2015-2016学年上学期高一数学月考考试试卷(含答案)
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2015-2016学年高一上学期第二次月考数学试卷
考试时间:120分钟 满分:150分
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分. ) 1. (2010年高考安徽卷)若集合A =
,则∁R A =( )
A .(-∞,0]∪(22,+∞)
B .(2
2,+∞)
C .(-∞,0]∪[22,+∞)
D .[2
2
,+∞)
答案:A
2. 已知f(1-x 1+x )=1-x 2
1+x 2,则f(x)的解析式可取为( )
A.x 1+x 2 B .-2x 1+x 2 C.2x 1+x 2 D .-x 1+x 2 答案:C
3. 函数y =1
3x -2+lg (2x -1)的定义域是( )
A .[23,+∞)
B .(12,+∞)
C .(23,+∞)
D .(12,23)
答案:C
4. 函数f(x)=2
2x -2
的值域是( )
A .(-∞,-1)
B .(-1,0)∪(0,+∞)
C .(-1,+∞)
D .(-∞,-1)∪(0,+∞) 答案:D
5.函数x
e x x
f --=44)(的零点所在的区间为( )
A. (1,2)
B. (0,1)
C. (-1,0)
D. (-2,-1) 答案:B
6.下列函数在(0,1)上是减函数的是( )
A .y =log 0.5(1-x)
B .y =x 0.5
C .y =0.51-x
D .y =1
2
(1-x 2)
答案:D
7.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x -1)<f(1
3
)
的x 的取值范围为( )
A .[0,13]
B .(13,12]
C .[12,23)
D .(13,2
3
)
答案:D
8.如图所示的直观图的平面图形ABCD 是( ) (A)任意梯形
(B)直角梯形 (C)任意四边形 (D)平行四边形 答案:B
9. 下列说法不正确的是( )
(A)空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 (B)同一平面的两条垂线一定共面
(C)过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内
(D)过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 D
10. 半径为16,圆心角为180°的扇形围成圆锥的侧面,则圆锥的高是 (A)
(B) (C) (D)8
答案:B
11. 一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其体积等于( )
(A)6 (B)2 (D)答案:C
12. 正四面体的内切球与外接球的半径之比为( )
A. 1∶3
B. 1∶∶9 D. 1∶81 答案:A
二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13. 若函数f(x)=a x -x -a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a 的取
值范围是________.答案:(1,+∞)
14. 定义在R 上的奇函数f(x),当x ∈(0,+∞)时,f(x)=log 2x ,则不等式f(x)<-1的解集是________.
答案:(-∞,-2)∪(0,1
2
)
15. 在空间四边形ABCD 中,AD=BC=2,E ,F 分别是AB ,CD 的中点则异面直线AD 与BC 所成角的大小为_______.答案:60°
16. 如图,将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,使得平面ADC ⊥平面ABC ,在折起后形成的三棱锥D-ABC 中,给出下列三种说法:
①△DBC 是等边三角形;②AC ⊥BD ;③三棱锥D-ABC 的体积是6
. 其中正确的序号是________(写出所有正确说法的序号).
答案:①②
三、解答题:(本大题共6小题,共70分. ) 17.(本小题10分)
已知集合A ={x|2a -2<x<a},B ={x|1<x<2},且A ∁R B ,求实数a
的取值范围.
解:∁R B ={x|x≤1或x≥2}≠∅, ∵A ∁R B ,
∴分A =∅和A≠∅两种情况讨论. ①若A =∅,此时有2a -2≥a, ∴a≥2.
②若A≠∅,则有⎩
⎪⎨
⎪⎧
2a -2<a
a≤1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
2a -2<a
2a -2≥2.
∴a≤1.综上所述,a≤1或a≥2. 18.(本小题12分)设函数2
()21
x
f x a =-
+,
⑴ 求证: 不论a 为何实数()f x 总为增函数; ⑵ 确定a 的值,使()f x 为奇函数.
18. 解: (1) ()f x 的定义域为R, 12x x ∴<,
则121222()()2121x x f x f x a a -=--+++=1212
2(22)
(12)(12)
x x x x ⋅-++, 12x x < , 1212220,(12)(12)0x x x x ∴-<++>,12()()0,f x f x ∴-<
即12()()f x f x <,所以不论a 为何实数()f x 总为增函
数.…………6分
(2) ()f x 为奇函数, ()()f x f x ∴-=-,即22
2121
x x a a --=-+++, 解得: 1.a = 2
()1.21
x
f x ∴=-
+ ………………12分
19.(12分)
已知二次函数f(x)=4x 2-2(p -2)x -2p 2-p +1在区间[-1,1]内至少存在一个实数c ,使f(c)>0,求实数p 的取值范围.
解析:二次函数f(x)在区间[-1,1]内至少存在一个实数c ,使f(c)>0的否定是对于区间[-1,1]内的任意一个x 都有f(x)≤0,
∴f(-1)≤0且f(1)≤0
整理得⎩
⎪⎨⎪⎧
2p 2+3p -9≥0,2p 2
-p -1≥0,
解得p≥3
2
或p≤-3,
∴二次函数在区间[-1,1]内至少存在一个实数c ,使f(c)>0的实
数p 的取值范围是(-3,3
2
).
20. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,
F 分别为D 1C 1,C 1B 1的中点,AC ∩BD=P ,A 1C 1∩EF=Q .
(1)求证: D ,B ,F ,E 四点共面; (2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点,则P,Q,R 三点共线. 20.【证明】如图.
(1)∵EF是△D1B1C1的中位线,
∴EF∥B1D1.
在正方体AC1中,B1D1∥BD,
∴EF∥BD.
∴EF、BD确定一个平面,
即D,B,F,E四点共面.
(2)正方体AC1中,设平面A1ACC1确定的平面为α,
又设平面BDEF为β.
∵Q∈A1C1,
∴Q∈α.
又Q∈EF,
∴Q∈β.
则Q是α与β的公共点,同理P是α与β的公共点,
∴α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,
∴R∈A1C.
∴R∈α,且R∈β,则R∈PQ.
故P,Q,R三点共线.
21.(12分)如图所示的四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥平面ABCD,E为PC的中点,
求证:(1)PA∥平面BDE; (2)平面PAC⊥平面PBD.
21.【证明】(1)连接AC交BD于点O,连接OE.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=CO.
∵E为PC的中点,
∴EO∥PA.
∵PA平面BDE,EO⊂平面BDE,
∴PA∥平面BDE.
(2)∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面
ABCD,
∴PA⊥BD,
∵四边形ABCD是菱形,
∴BD⊥AC.
∵AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC.
∵BD⊂平面PBD,
∴平面PAC⊥平面PBD.
22. 如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是CB,CD,CC1的中点.
(1)求证:平面AB1D1∥平面EFG.
(2)求E FG CD
二面角的正切值.
--
22.(1)【证明】在正方体ABCD-A1B1C1D1
中,连接BD.
∵DD1∥B1B,DD1=B1B,
∴四边形DD1B1B为平行四边形,
∴D1B1∥DB.
∵E,F分别为BC,CD的中点,
∴EF∥BD,∴EF∥D1B1.
∵EF⊂平面EFG,D1B1⊄平面EFG,
∴D1B1∥平面EFG.同理AB1∥平面EFG.
(2)E FG CD
二面角
--。