第14讲一元二次方程根与系数的关系-尖子班

一、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：
若21,x x 是关于x 的一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的两个根，则方程的两个根21,x x 和系数c b a ,,有如下关系：a
c x x a b x x =⋅-=+2121,
.【例1】先阅读，再填空解题：
⑴方程x 2－x －12＝0的根是：x 1＝3-，x 2＝4，则x 1＋x 2＝1，x 1·x 2＝12-；
⑵方程2x 2－7x ＋3＝0的根是：x 1＝12，x 2＝3，则x 1＋x 2＝72，x 1·x 2＝32
；⑶方程x 2－3x ＋1＝0的根是：x 1＝，x 2＝．
则x 1＋x 2＝，x 1·x 2＝；
⑷根据以上⑴⑵⑶你能否猜出：
如果关于x 的一元二次方程mx 2＋nx ＋p ＝0（m ≠0且m 、n 、p 为常数）的两根为x 1、x 2，那么x 1＋x 2、x 1·x 2与系数m 、n 、p 有什么关系？请写出来你的猜想并说明理由．
⑸在⑶的条件下，求下列各式的值：①221221x x x x +；②2212
11x x +【例2】不解方程，求下列方程两根的积与和．
⑴25100x x --=⑵22710
x x ++=⑶23125x x -=+⑷()137
x x x -=+一元二次方程根与系数的关系
【例3】（1）设方程24730x x --=的两个根为1x 、2x ，不解方程求下列各式的值
①12(3)(3)x x --；②211211x x x x +++；③12
x x -（2）已知α、β是方程2520x x ++=的两根，求βααβ
+的值．（3）设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是__________．
【例4】若方程210x px ++=的一个根为12-，则它的另一根等于__________，p 等于_________
【例5】（1）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ．
①求实数m 的取值范围；
②当22120x x -=时，求m 的值．
（2）已知一元二次方程2(1)230m x mx m +++-=有两个不相等的实数根，并且这两个根又不互为相反数.
①求m 的取值范围；
②当m 在取值范围内取最小偶数时，方程的两根为12,x x ，求2123(14)x x -的值.
（3）关于x 的方程20x px q ++=的两根和为1s ，两根的平方和为2s ，两根的立方和为3s ，试求321s ps qs ++的值．
（4）已知方程组22200x y x kx y k ⎧+-=⎨--=⎩
①②（x 、y 为未知数）⑴求证：不论k 为何实数，方程组总有两个不同的实数解
⑵设方程组的两个不同的实数解为11x x y y =⎧⎨=⎩和22
x x y y =⎧⎨=⎩求证：221212()()x x y y -+-是一个常数
【例6】已知关于x 的方程①2230x mx m -+=的两个实根是1x 、2x 且212()16x x -=。

如果关于x 的另一个方程22690x mx m -+-=的两个实数根都在1x 、2x 之间，求m 的值
根的判别式与韦达定理
1、已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0，有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的最大整数值；
（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22-x1x2的值．
2、已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1-1）（x2-1）=28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．
3、已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得x1•x2−x12−x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
4、已知x1，x2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的两个实数根．
（1）是否存在实数a，使-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．
5、关于x的一元二次方程x2-（m-3）x-m2=0．
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|-2，求m的值及方程的根．
6、已知关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若|x1+x2|=x1x2-1，求k的值．
【题1】方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（
）
A ．7-
B ．3-
C ．7
D ．3【题2】设1x ，2x 是一元二次方程2320x x --=的两个实数根，则2211223x x x x ++的值为__________________．
【题3】已知α，β是一元二次方程210x x +-=的两个根，求5325αβ+的值．
【题4】已知关于x 的方程()2120x k x k -+++=的两个实数根的平方和等于6，求k 的值．
【题5】已知关于x 的一元二次方程x 2－(k ＋1)x ＋2k －2＝0
(1)求证：无论k 为何值时，该方程总有实数根
(2)若两个实数根平方和等于5，求k 的值
【题6】关于x 的一元二次方程x 2-x+p-1=0有两实数根x 1，x 2，
（1）求p 的取值范围；
（2）若[2+x 1（1-x 1）][2+x 2（1-x 2）]=9，求p 的值．
【题7】已知关于x的方程kx2-2（k+1）x+k-1=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．
【题8】已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．试问：k取何值时，△ABC 是以BC为斜边的直角三角形？
【题9】已知关于x的方程x2-（k+1）x+1=0
（1）k取什么值时，方程有两个实数根；
（2）如果方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求k的值．
【题10】已知关于x的方程x2-（2k+1）x+4（k-1）=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实数根；
（2）能否找到一个实数k，使方程的两实数根互为相反数？若能找到，求出k 的值；若不能，请说明理由．
（3）当等腰三角形ABC的边长a=4，另两边的长b、c恰好是这个方程的两根时，求△ABC的周长．。