2020-2021学年高二数学人教B版(2019)寒假作业(8)

2020-2021学年高二数学人教B 版（2019）寒假作业
（8）双曲线及其方程
1.若双曲线22
13x y m m
-=+的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( )
A.12
B.1或3
C.
12
+ D.
21
- 2.若双曲线2
221(0)x y a a
-=>的实轴长为4，则其渐近线方程为( )
A ．y x =±
B ．2y x =±
C ．1
2y x =± D ．2y x =±
3.若双曲线22:2C mx y -=的实轴长等于虚轴长的一半，则m =( ) A.14
B.
12
C.4
D.2
4.如图所示，1F 和2F 分别是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两个焦点，A 和B 是以O 为圆
心、以1OF 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且2F AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )
35
5
31
5.已知双曲线2
2:1,3
x C y O -=为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近
线的交点分别为,M N .若OMN 为直角三角形，则MN =( ) A.32
B.3
C.23
D.4
6.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两条渐近线分别交于
,D E 两点.若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )
A.4
B.8
C.16
D.32
7.已知过双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的中心的直线交双曲线于点,A B ，在双曲线C 上
任取与点,A B 不重合的点P ，记直线,,PA PB AB 的斜率分别为12,,k k k .若12k k k >恒成立，则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A.(2
B.2]
C.(2,)+∞
D.[2,)+∞
8.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线的左支上，
且217MF MF =，则此双曲线的离心率的最大值为( ) A.4
3
B.53
C.2
D.
73
9.已知12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过点1F 的直线l 与双曲线C
的左、右两支分别交于,A B 两点.若2ABF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为( ) 37
C.2
D.3
10.经过点(3,7)P -和(62,7)Q --的双曲线的标准方程是______________.
11.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>经过点()3,4，则该双曲线的渐近
线方程是___________________.
12.已知双曲线22
:163
x y C -=，则C 的右焦点的坐标为____________；C 的焦点到其渐近
线的距离是_______________.
13.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆，圆A
与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点.若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为__________________.
14.已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>3(1)求双曲线C 的渐近线方程；
(2)当1a =时，已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值.
15.已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为()0F c ，
． (1)若双曲线的一条渐近线方程为y x =且2c =，求双曲线的方程；
(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过点A 作圆的切线，斜率为3-
答案以及解析
1.答案：A
解析：∵双曲线的一个焦点为(2,0)，∴焦点在x 轴上且2c =，∴234m m c ++==，∴1
2
m =
. 2.答案：C
解析：∵实轴长为4，∴24a =，∴2a =， ∴其渐近线方程为：1
2
y x =±，
故选：C. 3.答案：C
解析：双曲线2
2
:2C mx y -=化为标准方程是22
:221m
x y C -=，由于实轴长是虚轴长的一半，
故
2
122m =，解得
4m =.故选C.
4.答案：D
解析：由题意知O 是正三角形2ABF 的中心，连接1AF ，则12AF F 是直角三角形，且2130AF F ∠=︒.
122F F c =.11221213,3,22
AF F F c AF F c ∴=
===∴双曲线的离心率12213131
F F c e a AF AF =
===--. 5.答案：B
解析：因为双曲线2213
x y -=的渐近线方程为3y x =，所以60MON ∠=︒.不妨设过点F
的直线与渐近线3
y =
交于点M ，且90OMN ∠=︒，则60MFO ∠=︒，又直线MN 过点(2,0)F ，所以直线MN 的方程为3(2)y x =-，由3(2),3
y x y ⎧=--⎪⎨=⎪⎩得3
,
23x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点M 的坐标为332⎛ ⎝⎭，所以2
2
33||322OM ⎛⎫
⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
||3|3MN OM ==.故选B. 6.答案：B
解析：由题意知双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±，因为D E ，分别为直线x a =与双曲线C 的
两条渐近线的交点，所以不妨设()D a b ，，()E a b -，，所以11
||2822
ODE
S
a DE a
b ab =⨯⨯=⨯⨯==，
所以222216c a b ab ≥=+=，所以4c ≥，所以28c ≥，所以C 的焦距的最小值为8，故选B. 7.答案：D
解析：设()()00000(,),,,,,P x y A x y B x y x x --≠±，则22
22
0022221,1x y x y a b a b -=-=.两式相减得
2222
0022
0x x y y a b ---=，即222022
20y y b x x a -=-.由12k k k >恒成立，得000
000y y y y y x x x x x -+⋅>-+，即22
002200y y y x x x ->-恒成立，所以2020y b a x >恒成立.又因为00y b x a <，所以22
b b a a ≥，解得1b
a
≥，所以离心率2
12c b e a a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭，故选D.
