重庆市一中2019-2020学年中考数学模拟试卷

重庆市一中2019-2020学年中考数学模拟试卷
一、选择题
1．如图，一副直角三角板按如图所示放置，若AB ∥DF ，则∠AGD 的度数为（ ）
A.45°
B.60°
C.65°
D.75° 2．如图，正方形的边长为，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则该反比例函数的表达式为（ ）
A. B. C. D.
3．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5cm ，BC ＝8cm ．动点D 从点C 出发，沿线段CB 以2cm/s 的速度向点B 运动，同时动点O 从点B 出发，沿线段BA 以1cm/s 的速度向点A 运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随时停止．设运动时间为t （s ），以点O 为圆心，OB 长为半径的⊙O 与BA 交于另一点E ，连接ED ．当直线DE 与⊙O 相切时，t 的取值是（ ）
A. B. C. D.
4．一般地，当α、β为任意角时，sin （α+β）与sin （α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin （α+β）＝sin α•cos β+cos α•sin β；sin （α﹣β）＝sin α•cos β﹣cos α•sin β．例如sin90°＝
sin （60°+30°）＝sin60°•cos30°+cos60°•sin30°＝
112222⨯+⨯＝1．类似地，可以求得sin15°的值是（ ）
A ．4-
B ．4
C ．2
D ．2
5．不等式组
的解集是（ ） A.x ＞﹣1 B.x ＝﹣1 C.x≤2 D.无解
6．如图，在矩形ABCD 中，120AOB ∠=︒，3AD =，则AC =（ ）
A ．6
B ．
C ．5
D ．7．2018年某区域GDP （区域内生产总值）总量为90.03亿元，用科学计数法表示90.03亿为（ ） A ．9.003×1010 B ．9.003×109 C ．9.003×108
D ．90.03×108 8．如图，矩形ABCD 中，AB 2=，AD 3=，点
E 、
F 、
G 、
H 分别是矩形AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 的周长为( )
A ．10
B ．5
C
D ．9．如图，∠ACB ＝60°，半径为3的⊙O 切BC 于点C ，若将⊙O 在CB 上向右滚动，则当滚动到⊙O 与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离为（ ）
A ．3
B ．
C ．6π
D 10．若代数式和的值相等，则x 的值为（ ） A ．x ＝﹣7 B ．x ＝7 C ．x ＝﹣5 D ．x ＝3
11．甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（ ）
A.甲超市的利润逐月减少
B.乙超市的利润在1月至4月间逐月增加
C.8月份两家超市利润相同
D.乙超市在9月份的利润必超过甲超市
12．函数中自变量的取值范围是（ ）
A. B. C.且 D.且
二、填空题
13．在矩形ABCD 中，P 为CD 边上一点()DP CP <，90APB ∠=︒.将ADP △沿AP 翻折得到AD P '△，'PD 的延长线交边AB 于点M ，过点B 作BN MP 交DC 于点N .连接AC ，分别交
PM ，PB 于点E ，F .现有以下结论：①连接DD '，则AP 垂直平分DD '；②四边形PMBN 是菱
形；③2AD DP PC =⋅；④若2AD DP =，则59
EF AE =.其中正确的结论是________（填写所有正确结论的序号）.
14．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且AC ＝16，BD ＝12，DH 垂直BC 于H ，则sin ∠DCH ＝_____．
15．点P （3，﹣5）关于原点对称的点的坐标为_____．
16．如图，四边形ABCD 为矩形，H 、F 分别为AD 、BC 边的中点，四边形EFGH 为矩形，E 、G 分别在AB 、CD 边上，则图中四个直角三角形面积之和与矩形EFGH 的面积之比为_____．
17．如图，将一块30°角的直角三角板ACB （∠B ＝30°）绕直角顶点C 逆时针旋转到△A′CB′的位置，此时点A′刚好在AB 上，若AC ＝3，则点B 与点B'的距离为_____．
18．如图，在△ABC 中，D 、E 为边AB 、AC 的中点，已知△ADE 的面积为4，那么△ABC 的面积是_____．
三、解答题
19．计算：0cos 60π︒-
20．如图，双曲线y ＝k x （x ＞0）的图象经过点A （12，4），直线y ＝12
x 与双曲线交于B 点，过A ，B 分别作y 轴、x 轴的垂线，两线交于P 点，垂足分别为C ，D ．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求证：△ABP∽△BOD．
21．如图，O为△ABC边AC的中点，AD∥BC交BO的延长线于点D，连接DC，DB平分∠ADC，作DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若BD＝8，AC＝6，求DE的长．
22．某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．
（1）现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？
23．在△ABC中，将边AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AD，将边AC绕点A逆时针旋转120°得到线段AE，连接DE.
