②，可知，必有()
()()()b a b
f x f b f a f x dx a
'=-=⎰，反过来，要求一函数()g x 在闭区间上的定积分()b
a g x dx ⎰，只要寻找到与它相关的原函数()G x ，使得这个原函数在对应区间的导函数就是被积函数，()()G x g x '=，然后就用这个原函数的两个端点的函数值之差（积分上限对应的函数值减去积分下限对应的函数值作为定积分的值。

即是：()b
a g x dx ⎰=()()G
b G a -。