《三角恒等变换》测试题(有答案解析)

《三角恒等变换》试 题
一、选择题
1、若α为第四象限角，则（ ）
A. 02cos >α
B.02cos <α
C.02sin >α
D. 02sin <α
2、已知41tan =α，3
1
)tan(=-βα，则=βtan （ ）
A ．117
B ．711-
C ．131-
D ．13
1
3、已知α为第二象限角，3
3
cos sin =+αα，则=α2cos （ ）
A ．35
-
B ．95
-
C ．95
D ．35
4、︒︒-︒︒15sin 45cos 15cos 45sin 的值为（ ）
A ．2
3
-
B ．21
C ．2
1-
D ．2
3
5、设向量)sin ,2(),1,(cos αα=-=，若⊥，则=-)4
tan(π
α（ ）
A ．3-
B ．3
C ．
3
1
D ．3
1-
6、已知点)3
2cos ,32(sin π
πP 落在角θ的终边上，则=θtan （ ） A. 3- B.
3
3 C ．3
3
-
D.
3
7、已知函数x x f 2sin )6(=-
π
，则)2
(π
f 等于（ ） A ．21 B ．2
1
- C ．23
D ．2
3
-
8、已知角α为三角形的一个内角，且满足0tan sin <αα，则角α是（ ）
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
9、已知21tan =α，5
2
)tan(-=-βα，那么)2tan(βα-的值为（ ）
A.
121 B.
4
3 C. 8
9-
D.
8
9
10、已知锐角βα、满足5
1
cos sin =-ββ，3tan tan 3tan tan =⋅++βαβα，则βα、的大小关系是（ ）
A ．βα<
B ．βα>
C ．
βαπ
<<4
D ．αβπ
<<4
11、如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生 成”函数。

给出下列函数：
①x x x f cos sin )(+=；②)cos (sin 2)(x x x f +=
；③x x f sin )(=；④)1(sin 2)(+=x x f ，
其中“互为生成”函数的是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
12、已知53sin +-=m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则2
tan θ
等于（ ）
A ．
m m --93
B ．
m
m --93
C ．
3
1
D ．5
二、填空题
13、若3
3
sin =α，则=α2cos ___________． 14、计算
=︒
⋅︒︒
+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan ___________．
15、若)20(5
1cos sin π<≤-=+x x x ，则=x 2cos ___________．
16、当函数)20(cos 3sin π<≤-=x x x y 取得最大值时，=x ___________．
三、解答题
17、已知43tan -=α，计算下列各题：（1）α
αααcos 4sin cos 2sin 3-+； （2）αααα2
2
cos cos sin 3sin 2-+．
18、已知2
0,53cos παα<<=.
（1）求αtan 的值；
（2）求)cos(2cos απα--的值.
19、已知点A 、B 、C 的坐标分别为)sin ,(cos )3,0()0,3(ααC B A 、、，)2
3,2(),sin ,(cos π
παααα∈∈.
（1
=，求角α的值；
（2）若1-=⋅BC AC ，求α
α
αtan 12sin sin 22++的值.
20、已知函数42cos )6
2sin()62sin()(++-++=x x x x f π
π
.
（1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值. （2）已知5)(=αf ，求αtan 的值.
21、已知βα、为锐角，3
4
tan =α，55)cos(-=+βα.
（1）求α2cos 的值；
（2）求)tan(βα-的值．
22、设函数2
cos 2)32cos()(2x
x x f ++=π，[]π,0∈x . （1）求⎪⎭
⎫
⎝⎛3πf 的值； （2）求)(x f 的最小值及)(x f 取最小值时x 的集合；
（3）求)(x f 的单调递增区间。

参考答案及评分标准
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1、D ，当6π
α-
=时，02cos >α，选项B 错误；当3
π
α-
=时，02cos <α，选项A 错误；由α在
第四象限知0sin <α，0cos >α，则0cos sin 22sin <=ααα，选项C 错误，
2、C
3、A ，3
3
cos sin =
+αα,两边平方可得.
因为α是第二象限角,因此0sin >α, 0cos <α， 所以
故
所以“正弦线”要比“余弦线”长一半多点,如图,故的“余弦线”应选A.
4、B
5、C
6、C
7、D ，由题可知，)3
2sin()(π
+=x x f ，则23
)3sin()2(-=+=πππf .
8、B 9、A 10、A ，
所以
，由
，
则则
11、D ，函数图像在平移的过程中，大小不会变化，观察四个表达式只有①④的振幅相同
12、D ，由于受条件1cos sin 2
2
=+θθ的制约，故m 为一确定的值，于是θθcos sin 、的值应与m 的值无关，进而推知2
tan
θ
的值与m 无关，又
πθπ
<<2
，
2
2
4
π
θ
π
<
<
，故12
tan
>θ
.
二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13、 14、
15、
16、，由
由
可知
当且仅当
即
时取得最小值,
时即
取得最大值.
三、解答题（本题共6小题，共70分）
17、（10分）
解：（1）原式19144
32
)43(34tan 2tan 3=--+-⨯=-+=αα
（2）αααα2
2
cos cos sin 3sin 2-+
18、（12分） 解：（1）因为
，， …（3分） 故，所以
.
…（6分） （2）.
…（12分）
19、（12分） 解：（1）
=(cos α-3,sin α), =(cos α,sin α-3)，
…（2分）
因为|
|=|
| 可得cos α=sin α 又因为α∈(,
)，所以α=
…（6分） （2）·
= cos2 α-3 cos α+ sin2 α-3 sin α=-1，所以cos α+sin α=
…（8分）
2
=-
…（10分）
=
=2=- …（12分）
20、 （12分） 解：（1）
=
=
所以)(x f 的最小正周期为π，最大值为6.
…（6分）
（2）由
即
…（8分）
…（12分）
21、（12分）
解：（1）因为tan α＝
，tan α＝
α
α
cos sin ， 所以sin α＝
cos α.
…（2分）
因为1cos sin 2
2
=+θθ， 所以25
9cos 2
=
α …（4分）
因此25
71cos 22cos 2
-
=-=αα …（6分）
（2）因为βα、为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝
， …（7分）
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝， …（9分）
所以tan 2α＝
α
α
2
tan 1tan 2-＝－.
…（10分） 因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝－.
…（12分）
22、（12分） 解：（1）。

…（2分）
（2）。

…（4分）
因为
，所以，所以。

所以函数
的最小值为0。

…（6分）
此时，即。

所以的取值集合为。

…（8分）（3）由（2）可知：。

设，则原函数为。

因为为减函数，所以的减区间为复合函数的增区间。

由，得。

所以，函数的单调递增区间是。

…（12分）。