2019年浙江省金华市平安中学高三数学文月考试卷含解析

2019年浙江省金华市平安中学高三数学文月考试卷含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若x，y满足则x＋2y的最大值为
A．B．6 C．11 D．10
参考答案：
C
略
2. 已知是奇函数，是偶函数，且,则等于
（A）4. (B) 3. (C) 2. (D) 1.
参考答案：
B
略
3. 若函数的大致图象如下图，其中，为常数，则函数
的大致图象是（）
参考答案：
B
4. 若方程，的根分别为，，则（）
A.2
B.4
C.6
D.8
参考答案：
B
略
5. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
6.
已知点上的动点，F是椭圆的右焦点，则|MA|+|MF|的最大值是（）
A．15 B． C． D．
参考答案：
答案:A
7. 一个四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥的体积为（）
A．24 B．16 C．12 D．8
参考答案：
D
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】画出图形，利用三视图的数据，求解棱锥的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体为如图所示的四棱锥：
棱锥的底面是边长为：2，3的矩形，棱锥的高为4，
四棱锥的体积为：
=8．
故选：D．
【点评】本题考查三视图与几何体是直观图的关系，几何体的体积的求法，考查计算能力．
8. 双曲线的左右焦点分别为F1、F2，渐近线为，点P在第一象限内且在上，若则双曲线的离心率为（）
A. B. 2 C. D.
参考答案：
B
分析：分别求得双曲线的两条渐近线的方程，设出点P的坐标，根据直线的斜率公式，求得直线的斜率及直线的斜率，根据直线平行及垂直的关系，即可求得的关系，根据双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率.
详解：设双曲线渐近线的方程为，的方程为，
则设点坐标为，
则直线的斜率，直线的斜率，由，则，即（1）
由，则，解得（2），
联立（1）（2），整理得：，
由双曲线的离心率，
所以双曲线的离心率为2，故选B.
点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要先设出点P 的坐标，利用两点斜率坐标公式，将对应的直线的斜率写出，再利用两直线平行垂直的条
件，得到的关系，之后借助于双曲线中的关系以及离心率的公式求得结果. 9. 复数，则为( )
A．B．1 C. D．
参考答案：
C
由题得，
所以故答案为：C
10. 四棱锥P-ABCD的底面为正方形ABCD，PA⊥底面ABCD，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则PA的长为（）
A. 3
B. 2
C. 1
D.
参考答案：
C
【分析】
连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE,可得O为球心，由该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，可得PA的值.
【详解】解：
连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OE∥PA,
OE⊥底面ABCD，可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球半径为R，
可得，可得，
解得PA=1,
故选C.
【点睛】本题主要考查空间几何体外接球的相关知识及球的体积公式，得出球心的位置是解题的关键.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为
参考答案：
12. 把一颗骰子掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，则方程组
无解的概率是________
参考答案：
【分析】
由题意得出直线与直线平行，得出，可得出事件“方程组无解”所包含的基本事件数，并确定所有的基本事件数为，然后利用古典概型的概率公式可得出所求事件的概率.
【详解】把一颗骰子掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，用表示基本事件，则所有的基本事件数为，
若方程组无解，则直线与直线平行，可得，
则事件“方程组无解”包含的基本事件有：、、，共种，
因此，事件“方程组无解”的概率为，故答案为：.
【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题的关键就是在于列举所有的基本事件，也可以利用一些计数原理求出基本事件数，考查计算能力，属于中等题.
13. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，回归直线l的方程为
，则下列说法正确的是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
参考答案：
D
【分析】
利用回归直线方程，判断斜率以及截距的大小，判断选项即可．
【详解】由题图可知，回归直线的斜率是正数，即0；回归直线在y轴上的截距是负数，即0，
故选：D．
【点睛】本题考查回归直线方程的判断与应用，是基本知识的考查．
14. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图，是利用秦九韶算法求一个多项
式的值，若输入n、x的值分别为3、，则输出v的值为______
参考答案：
【分析】
此程序框图是循环结构图，模拟程序逐层判断，得出结果.
【详解】解：模拟程序：
的初始值分别为
第1次循环：，，不满足；
第2次循环：，，不满足；
第3次循环：，，满足；
故输出.
【点睛】本题考查了程序框图的循环结构，解题的关键是要读懂循环结构的流程图，根据判断框内的条件逐步解题.
