高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式课件

三角函数的联系,利用向量可以解决有关三角问题.
1
2
3
【做一做3-1】 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC为(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法判断
解析:由=(1,1),=(-4,2),=(3,-3),
于是 ·=1×3-1×3=0,
即 ⊥ ,
(3)向量的夹角的余弦公式:已知 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则两个向量
a,b 的夹角的余弦为 cos<a,b>=
1 1 +2 2
2
2
21 +22 1 +2
.
归纳总结 1.由向量的长度公式可以发现,引入向量的直角坐标,
建立了向量与解析几何的联系.
2.由两个向量的夹角的余弦的表达式可以发现向量的数量积与
2.向量垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0与向量共线的坐标表示x1y2x2y1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上
鉴别,垂直是a·b=0,而共线是方向相同或相反.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实
设 与的夹角为 θ,
则 cos θ=
·
||||
16
4
= 20 = 5,
4
∴矩形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为5.
反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边赋予向量,然后
把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运
算即可,最后再回归到原始几何图形中进行说明.
解析:由|a|2=9+x2=25,解得x=±4.
答案:±4
.
x 等于
用向量的数量积的坐标运算来分析“(a·b)c=a(b·c)”不恒成立
剖析设a=(x1,y1),b=(x2,y2),c=(x3,y3),
则a·b=x1x2+y1y2, b·c =x3x2+y3y2,
∴(a·b)c=(x1x2+y1y2)(x3,y3)
这与a,c是任意向量,即a,c不一定共线,相矛盾.
∴假设不成立.
∴(a·b)c=a(b·c)不恒成立.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
向量数量积的坐标运算
【例 1】 已知 a=(-6,2),b=(-2,4),求 a·b,|a|,|b|,<a,b>.
分析直接套用基本公式
a·b=x1x2+y1y2,|a|=
则=(3,-6).
∵ =
1
=(1,-2),
3
∴点 M 的坐标为(4,4),故=(4,4).
假设在线段 BM(端点除外)上存在一点 P,使得 PC⊥BM,设
=λ,且 0<λ<1,
题型一
题型二
题型三
题型四
则=λ(4,4)=(4λ,4λ),
∴ = + =(-6,0)+(4λ,4λ)=(4λ-6,4λ).
=(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3),
a(b·c)=(x1,y1)(x3x2+y3y2)
=(x1x3x2+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3).
假设(a·b)c=a(b·c)成立,
则有(x1x2x3+y1y2x3,x1x2y3+y1y2y3)
=(x1x3x2+x1y2y3,x2x3y1+y1y2y3),
B.a·b= 2
C.a-b 与 b 垂直
D.a∥b
解析:(a-b)·b=a·b-|b|
答案:C
1 1
= − =0,所以
2 2
2
a-b 与 b 垂直.
)
1
2
3
4
5
6
2.设m,n是两个非零向量,且m=(x1,y1),n=(x2,y2),则以下等式中与
m⊥n等价的个数为(
)
①m·n=0;②x1x2=-y1y2;③|m+n|=|m-n|;④|m+n|= 2 + 2 .
∴△ABC 为直角三角形.
答案:B
)
1
2
3
【做一做 3-2】 已知
(
)
A.1
C.-4
π
解析:cos
4
π
m=(3,-1),n=(x,-2),且<m,n>=4,则
B.-1
D.4
=
3+2
10×
,
2 +4
解得 x=1 或 x=-4(舍).
答案:A
【做一做3-3】 已知a=(3,x),|a|=5,则x=
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 如图,在平面直角坐标系xOy中有一△ABC,其中
AB=AC=3 5,BC=6,M为AC边上靠近A点的一个三等分点,试问线
段BM(端点除外)上是否存在一点P,使得PC⊥BM?
解:由已知 AB=AC=3 5,BC=6,
可得 B(0,0),C(6,0),A(3,6),
ABCD 为矩形.而由两向量夹角的余弦值可以得到两条对角线所夹
锐角的余弦值.
