数值分析课后答案8

第八章习题解答
1、已知方程3210x x --=在 1.5x =附近有根，将方程写成以下三种不同的等价形式：
①2
11x x
=+
；②x =
x =试判断以上三种格式迭代函数的收敛性，并选出一种较好的格式。

解：①令121()1x x ϕ=+
，则'132()x x ϕ=-，'
132(1.5)0.592611.5
ϕ=≈<，故迭代收敛；
②令2()x ϕ=2'
2
32
2()(1)3
x x x ϕ-=+，'2(1.5)0.45581ϕ≈<，故迭代收敛；
③令3()x ϕ=
'3()x ϕ=，'
3(1.5) 1.41421ϕ≈>，故迭代发散。

以上三中以第二种迭代格式较好。

2、设方程()0f x =有根，且'0()m f x M <≤≤。

试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=-
(0,1,2,)k = 产生的迭代序列{}0k k x ∞
=对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞，当2
0M
λ<<
时，均收敛于方程的根。

证明：设()()x x f x ϕλ=-，则''()1()x f x ϕλ=-，故'1()1M x m λϕλ-<<-，进而可知， 当2
0M
λ<<
时，'1()1x ϕ-<<，即'()1x ϕ<，从而由压缩映像定理可知结论成立。

3、试分别用Newton 法和割线法求以下方程的根
cos 0x x -=
取初值010.5,4
x x π
==
，比较计算结果。

解：Newton 法：1230.75522242,=0.73914166,=0.73908513x x x =；
割线法：23450.73638414,=0.73905814,=0.73908515,=0.73908513x x x x =； 比较可知Newton 法比割线法收敛速度稍快。

4、用嵌套算法求下列方程的根 ①32250
(1,4)x x x --=∈，取初值0 2.5x =；
②3210x x x ---=,求方程的正根，取初值0 1.5x =。

解：①依代数方程求根的嵌套算法
()0
1()
(0,1,2,)
k k k k b x x k c +=-=
其中()()
00k k b c 与分别由
1(1,2,,1,0)
n n i i k i b a b a x b i n n +=⎧⎨
=+=--⎩
111
(2,,1,0)
n n i i k i c b c b x c i n -++=⎧⎨
=+=-⎩
来计算0,k =(0)(0)0
1.875, 1.25b
c
=-=，(0)0
10(0)0
4b x x c =-=，
1,k =(1)(1)0
27,20b
c
==，(1)0
21(1)0
2.65b x x c =-=，
2,k =(2)(2)0
0.4354,17.6225b
c
=-=，(2)0
32(2)0
2.6747b x x c =-=，
最终可得* 2.6906x ≈。

②设32()1f x x x x =---，由(0)0,(2)0f f <>知在区间[0,2]上存在正根，取迭代初值为01x =可得1234594,3, 3.6364, 2.5073, 2.1848,, 1.8393x x x x x x =-===== 5、非线性方程组
22112221
1sin 0x x x x x ⎧+-=⎨-=⎩ 有靠近(0,0)T 的解，使用简单迭代法求前两次迭代解。

解：取简单迭代格式为(1)1(1)21
k k x x ++⎧=⎨=⎩ 取迭代初值为(0)(0)
120x x ==，可得(1)(1,0)T x =，(2)(0,0.8415)T x =。

6、设
2
1212212123()sin(33)x f e x F x f x x x x ⎡⎤⎡⎤+-==⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦
试计算Jacobi 矩阵()J x ，求出使()J x 奇异的x 值。

解：2
112121222()13cos(33)13cos(33)x x e x J x x x x x ⎡⎤=⎢⎥-+-+⎢⎥⎣⎦
由()()
2
1
1212det(())13cos(33)220x J x x x x e x =-+-=可得
1213cos(33)0
(1)x x -+=
或 2
112220
(2)x x e x -=
由(1)得122(0,1,2)3x x k k π+==±± ，从而()20,1,1(,)3T
T k x l k l Z π⎛⎫
=+-∈ ⎪⎝⎭
由(2)得21
21x x x e =，从而(
)
2
,2()T
c x c ce
c R =∈
综合可得()
20,1,1(,)3T
T k x l k l Z π⎛⎫
=+-∈ ⎪⎝⎭
或()
2
,2()T
c
x c ce c R =∈
7、非线性方程组
22
1122
12121080
1080
x x x x x x x ⎧-++=⎪⎨+-+=⎪⎩ 可化为如下迭代函数求不动点问题
221211122
12122128(,)10
8(,)10x x x x x x x x x x x φφ⎧++==⎪⎪⎨++⎪==⎪⎩
试用大范围收敛定理证明在闭域1212{(,)|0, 1.5}D x x x x =≤≤上迭代函数有唯一不动点。