（1）、如图①，当∠BAC=90°时，若△ABC的面积为5，则△ADE的面积为________；
（2）如图②，CF、BG分别是△ABC和△ADE的高，若△ABC为任意三角形，△ABC与△ADE的面积是否相等，请说明理由；
（3）如图③，连接BD、CE.若AB=4，，四边形CEDB的面积为，则△ABC的面积为
________.
24．央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣，某校为满足学生的阅读需求，欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了名学生；
（2）将条形统计图1补充完整；
（3）图2中“小说类”所在扇形的圆心角为度；
（4）若该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．
25．已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一直线上，AB ＝EF＝6cm，BC＝FP＝8cm，∠EFP＝90°，如图②，△EFP从图①的位置出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，EP与AB交于点G，与BD交于点K；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s．过点Q作QM⊥BD，垂足为H，交AD于点M，连接AF，PQ，当点Q停止运动时，△EFP也停止运动设运动事件为（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当为何值时，PQ∥BD？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使S五边形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（3）在运动过程中，当t为秒时，PQ⊥PE．
【参考答案】***
一、选择题
13．①②③
14．24 25
.
15．（﹣3，5）．16．1：1
17
18．16 三、解答题
19．1 2
【解析】
【分析】
按顺序先分别进行0次幂的运算、立方根的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.
【详解】
0cos60
π+︒
=1﹣2+1 2
=﹣1
2
．
【点睛】
本题考查了实数的运算，涉及了0指数幂、特殊角的三角函数值等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.
20．（1）
2
y
x
=；（2）详见解析；
【解析】
【分析】
（1）将点A坐标代入反比例函数解析式中，即可得出结论；
（2）先求出点B坐标，进而求出OD，BD，进而判断出AP BP
BD OD
=，即可得出结论．
【详解】
（1）∵点A（1
2
，4）在双曲线y＝
2
x
上，
∴k＝1
2
×4＝2，
∴双曲线的解析式为y=2
x
；
（2）如图，
由（1）知，双曲线的解析式为y＝2
x
①，
直线OB的解析式为y＝1
2
x②，
连接①②解得，
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
2
1
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
（舍去），
∴B（2，1），
∴BD＝1，OD＝2，
∵CP⊥y轴，PD⊥x轴，
∴∠OCP＝∠ODP＝90°＝∠COD，∴四边形OCPD是矩形，
∴∠ODB＝∠P＝90°，
CP ＝OD ＝2，PD ＝OC ，
∵A （12
，4）， ∴OC ＝4，CA ＝
12
， ∴AP ＝CP ﹣AC ＝32
，BP ＝PD ﹣1＝3， ∴33,22
AP BP BD OD ==， ∴AP BP BD OD =， ∵∠P ＝∠ODB ＝90°，
∴△ABP ∽△BOD ．
【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，直线与双曲线的交点坐标的确定，相似三角形的判定和性质，判断出AP BP BD OD
=，是解本题的关键． 21．（1）见解析；（2）
245 【解析】
【分析】
（1）由ASA 证明△OAD ≌△OCB 得出OD ＝OB ，得出四边形ABCD 是平行四边形，再证出∠CBD ＝∠CDB ，得出BC ＝DC ，即可得出四边形ABCD 是菱形；
（2）由菱形的性质得出OB ＝
12BD ＝4，OC ＝12AC ＝3，AC ⊥BD ，由勾股定理得出BC
5，证出△BOC ∽△BED ，得出
OC BC DE BD
=，即可得出结果． 【详解】
（1）证明：∵O 为△ABC 边AC 的中点，AD ∥BC ，
∴OA ＝OC ，∠OAD ＝∠OCB ，∠AOD ＝∠COB ，
在△OAD 和△OCB 中， OAD OCB OA OC
AOD COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△OAD ≌△OCB （ASA ），
∴OD ＝OB ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵DB 平分∠ADC ，
∴∠ADB ＝∠CDB ，
∴∠CBD ＝∠CDB ，
∴BC ＝DC ，
∴四边形ABCD 是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴OB ＝12BD ＝4，OC ＝12
AC ＝3，AC ⊥BD ， ∴∠BOC ＝90°，
∴BC 5，
∵DE ⊥BC ，
∴∠E ＝90°＝∠BOC ，
∵∠OBC ＝∠EBD ，
∴△BOC ∽△BED ， ∴OC BC DE BD =，即358
DE =， ∴DE ＝
245． 【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
22．（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．
【解析】
【分析】
（1）设每千克水果涨了x 元，那么就少卖了20x 千克，根据市场每天销售这种水果盈利了6000元，同时顾客又得到了实惠，可列方程求解；
（2）利用总利润y ＝销量×每千克利润，进而求出最值即可．
【详解】
（1）设每千克应涨价x 元，则（10+x ）（500﹣20x ）＝6 000
解得x ＝5或x ＝10，
为了使顾客得到实惠，所以x ＝5．
（2）设涨价z 元时总利润为y ，
则y ＝（10+z ）（500﹣20z ）
＝﹣20z 2+300z+5 000
＝﹣20（z 2﹣15z ）+5000 ＝22252252015500044z z ⎛
⎫--+-+ ⎪⎝⎭
＝﹣20（z ﹣7.5）2+6125 当z ＝7.5时，y 取得最大值，最大值为6 125．
答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；
（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．
【点睛】
考核知识点：二次函数的的应用.根据题意列出等量关系是解题的关键.