15. 若正实数满足=,则的最小值为.参考答案：
2
本题考查定积分,基本不等式.由题意得===2;即=2,所以===4(当且仅当时等号成立).所以,即的最小值为2.
16. 已知双曲线的方程为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为.
参考答案：
略
17. 如果执行如图所示的程序框图，那么输出的k=．
参考答案：
5
【考点】程序框图．
【分析】由程序框图，运行操作，直到条件满足为止，即可得出结论．
【解答】解：由程序框图知第一次运行k=2，m=；
第二次运行k=3，m=；
第三次运行k=4，m=；
第四次运行k=5，m=；
退出循环．
故答案为：5．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）若是直线l上一点，是曲线C上一点，求的最大值. 参考答案：
（1），；（2）2.
【分析】
(1)消去参数可得普通方程,极坐标与直角坐标互化公式可得答案;
(2)根据极坐标的几何意义以及三角函数的最值可得答案.
【详解】（1）由题，直线的参数方程为（其中为参数）.
消去参数得直线的直角坐标方程为，
由，，得直线的极坐标方程，
即
曲线的极坐标方程为，所以，
由，，得曲线的直角坐标方程为.
（2）因为在直线上，在曲线上，
所以，，
所以，
的最大值为2.
【点睛】本题考查了参数方程化普通方程,考查了极坐标与直角坐标互化公式,考查了极坐标的几何意义,考查了三角函数的最值,属于中档题.
19. 已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）若a=﹣2，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，求正整数k的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）
参考答案：
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用．
【分析】（I）利用导数判断f（x）的单调性和单调区间；
（II）分离参数得出k＜，使用导数求出右侧函数的最小值，得出k的范围．
【解答】解：（I）a=﹣2时，f（x）=xlnx﹣2x，则f′（x）=lnx﹣1．
令f′（x）=0得x=e，
当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，
∴f（x）的单调递减区间是（0，e），单调递增区间为（e，+∞）．
（II）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，
则xlnx+ax＞k（x﹣1）+ax﹣x恒成立，即k（x﹣1）＜xlnx+ax﹣ax+x恒成立，
又x﹣1＞0，则k＜对任意x∈（1，+∞）恒成立，
设h（x）=，则h′（x）=．
设m（x）=x﹣lnx﹣2，则m′（x）=1﹣，
∵x∈（1，+∞），∴m′（x）＞0，则m（x）在（1，+∞）上是增函数．
∵m（1）=﹣1＜0，m（2）=﹣ln2＜0，m（3）=1﹣ln3＜0，m（4）=2﹣ln4＞0，
∴存在x0∈（3，4），使得m（x0）=0，
当x∈（1，x0）时，m（x）＜0，即h′（x）＜0，
当x∈（x0，+∞）时，m（x）＞0，h′（x）＞0，
∴h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
∴h（x）的最小值h min（x）=h（x0）=．
∵m（x0）=x0﹣lnx0﹣2=0，∴lnx0=x0﹣2．∴h（x0）==x0．
∴k＜h min（x）=x0．
∵3＜x0＜4，
∴k≤3．
∴k的值为1，2，3．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数的最值，函数恒成立问题，构造函数求出h（x）的最小值是解题关键，属于难题．
20. （14分）某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响．若A项技术指标达标的概率为，B项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品．
（1）一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率；
（2）任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列及Eξ．参考答案：
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】（1）分A项指标达标与A项指标不达标而B项技术指标达标求概率再求和即可；
（2）由题意求ξ的分布列及Eξ．
【解答】解：（1）一个零件经过检测至少一项技术指标达标的概率
P=+（1﹣）×=，
（2）一个产品合格的概率为×=，
则P（ξ=0）=?×=，
同理可求得，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=；
故ξ的分布列是
Eξ=4×=．
【点评】本题考查了离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力．
21. 设数列的前项和为，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）设求证：
参考答案：
解：（1）当时，．
当时，，此式对也成立．
．
（2）证明：设，则．
所以是首项为0，公差为的等差数列．
略
22. （12分）已知△ABC的面积S满足，且,与的夹角为．(1)求的取值范围；
(2)求函数的最大值及最小值．
参考答案：
(1)解：因为，与的夹角为与的夹角为
所以2分
4分又，所以，即，又，所以．6分(2)解：
8分因为，所以，10分从而当时，的最小值为3，当时，的最大值为．12分略。