全国高中数学联赛试卷及答案

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学生注意：1、本试卷共有三大题(15个小题),全卷总分值150分.
2、用圆珠笔或钢笔作答.
3、解题书写不要超过装订线.
4、不能使用计算器.
一、选择题(此题总分值36分,每题6分)
此题共有6个小是题,每题均给出(A) (B) (C) (D)四个结论,其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个(不管是否写在括号内),一律得.分.
1、a为给定的实数,那么集合M={x|x「-3又-£+2=0小£1«的子集的个数为
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D)不确定
2、命题1：长方体中,必存在到各顶点距离相等的点；
命题2：长方体中,必存在到各棱距离相等的点；
命题3：长方体中,必存在到各面距离相等的点；
以上三个命题中正确的有
(A) 0 个(B) 1 个(C) 2 个(D) 3 个
3、在四个函数y=sin x , y=cos Ix I, y= I ctgx I, y=Ig lsinx 中以为周期、在(0, -)上单调递增的偶函数是 2
(A) y=sin x (B) y=cos x (C) y= ctgx (D)
y=lg sinx
4、如果满足NABC=60° , AC=12, BC=k的/ABC恰有一个,那么k的取值范围是
(A) k=8V3
(B) 0<k^l2 (C) 2 (D) 0<k<12 或
k=8%
5 .假设(l+x + x?) ’8.的展开式为 a o+ a i x + a 2 x ? + ,,,+ a ：ooo x :o°°, 那么a ° +
a 3+a 6+a 9+,・・+a i%s的值为( ).
(A) 3双(B) 3湫(C) 3期(D) 32001
6 .6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24,而4枝攻魂与5枝康乃馨的价格之和小于22元,那么2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比拟,结果是( ).
(A) 2枝玫瑰价格高(B) 3枝康乃馨价格高
(C)价格相同(D)不确定二、填空题(此题总分值54分,每题9分)7.椭圆P =1/ (2- c o s 0 )的短轴长等于.
3
8、右■复数Z], 2?满足Zi =2, z二二3, 3zi-2z二二—-1,那么Z/二二.
9、正方体ABCD—ABC.的棱长为1 ,那么直线AC与BD1的距离
是O
10、不等式_+ 2的解集为__________________________________________
log1X 2
11、函数y = X + J3—3x+2的值域
为____________________________________
12、在一个正六边形的六个区域栽种欣赏植物〔如图〕,要求同一场块中
种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有4种不同的植物可供选
择,那么有种栽种方案.
二、解做题〔此题总分值60分,每题20分〕
13、设｛aj为等差数列,｛bj为等比数列,且仇=〃「,b2=a2\3?比〕,又
lim〔A +/%+…+2〕=& + 1 ,试求｛aj的首项与公差.
14、设曲线a：二+〕,2=1〔0为正常数〕与0.三26+111〕在乂轴上方公有一个公共
点a-
Po
〔1〕求实数m的取值范围〔用a表示〕；
〔2〕 0为原点,假设a与x轴的负半轴交于点A,当0<a<1时,试求Z10AP的面积2的最大值〔用a表示〕.
15^用电阻值分别为a1、a2>为、a］、a5^ a6> 〔a1>a2>a3>a1>a5>a6〕的电阻组装成一个如图的组件,在组装中应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小？证实你的结论.
二O O 一年全国高中数学联合竞赛加试试题
<10 月 4 日上午 10： 00—12： 00)
本试卷共有三大题,全卷总分值150分. 用圆珠笔或钢笔作答.
解题书写不要超过装订线. 不能使用计算器. 一、〔此题总分值50分〕 如图：NABC 中,0为外心,三条高AD 、BE 、CF 交于点H,直线ED 和AB 交于点M, FD 和 AC 交于点果求证：〔1〕 0BJ_DF, 0C1DE ； 〔2〕 0H±MNo
二、〔此题总分值50分〕 设XiN0〔I=l, 2, 3,…,n 〕且+2工 二七勺=1,求的最大值与最小值.
