高三数学 圆及直线与圆的位置关系

【解析】 方法一：圆心O(0,0)到直线y＝x
＋b的距离为
d＝
|b| ， 2
(1)当d＜r，即
|b| ＜ 2
2，－2＜b＜2时，直线
与圆相交，有两个公共点．
(2)当d＝r时，即b＝±2时，直线与圆相切，
有一个公共点；
(3)当d＞r，即b＞2或b＜－2时，直线与圆
相离，无公共点．
方法二：联立两个方程得方程组
∴|2k－kk2＋＋1 3|＝2，
解得k＝
3 3.
∴切线方程为y－ 3＝ 33(x－1)， 即x－ 3y＋2＝0.
【答案】 D
4．已知点(0,0)在圆：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2 ＋a－1＝0外，则a的取值范围是________．
【解析】 ∵点(0,0)在圆x2＋y2＋ax＋ay＋ 2a2＋a－1＝0外， ∴02＋02＋a×0＋a×0＋2a2＋a－1＞0， 即2a2＋a－1＞0，解得a＞21或a＜－1.
x2＋y2＝2 y＝x＋b
，
消去y得，
2x2＋2bx＋b2－2＝0，Δ＝16－4b2.
(1)当Δ＞0，即－2＜b＜2时，有两个公共
点；
(2)当Δ＝0，即b＝±2时，有一个公共点； (3)当Δ＜0，即b＞2或b＜－2时无公共点．
圆与圆的位置关系
已知圆M：x2＋y2－2mx－2ny＋m2－1＝0 与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0交于A、B 两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M 的圆心的轨迹方程，并求其中半径最小时 圆M的方程．
【答案】 D
2．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在 直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( ) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
【解析】 方法一：设圆的方程为 (x－a)2＋(y－2＋a)2＝r2， 由题意得
第五节 圆及直线与圆的位置关系
1.掌握圆的标准方程和一般 考纲 方程. 点击 2.了解参数方程的概念，理解
圆的参数方程.
1.求圆的方程是高考的热点，重点
考查圆的标准方程和一般方程.
2.以选择题、填空题的形式考查方
热 点 提 示
程中含参数的直线与圆的位置关 系的判断. 3.利用相切或相交的条件确定参数 的值或取值范围. 4.利用相切或相交求圆的切线(长)
【思路点拨】 先由两圆方程求出直线AB 的方程，则由题意知AB过N的圆心，半径 最小可转化为圆心到AB的距离最小．
【解析】 由圆M的方程知圆心M(m，n)．
又由方程组xx22＋ ＋yy22－ ＋22mx＋x－2y2－ny2＋＝m0 2－1＝0 得直线AB的方程为2(m＋1)x＋2(n＋1)y－m2－ 1＝0. 又AB平分圆N的圆周， 所以圆N的圆心N(－1，－1)在直线AB上， ∴2(m＋1)(－1)＋2(n＋1)(－1)－m2－1＝0.
【解析】 (1)设圆心Q的坐标为(a，b)， 因为圆O与圆Q相外切于P，
所以O、P、Q共线，且λ＝OQQP＝－46＝－32. 由定比分点公式求得a＝－3，b＝3 3. 所以所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－3 3)2＝16.