证明：迭代函数的Jacobi 矩阵为1
2122
12212(,)5
5()(,)1
10
5x x J x x x x x x φφ⎡⎤
⎢⎥∂⎢⎥==∂+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
当1212
{(,)|0, 1.5}x D x x x x ∈=≤≤时123555x x +≤，2
21217.75
10510
x x x ++≤
从而可得7.75
()110
J J
ρ∞
≤≤
<，由收敛定理可知结论成立。

8、用Newton Raphson -方法求解线性方程组Ax b =，其中A 是一个n n ⨯阶非奇异阵，
将产生什么情况？
解：此时()F x Ax b =-，()DF x A =
Newton Raphson -迭代格式()()()
(1)
()()()()
(0,1,)k k k k k k DF x x F x k x x x +⎧∆=-⎪=⎨=+∆⎪⎩ 转化为()()
(1)
()()()(0,1,)k k k k k A x Ax b k x
x x +⎧∆=--⎪=⎨=+∆⎪⎩
对任意(0)
x
迭代一步得(1)
1x
A b -=，即为精确解。

9、利用N e w t o n R a p h s -方
法求下列非线性方程组的解，迭代计算直到()(1)
2
10k k x x
-
--≤
2122
121
23370500
x x x x x x x ⎧+-=⎪--=⎨⎪++=⎩ 取初值(0)(0.5,0.5,0.5)T x =。

解：22
1231212123()((),(),())(37,5,3)T T F x f x f x f x x x x x x x x ==+---++-
1
2210()1
2011
1x DF x x ⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝
⎭
由Newton Raphson -迭代格式()()()
(1)()()
()()
(0,1,)k k k k k k DF x x F x k x
x x +⎧∆=-⎪=⎨=+∆⎪⎩ 将初值(0)(0.5,0.5,0.5)T x =代入可得线性代数方程组
(0)
1(0)3(0)311036.25110 4.75111 1.50x x x ⎛⎫∆-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-∆=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∆-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 解之得(0)(20.4998,15.7482,34.7480)T x ∆=-，进而可得
(1)(0)(0)(20.9998,16.2482,34.2480)T x x x =+∆=-
进而可得(2)(11.1829, 8.3144, -16.4973)T x =
(3)(7.0544, 4.2808, -8.3351)T x = (4)(5.9898, 2.2560, -5.2458)T x = (5)(5.9714, 1.3433, -4.3147)T x = (6)( 5.9965, 1.0426, -4.0391)T x = (7)( 5.9999, 1.0008, -4.0008)T x =
10、试用Broyden 似牛顿法再求解上题中的非线性方程组，比较迭代次数。

解：2
2
1231212123()((),(),())(37,5,3)T
T
F x f x f x f x x x x x x x x ==+---++-
12210()1
2011
1x DF x x ⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪⎝
⎭
由拟牛顿法（8－45）式得
(0)0110()110111B DF x ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，(0)36.25() 4.751.50F x -⎛⎫
⎪
-=- ⎪ ⎪-⎝⎭
取0k =，(0)(0)0()B x F x ∆=-，解出(0)(20.4998,15.7482,34.7480)T x ∆=- 于是得到(1)(0)(0)(20.9998,16.2482,34.2480)T x x x =+∆=-
1k =，(0)(1)(0)(0)(20.4998,15.7482,34.7480)T S x x x =-=∆=-
(0)(1)(0)()()(456.4999,243.3119,1.5000)T y F x F x =-=-
(0)(0)(0)010(0)(0) 5.5926 4.52857.7850()() 1.7109 3.0827 4.5953()() 1.0000 1.0000 1.0000T T y B S S B B S S -⎛⎫- ⎪=+=-- ⎪ ⎪
⎝⎭
解方程组(1)(1)1()B x F x ∆=-，可得(0)( 6.8702,26.6654,33.5356)T x ∆=-- 于是(2)(1)(1)(14.1298,10.4154,0.7144)T x x x =+∆=-- 类似可得(3)(17.9047,35.9862,21.0815)T x =-
(4)(-6.3999, -1.6008, 11.0006)T x = (5)(-6.6193, -1.2383, 10.8576)T x = (6)(-5.3167, -2.1965, 10.5132)T x = (100)(-6.0676, 0.2591, 8.8085)T x =
从而可知该迭代不收敛。

