广东省阳江市阳东县阳东一中、广雅中学高三第一次联考

广东省阳江市阳东县阳东一中、广雅中学2015
届高三第一次联考数学（理）试题
3．已知a 、b 是实数，则“a>1，b>2”是“a+b>3且ab>2”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分且必要条件
D ．既不充分也不必要条
4．ABC ∆中，角A B C 、、所对的边a b c 、、
，若a =
3
A π
=
，cos 5
B =
，则b =( )
A
．
5 B
．5
C ．554
D ．5512
5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →＝(2,4)，AC →
＝(1,3)，则＝( )
A ．(2,4)
B ．(3,5)
C ．(1，1)
D ．(－1，－1)
6.已知点(,)P x y 在不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
表示的平面区域上运动，则z x y =-的最小值
是( ) A ．2-
B ．2
C ．1-
D ．1
7．已知点P 是抛物线2
4x y =上的一个动点，则点P 到点(2,0)M 的距离与点P 到该抛 物线准线的距离之和的最小值为( ) A
B
C
． D ．92
8．对于非空集合,A B ，定义运算：{|,}A B x x A
B x A B ⊕=∈∉且，
已知}|{},|{d x c x N b x a x M <<=<<=，其中d c b a 、、、满足a b c d +=+，
0ab cd <<，则=⊕N M ( )
A (,)(,)a d b c B.(,][,)c a b d C. (,][,)a c d b D.(,)(,)c a d b
二、填空题：(本大题共7小题，考生作答6小题,每小题5分，满分30分) （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答
9.某校高中部有三个年级，其中高三有学生1000人，现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本，已知在高一年级抽取了75人，高二年级抽取了60人，则高中部共有学生____人. 10．
π40
cos xdx =⎰
11．执行如图3所示的程序框图，输出的=i 12．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得 该几何体的表面积是_________；
13．观察下列等式:
21
2
(1)1x x x x ++=++,
22
2
3
4
(1)1232x x x x x x ++=++++,
23
2
3
4
5
6
(1)136763x x x x x x x x ++=++++++,
242345678
(1)1410161916104x x x x x x x x x x ++=++++++++,
由以上等式推测:
对于n N *∈,若2
2
20122(1)n
n n x x a a x a x a x ++=+++
+,则
2a =
.
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的
得分．
14．（坐标系与参数方程选做题）．
如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且
=BC PB 12，则PA
BC
= ． 15．（坐标系与参数方程选做题）曲线4cos 4
π
ρθθ==关于直线程为 。

P
19题图三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）
在△ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，满足222a c b ac +-=， （1）求角B 的大小；
（2）设(sin ,cos2)m A A =，(6,1)n =--，求m n ⋅的最小值
17．（本小题满分12分）
某学校900名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50
个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组
[]17,18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩小于14秒认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数； （2）请估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数；
（3）若样本第一组中只有一个女生，其他都是男生，第五组则只有一个男生，其他都是女生，现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男同学的数量为ξ，求ξ的分布列和期望．
18.（本小题满分14分）
如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3， D 为AC 的中点.
(1)求证：AB 1//面BDC 1；
(2）求二面角C 1—BD —C 的余弦值；
(3）在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论.
B 1
C 1
A 1
B
C
D
19.（本小题满分14分）
已知2a 、5a 是方程027122=+-x x 的两根，数列{}n a 是递增的等差数列，
数列{}n b 的前n 项和为n S ，且n n b S 2
1
1-=（*∈N n ）．
(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
(2)记n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
20.（本小题满分14分）
如图，已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的上顶点为A ,
离心率为
，若不过点A 的动直
线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且0AP AQ ⋅=. （1）求椭圆C 的方程；
（2）求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标.
21.（本小题满分14分）
已知函数||ln )(b x x ax x f ++=是奇函数，且图像在点))( , (e f e 处的切线斜率为3（e 为自然对数的底数）． （1）求实数a 、b 的值； （2）若Z k ∈，且1
)
(-<
x x f k 对任意1>x 恒成立，求k 的最大值；
19题图
当sin 1A =时，m n ⋅取最小值5- ………………………12分 17.解：（1）由频率分布直方图知，成绩在第一组的为优秀，频率为0.06， 人数为：50×0.06=3
所以该样本中成绩优秀的人数为3 ……… …………… 3分
（2）由频率分布直方图知，成绩在第三组的频率0.38，以此估计本年级900名学生成绩属于第三组的概率为0.38，人数为：900×0.38=342
所以估计本年级900名学生中，成绩属于第三组的人数为342。

