2015-2016学年上学期高一数学月考考试试卷(含答案)

2015-2016学年高一上学期第二次月考数学试卷
考试时间：120分钟 满分:150分
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分. ) 1. (2010年高考安徽卷)若集合A ＝
，则∁R A ＝( )
A ．(－∞，0]∪(22，＋∞)
B ．(2
2，＋∞)
C ．(－∞，0]∪[22，＋∞)
D ．[2
2
，＋∞)
答案：A
2. 已知f(1－x 1＋x )＝1－x 2
1＋x 2，则f(x)的解析式可取为( )
A.x 1＋x 2 B ．－2x 1＋x 2 C.2x 1＋x 2 D ．－x 1＋x 2 答案：C
3. 函数y ＝1
3x －2＋lg (2x －1)的定义域是( )
A ．[23，＋∞)
B ．(12，＋∞)
C ．(23，＋∞)
D ．(12，23)
答案：C
4. 函数f(x)＝2
2x －2
的值域是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－1,0)∪(0，＋∞)
C ．(－1，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 答案：D
5．函数x
e x x
f --=44)(的零点所在的区间为（ ）
A. （1，2）
B. (0,1)
C. (-1,0)
D. (-2,-1) 答案：B
6．下列函数在(0,1)上是减函数的是( )
A ．y ＝log 0.5(1－x)
B ．y ＝x 0.5
C ．y ＝0.51－x
D ．y ＝1
2
(1－x 2)
答案：D
7．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x －1)<f(1
3
)
的x 的取值范围为( )
A ．[0，13]
B ．(13，12]
C ．[12，23)
D ．(13，2
3
)
答案：D
8．如图所示的直观图的平面图形ABCD 是( ) (A)任意梯形
(B)直角梯形 (C)任意四边形 (D)平行四边形 答案：B
9. 下列说法不正确的是( )
(A)空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形 (B)同一平面的两条垂线一定共面
(C)过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
(D)过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 D
10. 半径为16，圆心角为180°的扇形围成圆锥的侧面，则圆锥的高是 (A)
(B) (C) (D)8
答案：B
11. 一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于( )
(A)6 (B)2 (D)答案：C
12. 正四面体的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A. 1∶3
B. 1∶∶9 D. 1∶81 答案：A
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)
13. 若函数f(x)＝a x －x －a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a 的取
值范围是________．答案：(1，＋∞)
14. 定义在R 上的奇函数f(x)，当x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝log 2x ，则不等式f(x)<－1的解集是________．
答案：(－∞，－2)∪(0，1
2
)
15. 在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2，E ，F 分别是AB ，CD 的中点则异面直线AD 与BC 所成角的大小为_______.答案：60°
16. 如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后形成的三棱锥D-ABC 中，给出下列三种说法：
①△DBC 是等边三角形；②AC ⊥BD ；③三棱锥D-ABC 的体积是6
. 其中正确的序号是________(写出所有正确说法的序号).
答案：①②
三、解答题：(本大题共6小题，共70分. ) 17．（本小题10分）
已知集合A ＝{x|2a －2<x<a}，B ＝{x|1<x<2}，且A ∁R B ，求实数a
的取值范围．
解：∁R B ＝{x|x≤1或x≥2}≠∅， ∵A ∁R B ，
∴分A ＝∅和A≠∅两种情况讨论． ①若A ＝∅，此时有2a －2≥a， ∴a≥2.
②若A≠∅，则有⎩
⎪⎨
⎪⎧
2a －2<a
a≤1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
2a －2<a
2a －2≥2.
∴a≤1.综上所述，a≤1或a≥2. 18．（本小题12分）设函数2
()21
x
f x a =-
+,
⑴ 求证: 不论a 为何实数()f x 总为增函数; ⑵ 确定a 的值,使()f x 为奇函数.
18. 解: (1) ()f x 的定义域为R, 12x x ∴<,
则121222()()2121x x f x f x a a -=--+++=1212
2(22)
(12)(12)
x x x x ⋅-++, 12x x < , 1212220,(12)(12)0x x x x ∴-<++>,12()()0,f x f x ∴-<
即12()()f x f x <,所以不论a 为何实数()f x 总为增函
数.…………6分
(2) ()f x 为奇函数, ()()f x f x ∴-=-,即22
2121
x x a a --=-+++, 解得: 1.a = 2
()1.21
x
f x ∴=-
+ ………………12分
19．(12分)
已知二次函数f(x)＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f(c)>0，求实数p 的取值范围．
解析：二次函数f(x)在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f(c)>0的否定是对于区间[－1,1]内的任意一个x 都有f(x)≤0，
∴f(-1)≤0且f(1)≤0
整理得⎩
⎪⎨⎪⎧
2p 2＋3p －9≥0，2p 2
－p －1≥0，
解得p≥3
2
或p≤－3，
∴二次函数在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f(c)>0的实
数p 的取值范围是(－3，3
2
)．
20. 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，
F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD=P ，A 1C 1∩EF=Q ．
(1)求证： D ，B ，F ，E 四点共面； (2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P,Q,R 三点共线． 20.【证明】如图．
(１)∵EF是△D1B1C1的中位线，
∴EF∥B1D1．
在正方体AC1中，B1D1∥BD，
∴EF∥BD．
∴EF、BD确定一个平面，
即D，B，F，E四点共面．
(２)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，
又设平面BDEF为β．
∵Q∈A1C1，
∴Q∈α．
又Q∈EF，
∴Q∈β．
则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，
∴α∩β=PQ．
又A1C∩β=R，
∴R∈A1C．
∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ．
故P，Q，R三点共线．
21．(12分)如图所示的四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PC的中点，
求证：(1)PA∥平面BDE； (2)平面PAC⊥平面PBD.
21.【证明】(1)连接AC交BD于点O,连接OE.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO.
∵E为PC的中点，
∴EO∥PA.
∵PA平面BDE,EO⊂平面BDE,
∴PA∥平面BDE.
(2)∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面
ABCD，
∴PA⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC.
∵AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC.
∵BD⊂平面PBD，
∴平面PAC⊥平面PBD.
22. 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别是CB,CD,CC1的中点.
（1）求证：平面AB1D1∥平面EFG.
（2）求E FG CD
二面角的正切值.
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22.（1）【证明】在正方体ABCD-A1B1C1D1
中，连接BD.
∵DD1∥B1B,DD1=B1B,
∴四边形DD1B1B为平行四边形，
∴D1B1∥DB.
∵E,F分别为BC，CD的中点，
∴EF∥BD，∴EF∥D1B1.
∵EF⊂平面EFG，D1B1⊄平面EFG，
∴D1B1∥平面EFG.同理AB1∥平面EFG.
（2）E FG CD
二面角
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