/=1
j
/-I
三、〔此题总分值50分〕
将边长为正整数m, n 的矩形划分成假设干边长均为正整数的正方形,每个正方形的边均 平行于矩形的相应边,试求这些正方形边长之和的最小值.
学生注意：1、 2、 3
、
2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准选择题：CBDDCA
1 .a为给定的实数,那么集合乂= { x | x3 x — a +
2 = 0, x G R 〕的子集的个数为〔
〕.
1 . 1 B.
2 C. 4 D.不确定
讲解：M表示方程x2 — 3x — a2+2=0在实数范围内的解集.由于A=l+4 a2>0,所以M含有2个元素.故集合M有2?=4个子集,选C.
2 .命题L长方体中,必存在到各顶点距高相等的点.
命题2：长方体中,必存在到各条棱距离相等的点；
命题3：长方体中,必存在到各个面距离相等的点.
以上三个命题中正确的有〔〕.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
讲解：由于长方体的中央到各顶点的距离相等,所以命题1正确.对于命题2 和命题3, 一般的长方体〔除正方体外〕中不存在到各条棱距离相等的点,也不存在到各个面距离相等的点.因此,此题只有命题1正确,选B.
3 .在四个函数y = sin|x|、y = cos|x|、y=|ctgx|、y = 1 g I s i n x |中,以Ji为周期、在〔0,五/2〕上单调递增的偶函数是〔〕.
A. y = s i n | x | B . y = c o s I x I
C . y = | c t g x |
D . y = 1 g | s i n x |
讲解：可考虑用排除法.y= S i n | X |不是周期函数〔可通过作图判断〕,排除A； y = c o s I x |的最小正周期为2冗,且在〔0,冗/2〕上是减函数,排除B； y=1ctgx|在〔0,n/2〕上是减函数,排除C.故应选D.
4 .如果满足NABC=60° , AC =12, B C = k的4 A B C恰有一个,那么k的取值范围是〔〕.
A. k=8、/J
B. OVk W12
C. kN12
D. 0<kW12 或攵=8 退
讲解：这是“三角形的两边及其一边的对角,解三角形〞这类问题的一个逆向问题,由课本结论知,应选结论D.
说明：此题也可以通过画图直观地判断,还可以用特殊值法排除A、B、C.
5 .假设〔1+x + x?〕的展开式为a 0+ a । x + a 2 x 2 +…+ a皿x吗
那么a n+a 3+a 6+a 9+…+ a i世的值为〔〕.
A. 3项
B. 3倨
C. 3期
D. 32001
讲解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和,所以联想到1的单位根,用特
殊值法.
取 3= —〔1/2〕+ 〔需/2〕 i,贝32 + 3+1 = 0.
令x =1,得
a0+a [+az+a3 +…+a “co；
令x = 3 ,得
0= a o + a13+ a a 皿5族；
令X = 3 2 ,得
0= a0+a 1 G> ~ + a 2 0 1 + a 3 ^ +•••+ a zooo^
三个式子相加得
31000=3 ( a.+ a 3+ a $ +…+ a 的).
a 0 + a 3 + a 6 + …+ a 19为=3"9,选 C.
6.6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24,而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元,那么2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比拟,结果是( ). A. 2枝玫瑰价格高 B. 3枝康乃馨价格高
C.价格相同
D.不确定
讲解：这是一个大小比拟问题.可先设玫瑰与康乃馨的单价分别为x元、y元,那么由题设得,
问题转化为在条件①、②的约束下,比拟2x与3y的大小.有以下两种解法：
解法1：为了整体地使用条件①、②,令6 x+3 y = a , 4 x+5 y = b ,联立解得*= (5 a —3 b ) / 18, y = (3 b —2 a ) / 9. .*.2 x —3 y =•••= (11 a —
12b ) /9. V a >24, b <22, J 11 a _12b >11X24- 12X22 = 0. A2x >3y ,选A.
解法2：由不等式①、②及x>0、y>0组成的平面区域如图1中的阴影局部(不含边界).令2 x —3 y =2 c ,那么c表示直线1 ： 2 x —3 y =2 c在x轴上的截距.显然,当1过点(3, 2)时,2 c有最小值为0.故2x—3y>0,即2x>3y, 选A.