23．（1）5；（2）相等，理由见解析；（3）【解析】
【分析】
（1）继而得∠DAE=∠BAC=90°，可证得△ABC ≌△ADE ，则两三角形面积相等；
（2）由∠BAD=60°，∠CAE=120°得∠DAE+∠CAB=180°，根据平角定义可得∠DAE +∠GAE=180°，可得∠FAC=∠GAE ，然后证得 △ACF ≌△AEG ，继而得CF=BG ，根据等底等高的两个三角形面积相等可求出结
论；
（3）如图，分别作出△ABD 和△AEC 的高AH ，AF. 求得等边三角形△ABD 的面积为AECDE 的面
积 则△ADE 和△ABC 的面积之和为， 再证得 △ABC ≌△ADE ，从而证得△ADE 和△ABC 的面
积都是【详解】
（1）根据旋转的性质可得AC=AE ，AB=AD ，∠BAD=60°，∠CAE=120°，
∵∠BAC=90°
∴∠DAE=90°
∴∠BAC=∠DAE
∴△ABC ≌△ADE ，
∵△ABC 的面积为5
∴△ADE 的面积为5.
（2）解：相等，
理由如下：
由旋转，得AC=AE ，AB=AD ，∠BAD=60°，∠CAE=120°，
∴∠BAD+∠CAE=180°，
∴∠DAE+∠CAB=180°，
∵∠DAE +∠GAE=180°，
∴∠FAC=∠GAE.
∵CF 、BG 分别是△ABC 和△ADE 的高，
∴∠AFC=∠AGE =90°，
∴△ACF ≌△AEG ，
∴CF=BG ，
∴△ABC 与△ADE 的面积相等.
（3）如图，分别作出△ABD 和△AEC 的高AH ，AF.
∵AC=AE ，∠BAD=60°，
∴△ABD 是等边三角形，
∴=
∴S △ABD =12
BD AH ⨯⨯=
同理可得S △AEC
∴S △ADE +S △ABC =S 四边形CEDB - S △ABD -S △AEC 又△ABC ≌△ADE ，
∴S △ADE
【点睛】
本题考查几何变换综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
24．(1)200；(2)见解析；(3)126°；(4)240人．
【解析】
【分析】
(1)根据文史类的人数以及文史类所占的百分比即可求出总人数
(2)根据总人数以及生活类的百分比即可求出生活类的人数以及小说类的人数;
(3)根据小说类的百分比即可求出圆心角的度数;
(4)利用样本中喜欢社科类书籍的百分比来估计总体中的百分比,从而求出喜欢社科类书籍的学生人数【详解】
(1)∵喜欢文史类的人数为76人，占总人数的38%，
∴此次调查的总人数为：76÷38%＝200人，
故答案为：200；
(2)∵喜欢生活类书籍的人数占总人数的15%，
∴喜欢生活类书籍的人数为：200×15%＝30人，
∴喜欢小说类书籍的人数为：200﹣24﹣76﹣30＝70人，
如图所示：
(3)∵喜欢社科类书籍的人数为：24人，
∴喜欢社科类书籍的人数占了总人数的百分比为：
24
100
×100%＝12%，
∴喜欢小说类书籍的人数占了总分数的百分比为：100%﹣15%﹣38%﹣12%＝35%，
∴小说类所在圆心角为：360°×35%＝126°；
(4)由样本数据可知喜欢“社科类”书籍的学生人数占了总人数的12%，
∴该校共有学生2000人，估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数：2000×12%＝240人．【点睛】
此题考查扇形统计图和条形统计图，看懂图中数据是解题关键
25．（1）24
7
（2）t＝2s时，S五边形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8（3）
32
7
【解析】
【分析】
（1）利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题．
（2）假设存在，由S五边形AFPQM：S矩形ABCD＝9：8构建方程即可解决问题．（3）利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵PQ ∥BD ， ∴
PC CQ CB CD =， ∴886
t t -=， 解得t ＝247
， ∴当t ＝
247时，PQ ∥BD ． （2）假设存在．
∵S 五边形AFPQM ＝S △ABF +S 矩形ABCD ﹣S △PQC ﹣S △MQD ＝
12×（8﹣t ）×6+6×8﹣12（8﹣t ）×t﹣12×（6﹣t ）×34
（6﹣t ） ＝215117822t t -+． 又∵S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD ＝9：8， ∴21
5117822t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
：48＝9：8， 整理得：t 2﹣20t+36＝0，
解得t ＝2或18（舍弃），
∴t ＝2s 时，S 五边形AFPQM ：S 矩形ABCD ＝9：8．
（3）∵PQ ⊥PE ，
∴∠QPE ＝90°，
∵∠EFP ＝∠C ＝90°，
∴∠EPF+∠QPC ＝90°，∠QPC+∠PQC ＝90°，
∴∠EPF ＝∠PQC ，
∴△EPF ∽△PQC ， ∴
EF PF PC CQ =， ∴688t t
=-， 解得t ＝327
， ∴当t ＝327
时，PQ ⊥PE ． 故答案为
327． 【点睛】
本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，多边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．。