(2)如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分 成1∶2两部分， 所以∠AOB＝120°， 而圆心到直线3x＋4y＋15＝0的距离
【答案】 C
3．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1， 3)处的切 线方程为( ) A．x＋ 3y－2＝0 B．x＋ 3y－4＝0 C．x－ 3y＋4＝0 D．x－ 3y＋2＝0
【解析】 圆方程为(x－2)2＋y2＝4，圆
心(2,0)，半径为2，点P在圆上，
设切线方程为y－ 3＝k(x－1)，
即kx－y－k＋ 3＝0，
直线和圆的位置关系
已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m －24＝0(m∈R)． (1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l 上； (2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相 切、相离？ (3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直 线被各圆截得的弦长相等．
【思路点拨】 用配方法将圆的一般方程配 成标准方程，求出圆心坐标，消去m就得关 于圆心的坐标间的关系，就是圆心的轨迹方 程；判断直线与圆相交、相切、相离，只需 比较圆心到直线的距离d与圆半径的大小即 可；证明弦长相等时，可用几何法计算弦 长．
又圆心 －D2 ，－E2 到直线x－y＝0的距离为
－D2 ＋E2 ， 2
由已知，得－D2 ＋E22＋( 7)2＝r2，

2
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)⑤
又圆心－D2 ，－E2 在直线3x－y＝0上， ∴3D－E＝0⑥ 联立④、⑤、⑥，解得
或弦长.
5.以解答题的形式考查直线与圆的
综合问题.
1．圆的定义及方程
二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F ＝0表示圆的充要条件是什么？ 【提示】 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋ Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是
2．点与圆的位置关系
已知圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点
• (3)
直线与圆的位置关系
位置关系
相离
____ _
相交
公共点个数
几何特征(圆心到 直线的距离d， 半径r)
0个
______
d＞r
相1切个 2个
____ ____
d＝r d＜r
有两 有两组组Βιβλιοθήκη 代数特征(直线与相不
圆的方程组成 无实数解 同 同
的方程组)
实实
数数
在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什 么？
d＝ 312＋5 42＝3， 在△AOB中，可求得OA＝6，所以所求圆 的方程为x2＋y2＝36.
(3)由题意可设圆的方程为λ(x2＋y2－4x＋2y)＋ (x2＋y2－2y－4)＝0， 即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－4λx＋(2λ－2)y－4＝0， 圆心坐标为(1＋2λλ，11－ ＋λλ)， 代入l：2x＋4y＝1，得λ＝3. 所以所求圆的方程为：x2＋y2－3x＋y－1＝0.
[教师选讲]根据下列条件，求圆的方程： (1)和圆O：x2＋y2＝4相外切于点P(－1，
3)，且半径为4； (2)圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分 成1∶2两部分的圆的方程； (3)求经过两已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0和 C2：x2＋y2－2y－4＝0的交点，且圆心在直线 l：2x＋4y＝1上的圆的方程．
Δ＜0⇔直线与圆相离．
(2)第二种方法是几何的观点，即将圆 心到直线的距离d与半径r比较来判断， 即 d＜r⇔直线与圆相交； d＝r⇔直线与圆相切； d＞r⇔直线与圆相离．
1．已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b， 当b为何值时， (1)圆与直线有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点？
【提示】 应首先判断这点与圆的位置关系， 若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条； 若点在圆外，切线应有两条，谨防漏解.
1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的
条件是( )
A.14＜m＜1
B．m＞1
C．m＜14
D．m＜41或m＞1
【解析】 若方程表示圆，则 (4m)2＋(－2)2－4×5m＞0， 解得m＜14或m＞1.
∴m2＋2m＋2n＋5＝0即(m＋1)2＝－2(n＋
2)(*) ∴(x＋1)2＝－2(y＋2)即为点M的轨迹方 程． 又由题意可知当圆M的半径最小时，点M 到AB的距离最小，此时|MN|也最小．
d＝ (m＋1)2＋(n＋1)2 ＝ －2(n＋2)＋(n＋1)2＝ n2－3. 由(*)可知n≤－2，∴d≥1. 即最小值为1，此时m＝－1，n＝－2. 故此时圆M的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5.
又a2＋a2－4(2a2＋a－1)＞0，
∴－1－3 7＜a＜－1＋3 7，
∴－1－3
7＜a＜－1或12＜a＜－1＋3
7 .
【答案】
(
－1－ 3
7
，－1)∪(
1 2
，
－1＋ 7 3)
5．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－ 2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为 2 3，则a＝________. 【解析】 由已知圆的圆心C(1,2)，半径r＝2， 又圆心C到直线的距离d＝ |aa＋2＋1|1， ∴( |aa＋2＋1|1)2＋(22 3)2＝4. 解得a＝0.
