现代控制理论自学指导书概要

《现代控制理论》自学指导书
自学作业
（一）判断题
1、由一个状态空间模型可以确定唯一一个传递函数。

（）
2、若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定是能控
的。

（）
3、对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。

（）
4、根据线性二次型最优控制问题设计的最优控制系统一定是渐近稳定的。

（）
5、由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵，进而决定系统的动态特性。

( )
6、若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。

( )
7、对系统x=，其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是
一致的。

（）
8、状态反馈不改变系统的能控性。

( )
（二）选择题
1、设计状态观测器的目的在于。

（a）使不能观测的系统成为能观测的
（b）从输入输出估计出状态
（c）使系统成为能控
2、一个线性系统的状态空间表达式。

（a）是唯一的
（b）不是唯一的
（c）是系统的外部描述
3、线性系统的状态转移矩阵。

（a）是系统在零初始条件下的响应
(b) 不是唯一的
(c)是唯一的
4、线性系统的传递函数只描述系统的。

（a）能控而不能观子系统
（b）能观而不能控子系统
（c）既能控又能观子系统
5、通过输出反馈进行极点配置的充要条件为。

(a) 能控 (b) 既能控又能观 (c)
能观
（三）综合题
1．计算状态空间表达式的传递函数
2. 求时变自治系统的状态响应
3. 写出下列系统的能控、能观及对角实现
22
68()43s s G s s s ++=++ 4. 取26Q I =，通过求解Lyapunov 方程判断线性系统稳定性
5．①已知系统u u u y y 222++=+
，试求其状态空间最小实现。

②设系统的状态方程及输出方程为
11000101;0111x x u ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
[]001y x =
试判定系统的能控性。

6. 已知系统 u x x
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110011 试将其化为能控标准型。

7. 应用Lyapunov 第一方法分析非线性系统在平衡点
120x x ==稳定性
()011,10231x x u y x
⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
()()()()0
06cos 3,0,000t x t x t t x x ⎡⎤
=≥=⎢
⎥⎣⎦
0312x x
-⎛⎫= ⎪-⎝⎭
8. ①已知非线性系统 ⎩⎨
⎧
--=+-=2
112211sin 2x a x x
x x x
试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的1a 的范围。

② 判定系统112
212
23x x x x x x =-+⎧⎨
=--⎩在原点的稳定性。

九、自学作业答案 （一）判断题
1、√
2、×
3、×
4、×
5、√
6、√
7、√
8、√ （二）选择题
1、b
2、b
3、c
4、c
5、c （三）综合题 1.解：
()0111,,10,23123s A b c sI A s -⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪
---⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()31adj 2s sI A s -⎛⎫-= ⎪
-⎝⎭
()()2det 3232sI A s s s s -=-+=-+
()()()2
adj 4
det 32
c sI A b s g s sI A s s ⋅-⋅-=
=--+
2.解：
()()()()()()
122106cos 3000t A t A t A t A t A t ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
==
所以可交换条件成立
()()()
0t
A s ds
x t e x ⎰=
()()200t
I A s ds x ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
⎰
13
11212212231
x x x x x x x x x e ⎧=-++⎪⎨=--+⎪⎩
()0
12sin 301t x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
3.解
[][]1112221112221122010 y=52341035 y=01142101031x x x u u x x x x x x u u x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢-⎣
⎦⎣⎣⎦⎣⎦1231 y=22x u u x ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎥⎢⎥⎣⎦⎦⎣⎦
4. 解：
取
26Q I =，通过求解Lyapunov 方程判断线性系统稳定性
11
1212
22p p P p p ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
令
26T PA A P I +=-解方程 4336P -⎛⎫= ⎪
-⎝⎭得 80,det 150,0,P P >=>>所以正定,系统渐近稳定
5.解：
① 取拉氏变换知 )()2()()22(3
3s u s s s y s ++=+
2
1121)1(21)(22
1
3+
+-=+++=s s s s s g 其状态空间最小实现为
u x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101110 ； 21021+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x y ② 1n c u B
AB
A B -⎡⎤=⎣⎦
012111101⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，秩为2， 系统状态不完全能控。

6.解
1210c u ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1
112201c u -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦ [][][]111
1221122010101c p u -⎡⎤
===-⎢⎥
-⎣⎦ [][]11
1
1
212222
1100p p A ⎡⎤
==-=⎢⎥⎣⎦
112
211
12
211,11P P --⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
能控标准型为u x x
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101010 7.解：
应用Lyapunov 第一方法分析非线性系统在平衡点
120x x ==稳定性
11
132
122122212f f 233f f 11x x x x x x e x x ∂∂⎛⎫
⎪∂∂⎛⎫-++ ⎪= ⎪ ⎪∂∂--⎝⎭ ⎪∂∂⎝⎭
2301A -⎛⎫= ⎪
-⎝⎭ ,A 的特征根都在左半复平面渐近稳定
8.解
①显然原点为一个平衡点，根据克拉索夫斯基方法，可知
⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=11111112cos 21cos 2121cos 21cos 211
a x x a x a x F
因为
2<-；所以，当
)cos 21(42cos 21cos 2122111
1
1
>--=----x a a x x
时，该系统在原点大范围渐近稳定。

解上述不等式知，491>a 时，不等式恒成立。

即4
9
1>a 时，系统在原点大范围渐近稳定。

② 解判定系统
21
1
452
3I A λλλλλ+--=
=+++，两个特征根均具有负实部，系统大范围一致渐近稳定。