题型一
题型二
题型三
题型四
(1)证明 ∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
∴=(1,1),=(-3,3).
∴ ·=1×(-3)+1×3=0,
∴ ⊥ ,即 AB⊥AD.
(2)解: ∵四边形 ABCD 为矩形,
为直角,求 k 的值.
分析要对△ABC的三个内角分别讨论,并利用坐标反映垂直关系.
题型一
题型二
题型三
题型四
解:当 A=90°时, ·=0,
2
∴2×1+3×k=0.∴k=-3.
当 B=90°时, ·=0, = − =(1-2,k-3)=(-1,k-3),
∴2×(-1)+3×(k-3)=0.
12
+
12 ,cos<a,b>=
解:a·b=(-6,2)·(-2,4)=12+8=20.
|a|= 36 + 4=2 10,
|b|= (-2)2 + 42 =2 5.
·
∵cos<a,b>=||||
π
∴<a,b>=4.
=
20
2 10×2 5
=
2
,
2
1 2 +1 2
21 +21
22 +22
的答案.
1
正解:a·b<0⇒(-2,1)·(λ,-1)<0⇒λ>-2.
设 b=ta(t<0),则(λ,-1)=(-2t,t),
∴t=-1,λ=2,即当 λ=2 时,a 和 b 反向,且共线,
1
∴λ∈ - 2 ,2 ∪(2,+∞).故选 A.
答案:A
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练4】 若a=(3,2),b=(m,6),且a与b的夹角为锐角,则实数
的值为
, · 的最大值为
.
题型一
题型二
题型三
题型四
解析:(1)由于a=(1,2),2a-b=(3,1),
所以b=(-1,3),
于是a·b=1×(-1)+2×3=5.
(2)如图,以A为原点,AB,AD所在直线分别为
x轴、y轴,
则D(0,1),C(1,1),B(1,0).设E(x,0)(0≤x≤1).
于是 =(x,-1),=(0,-1),故 ·=x×0+(-1)×(-1)=1.
又 =(1,0),所以 · =x.
由于 0≤x≤1,
所以 · 的最大值为 1.
答案:(1)D
(2)1
1
题型一
题型二
题型三
题型二
题型四
平面向量垂直的坐标运算
【例 2】 在△ABC 中,=(2,3),=(1,k),且△ABC 的一个内角
∴x1x2x3+y1y2x3=x1x3x2+x1y2y3,
x1x2y3+y1y2y3=x2x3y1+y1y2y3.
∴y1y2x3=x1y2y3,x1x2y3=x2x3y1.
∴y2(y1x3-x1y3)=0,x2(x1y3-x3y1)=0.
∵b是任意向量,
∴x2和y2是任意实数.
∴y1x3-x1y3=0.∴a∥c.
为钝角,则 λ 的取值范围是(
)
A.
C.
1
- 2 ,2 ∪(2,+∞)
1
-2,+ ∞
B.(2,+∞)
1
D. -∞,- 2
错解:由 a 与 b 的夹角为钝角,得 a·b<0,
即-2λ-1<0,
1
2
解得 λ>- .
题型一
题型二
题型三
题型四
错因分析a·b<0⇔a与b的夹角为钝角或平角.因此上述解法中需
要对结论进行检验,把a与b的夹角为平角的情况舍去才能得出正确
2.3.3
向量数量积的坐标运算与度量公式
1.掌握向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标运
算.
2.能利用平面向量数量积的坐标运算与度量公式解决有关长度、
角度、垂直、正投影等实际问题.
1
2
3
1.向量的数量积(内积)的坐标运算
已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a·b=a1b1+a2b2.
即可.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思已知向量的坐标,我们便直接用公式来计算数量积、模和夹
角等问题;若向量的坐标是未知的,一般考虑用定义和运算律进行
转化.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练1】 (1)已知向量a=(1,2),2a-b=(3,1),则a·b等于(
A.2 B.3
C.4 D.5
)
(2)已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 ·
∵PC⊥BM,∴ ·=4(4λ-6)+16λ=0,
3
4
解得 λ= ∈(0,1).