……… 7分 （3）第五组共有50×0.008=4人,其中1男,3女,则ξ的可能取值为1，2，3；
31
)1(2
4
01
2323121
1=⋅⋅==C C C C C C p ξ……… 8分 21
)2(2
41311231
112242*********=⋅⨯⋅+⋅⨯⋅==C C C C C C C C C C C C p ξ…… 9分 61
)3(2
4
131123012
2=⋅⨯⋅==C C C C C C p ξ……… 10分 ξ∴的分布列为
…… 11分
∴6
11
)3(3)2(2)1(1=
=⨯+=⨯+=⨯=ξξξξp p p E …………12分 18.（I ）证明：连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD ∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点.
又D 是AC 的中点，∴OD//AB 1.………………………2分 ∵AB 1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1，∴AB 1//面BDC 1.………4分 （II ）解：如图，建立空间直角坐标系，则 C 1（0，0，0），B （0，3，2），C （0，3，0），A （2，3，0）， D （1，3，0）……………………5分
设=（x 1，y 1，z 1）是面BDC 1的一个法向量，则,00
11⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅C B C n
即)21
,31,1(,
030231111-=⎩⎨⎧=+=+y x z y 取.…………………………………………6分
易知C 1=(0，3，0)是面ABC 的一个法向量.
72
36
71|
|||,cos 111-=⋅-=
⋅>=
<∴C C n C .……………………………8分 ∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为
7
2
.…………………………………………9分 （III ）假设侧棱AA 1上存在一点P （2，y ，0）（0≤y ≤3），使得CP ⊥面BDC 1.则
⎪⎩
⎪
⎨
⎧==∴⎩⎨⎧=-+=-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.373,0)3(320)3(3,0011y y y y C B C CP 即∴方程组无解.∴假设不成立. ∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1.……………………………14分
(2)n
n n n n b a c 32
4-=
⋅=……9分 n
n n n n T 32
432)1(43234322432141321-+--⨯++-⨯+-⨯+-⨯=- 12
2103
2432)1(43234322432143---+--⨯++-⨯+-⨯+-⨯=n n n n n T ……………11分
两式相减得：n
n n n T 3
2
434343422121--++++
=- ……13分 n n 3444+-=，所以n
n
n T 32
22+-=……14分
(y kx m =+(0,1),A l ∉∴)1m ≠，
代入椭圆C 的方程2
213
x y +=并整理得: 222(13)63(1)0k x mkx m +++-=,
设直线l 与椭圆C 相交于11(,)P x kx m +、22(,)Q x kx m +两点，则,12x x 是上述关于x 的方
程
两
个
不
相
等
的
实
数
解
，
从
而
22222(6)4(13)3(1)12(31)0mk k m k m ∆=-+⨯-=+->
2121222
63(1)
,1313mk m x x x x k k
-+=-=++ …………………………………7分 由0,AP AQ ⋅=得
2212121212(1)(1)(1)(1)()(1)0x x kx m kx m k x x k m x x m ++-+-=++-++-=，
22
222
3(1)6(1)(1)()(1)01313m mk
k k m m k k
-+⋅+-⋅-+-=++ 整理得：2
210,m m --= (21)(1)0,m m +-=由1m ≠知1
2
m =-
.
此时2
9(41)0k ∆=+>, 因此直线l 过定点1(0,)2
N -. ………………………14分
2015届阳东一中、阳东广雅中学高三第一次联考试题答题
卡。