(3)证明：对于任一条平行于l且与圆相交的 直线l1： x－3y＋b＝0，由于圆心到直线l1的距离 d＝|3＋10b|(与m无关)， 弦长＝2 r2－d2且r和d均为常量． ∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各 圆截得的弦长相等．
直线和圆的位置关系的判定有两种方法： (1)第一种方法是方程的观点，即把圆的方 程和直线的方程联立组成方程组，转化为 一元二次方程，再利用判别式Δ来讨论位置 关系，即 Δ＞0⇔直线与圆相交； Δ＝0⇔直线与圆相切；
【答案】 0
圆的方程的求法
求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上， 且被直线x－y＝0截得的弦长为2 7 的圆 的方程．
【思路点拨】 由条件可设圆的标准方 程求解，也可设圆的一般方程，但计 算较繁琐．
【自主解答】 方法一：设所求圆的方程是
(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为 |a－b|，
D＝－2，E＝－6，F＝1或D＝2，E＝6，F ＝1. 故所求圆的方程是x2＋y2－2x－6y＋1＝0或 x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0.
1.确定圆的方程的主要方法是待定系数 法．如果选择标准方程，即列出关于a、b、r 的方程组，求a、b、r或直接求出圆心(a，b) 和半径r.
2．如果已知条件中圆心的位置不能确定，则 选择圆的一般方程．圆的一般方程也含有三
• 3．确定圆的方程的方法和步骤
• 确定圆的方程主要方法是待定系数法， 大致步骤为：
• (1根) 据题意，选择标准方程或一般方程 ________________________________ __根；据条件列出关于a，b，r或D、E、F
• 的(2方) 程组 __解__出__a_、_b_、__r_或_D__、_E__、_F_代__入__标__准_方__程___ _或_ 一般方程 __________；
M(x0，y0)． 则：(1)点在圆上：__(x_0_－__a_)_2＋__(_y_0－__b_)_2_＝__r_2 _； (2)点在圆外：__(_x_0－__a_)_2_＋__(y_0_－__b_)2_>_r_2__； (3)点在圆内：__(x_0_－__a_)_2＋__(_y_0－__b_)_2_＜__r_2 _.
个独立的参数，因此，必须具备三个独立的
条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采 用待定系数法．设所求圆的方程为：x2＋y2＋ Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，由三个条 件得到关于D、E、F的一个三元一次方程 组，解方程组确定D、E、F的值． 3．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的 圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
【自主解答】 (1)证明：配方得： (x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25，
设圆心为(x，y)，则xy＝＝m3m－1 ，消去m得 l：x－3y－3＝0，则圆心恒在直线l：x－ 3y－3＝0上．
(2)设与l平行的直线是：x－3y＋b＝0， 当－5 10－3＜b＜5 10－3时，直线与圆 相交； b＝±5 10－3时，直线与圆相切； b＜－5 10 －3或b＞5 10 －3时，直线与 圆相离．
2 ∴r2＝|a－2b|2＋( 7)2， 即2r2＝(a－b)2＋14①
由于所求的圆与x轴相切，∴r2＝b2② 又因为所求圆心在直线3x－y＝0上，∴3a －b＝0③ 联立①②③，解得a＝1，b＝3，r2＝9或a ＝－1，b＝－3，r2＝9. 故所求的圆的方程是 (x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.
(1－a)2＋(－1－2＋a)2＝r2， (－1－a)2＋(1－2＋a)2＝r2 解得a＝1，r2＝4. 故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
方法二：AB中垂线方程为y＝x， 由yx＝＋xy－2＝0 得xy＝＝11 ， 即圆心为(1,1)， ∴半径r＝ (1－1)2＋(1＋1)2＝2， ∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.