11、分别用拟牛顿法和最速下降法求解以下非线性方程组，初值(0)
(0.9,1.8)T x
=，计算到
(2)x 。

221222
1250
30
x x x x ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩ 解： 2222121212()((),())(5,3)T T
F x f x f x x x x x ==+--+
1
220()02x DF x x ⎛⎫=
⎪-⎝⎭
拟牛顿法：由（8－45）式得0 1.8 3.61.8 3.6B ⎛⎫=
⎪-⎝⎭
，由(0)(0)
0()B x F x ∆=-解出
(0)(0.1056,0.2111)T x ∆=，于是(1)(0)(0)(1.0056,2.0111)T x x x =+∆=，同理可得 (1)(0)(0)(0.9997,1.9994)T x x x =+∆=
最速下降法：由（8－45）式得(
0)
(0.6840,5.4720)
T
P =，00.0202α=，(1)(0)(0)0(0.9138,1.9104)T x x P α=+=，进而可得(1)(0.9258,1.9637)T x =
12、再用同伦法求解上题中的方程组。

解：取(0)(0.9,1.8)T x =，2222
121212()((),())(5,3)T T F x f x f x x x x x ==+--+
计算得(0)()(0.95,0.57)T F x =-， 构造同伦
(0)22221212(,)()(1)()( 4.050.95, 2.430.57)T H x t F x t F x x x t x x t =+-=+---++
将[0,1]4,/4(0,1,2,3,4)j t t j j ∈==等分对每一个j t 利用Newton 法求解同伦方程并取误差为2
10-可得(1)(0)(0.9,1.8)T x x ==，(2)(0.9260,1.8520)T x =，
(3)(0.9513,1.9026)T x =，(4)(0.9760,1.9519)T x =，
最终解得(5)(1)(1.000,2.000)T x x ==
13、设非线性方程2()10f x x x =+-=，若取值(0)
1x
=，构造同伦函数
(0)(,)()(1)()H x t tf x t x x =+--，试求同伦方程(,)0H x t =的解曲线
(),[0,1]x x t t =∈，并在[0,1]上将t 分成10等分作出()x x t =的图形。

解：依题意(0)
2(,)()(1)()1H x t tf x t x x
tx x =+--=+-，由(,)0H x t =可得
()x x t ==
14、试证明把最速下降法用于求二次函数2()()F x x R ∈的极小化问题时，若记()F x ∇为()F x 的梯度向量，()H x 是()F x 的Hessian 矩阵（是一个对称正定阵），则其计算格式为
(1)()()()()()()()()
(())()(0,1,2,)
(()()()k k k k k T k k k T k k x x F x F x F x k F x H x F x αα+⎧=-∇⎪⎨∇∇=-
=⎪∇∇⎩
用此格式计算极小化问题22
1212min(4)x x x x +-，取(0)(0,2)T x =。

解：可将二次函数()F x 写作1()2
T T F x x Hx b x c =
++，其中12(,)T x x x =，22
H R ⨯∈且对称正定，21,b c R ⨯∈，则()()()k F x F x Hx b ∇=∇=+，2()()()k F x H x H ∇==，由最速下降格式可知第k 步的搜索方向为()()()()()k k k P F x Hx b =-∇=-+，最佳搜索步长
k α应满足()()()()()min ()k k k k k R F x P F x P ααα+
∈+=+，可令()()()()k k F x P ϕαα=+，
则由'()
()()()(())0
k k T k F x
P P ϕαα=∇+=可得()()()
(())0k k T k H x P b P α++=进而由H 的正定性可得()()()()()()()()()(())()
()(())()
k T k k T k k k T k k T k Hx b P F x F x P HP F x H F x αα+∇∇=-==∇∇，即为所述计
算格式。

取2
2
1212()4F x x x x x =+-利用上述计算格式可得(1)
(2)(0.5,1),(0,0.75)T T x
x ==
(3)(4)(5)(6)(0.1875,0.3750),(0,0.2813),(0.0703,0.0.1406),(0,0.1055)T T T T x x x x ====(7)(15)(0.0264,0.0527),,(0.0005,0.0010)T T x x == ，min 0F =。