8.答案：A
解析：因为217MF MF =，所以2116MF MF MF -=，即1266()a MF c a =≥-，故86a c ≥，即双曲线的离心率4
3
c e a =≤，当且仅当M 为双曲线的左顶点时，等号成立.故此双曲线离心率的最大值为4
3
. 9.答案：B
解析：如图所示，设AB t =，由于2ABF 为等边三角形，所以22||AB AF BF t ===，所以
1212BF BF AF t t a -=+-=，即12AF a =.又2122AF AF t a a -=-=，所以4t a =.在12AF F 中，2211212,4,2,120AF a AF a F F c F AF ===∠=︒，根据余弦定理得
222(2)(4)(2)1
cos1202242
a a c a a +-︒==-⋅⋅，整理得22252a c a -=-，即227c a =，所以离心率
7c
e a
==.故选B.
10.答案：22
12575
y x -=
解析：设双曲线的方程为22
1(0)mx ny mn +=<，则9281,72491,m n m n +=⎧⎨+=⎩解得1,751,25m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故双曲线
的标准方程为22
12575
y x -=.
11.答案：2y x =
解析：由已知得2
2
2431b
-=，解得2b 或2b =-，因为0b >，所以2b =.因为1a =，
所以双曲线的渐近线方程为2y x =±. 12.答案：(3,0)3解析：双曲线22
:163
x y C -=中，2639,3c c =+=∴=，则C 的右焦点的坐标为(3,0),C 的渐
近线方程为36
y =，即2
y x =，即20x ±=，则 C 的焦点到其渐近线的距离
33
d =. 13.23解析：||||,60,AN AM MAN MAN =︒∠=∴为等边三角形，
(),0A a ∴到直线:b
l y x a
=的距离3
22
3a b =+，化简得223a b =.又2222223
,43,c b c a a c e a =-∴=∴=
=
. 14.答案：(1)由题意得223,3c
e c a a
=
=，
2
2
2
2
2b c a a ∴=-=，即2
22b a
=，
∴所求双曲线C 的渐近线方程为2b
y x x a
=±
=±. (2)由(1)得当1a =时，2
2b =，双曲线C 的方程为2
2
12
y x -=.
设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ， 由2
21,2
0y x x y m ⎧-
=⎪⎨⎪-+=⎩得22220x mx m ---=(0∆>)， 12
000,22
x x x m y x m m +∴=
==+=. 点()00,M x y 在圆225x y +=上，22(2)5,1m m m ∴+=∴=±. 15.答案：(1)∵双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±，∴a b =，
∴222224c a b a =+==，得222a b ==.
∴双曲线方程为22
122
x y -
=. (2)设点A 的坐标为()00,x y ， 则直线AO 的斜率满足(0
31y x ⋅=-， ∴003x =，①
依题意，圆的方程为222x y c +=，
将①代入圆的方程得222003y y c +=，即01
2y c =，
∴03x =，∴点A 的坐标为312c ⎫⎪⎪⎝⎭， 代入双曲线方程得2222
31441c c
a b -=，
即22222234b c a c a b -=.② 又∵222a b c +=，
∴将222b c a =-代入②式，整理得 42243840c a c a -+=，
∴42
3840c c a a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，得()()
22
3220e e --=，
∵1e >，∴2e 2。