∴在线段 BM(端点除外)上存在一点 P,使得 PC⊥BM.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型四
易错辨析
易错点:对向量夹角的范围理解不深致错
【例 4】 设平面向量 a=(-2,1),b=(λ,-1)(λ∈R),若 a 与 b 的夹角
m的取值范围是
.
解析:由a·b=3m+12>0,得m>-4.
又当a与b共线时有3×6=2×m,解得m=9.
这时b=3a,a与b同向,夹角为0,
因此m的取值范围是m>-4,且m≠9.
答案:m>-4,且m≠9
1
2
3
4
5
6
1 1
,
2 2
1.设向量 a=(1,0),b=
,则下列结论中正确的是 (
2
A.|a|=|b|
11
∴k= 3 .
当 C=90°时, · =0,
∴-1+k(k-3)=0,
3± 13
.
2
∴k=
2
11
3± 13
时,△ABC
2
因此,当 k=- 或 k= 或 k=
3
3
有一个内角为直角.
题型一
题型二
题型三
题型四
反思1.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量a与b垂直
⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
【例3】 已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD;
(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD的两
条对角线所夹的锐角的余弦值.
分析(1)要证明 AB⊥AD,只需证 ·=0.
(2)在 ⊥ 的前提下,只要找点 C 使 = 即可使四边形
知识拓展非零向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)的夹角θ的范围与坐标运
算的数量积的关系是:
(1)θ为锐角或零角⇔x1x2+y1y2>0;
(2)θ为直角⇔x1x2+y1y2=0;
(3)θ为钝角或平角⇔x1x2+y1y2<0.
1
2
3
4
【做一做 1-1】 若 a=(2,-3),b=(x,2x),且 a·b=3,则 x 等于(
15
即 2λ-15=0,∴λ= 2 .
15
答案: 2
1
2
3
3.向量的长度、距离和夹角公式
(1)向量的长度:已知 a=(a1,a2),则|a|= 12 + 22 ,即向量的长度等
于它的坐标平方和的算术平方根.
(2)两点之间的距离公式:若 A(x1,y1),B(x2,y2),则
||= (2 -1 )2 + (2 -1 )2 .
1
3
A.3
B.
1
3
C.4
3
D.-3
解析:由题意,得 2x-6x= ,
1
解得 x=-3.
答案:C
【做一做 1-2】 若 A(1,1),B(2,3),C(-1,4),则 ·
=
.
解析:=(1,2),=(-3,1),于是 ·=1×(-3)+2×1=-1.
答案:-1
)
1
2
3
2.向量垂直的坐标表示
已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a⊥b ⇔a1b1+a2b2=0.
名师点拨解决两个向量垂直时,在表达方式上有一定的技巧,如
a=(m,n)与b=k(n,-m)总是垂直的,当两个向量的长度相等时,k取±1.
【做一做2】 已知a=(2,5),b=(λ,-3),且a⊥b,则λ=
.
解析:∵a⊥b,∴a·b=0,
∴ ⊥ , = .
设 C 点的坐标为(x,y),
则=(1,1), =(x+1,y-4),
题型一
题型二
题型三
题型四
+ 1 = 1,
= 0,
∴
解得
= 5.
-4 = 1,
∴C 点的坐标为(0,5).
从而=(-2,4),=(-4,2),
∴||=2 5,||=2 5, ·=8+8=16.
数λ的值为(
)
1
A.Hale Waihona Puke 71B.71
C.-6
1
D.6
解析:∵a=(-3,2),b=(-1,0),
∴λa+b=(-3λ-1,2λ),
a-2b=(-3,2)-2(-1,0)=(-1,2).
由(λa+b)⊥(a-2b),知4λ+3λ+1=0.
1
∴λ=-7.
答案:A
题型一
题型二
题型三
题型四
题型三 数量积的坐标运算在几何中的应用