说明：(1)此题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题：
函数乂= f ( X ) = a X 2 — C 满足：一4W f (1) < —1, —1W f (2) W5,那么 f (3)应满足(
). A. -7W f (3) W26 B. -4W f
(3) W15 C. 一l<f (3) W20 D. 一28 / 3W f (3) W35 / 3 (2)
如果由条件①、②先分别求出x、y的范围,再由2x — y的范围得结论,容易出错.上面的解法1运用了整体的思想,解法2那么直观可靠,详见文[1] .
二.填空题
24 Q 30,72, .瓜
o ・ -------------------------------------- ——十—i y •—
3 13 13 6
3
10. (0,l)U(l,2DU(4, + oo) 11. U,—)U[2, + oc) 12. 732
------------------------------------- 2 -------- 7.椭圆P=l/ (2- c o s 0 )的短轴长等于
讲解：假设注意到极点在椭圆的左焦点,可利用特殊值法；假设注意到离心率e 和焦参数P (焦点到相应准线的距离)的几何意义,此题也可以直接求短半轴的长.
J "(O)="+c=l
解法L由zr)=〃-c=l /3 得
a =2/3,从而b=正,故2b=2 3 3
解法2：由 e = c / a =1 / 2, p = b ? / c = 1 及 b 二=a c ) 得
b=@.从而2b=2g. 3 3
说明：这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题.
8 .假设复数z i、z 2 满足I z , | =2, I z 3 | =3, 3 z |—2 z 2= (3/2)— i ,那么z i ・ z 2=.
讲解：参考答案给出的解法技巧性较强,根据问题的特点,用复数的三角形式似乎更符合学生的思维特点,而且也不繁.
令z 1 =2 ( c o s a + i s i n a ) , z 2 = 3 ( c o s P + i s i n P ),那么由3Z.-2Z2= (3/2) — i 及复数相等的充要条件,得
即
二式相除,得tg (a+B) /2) =3/2.由万能公式,得
s i n ( a + p ) =12/13, cos ( a + P ) =—5/13.
故z】・z 2=6 [ c o s ( a + p ) + i s i n ( a + p )]
二一(30 / 13) + (72 / 13) i .
说明：此题也可以利用复数的几何意义解.
9 .正方体ABCD - A|B|C1|的棱长为1,那么直线A|C|与BD1的距离是■
讲解：这是一道求两条异面直线距离的问题,解法较多,下面给出一种根本的解法. 图2
为了保证所作出的表示距离的线段与A 和B D|都垂直,不妨先将其中一条
直线置于另一条直线的垂面内.为此,作正方体的对角面BDD|B「那么八|<21_1_面 B D D , B ,,且B D】u面B D D । B -设A । C । G B】D1=0,在面BDD|B1内作OH±BD.,垂足
为H,那么线段OH的长为异面直线A|CI与BD1的距离.在Rt △ BB1D1中,OH等于斜边
B Di上高的一半,即0 1-1 =狙/6.
10 .不等式I 〔1 / 1.g「2 x 〕+2 I >3 / 2 的解集为.
讲解：从外形上看,这是一个绝对值不等式,先求得1 og‘xV — 2,或一2/ 7< 1 o g 1/2 x <0,或 1 o g 山二x >0.
从而x >4,或IV x <2:或0V x <1.
11 .函数y = x+J/-5 + 2的值域为.
讲解：先平方去掉根号.
由题设得(y — x ) 2= x 2-3 x +2,那么x = ( y z-2) / (2y -3).
由yNx,得yN ( y ~ -2) / (2 y —3).解得lWyV3/2,或yN2.
由于Ji-3x + 2能达至|j下界0,所以函数的值域为[1, 3/2〕 U [2, +8〕.
说明：〔1〕参考答案在求得l〈y <3/2或yN2后,还用了较长的篇幅进行了一番
验证,确无必要. 〔2〕此题还可以用三角代换法和图象法来解,不过较
繁,读者不妨一试.
图3
12.在一个正六边形的六个区域栽种欣赏植物〔如图3〕,要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择,那么有种栽种方案.
讲解：为了表达方便起见,我们给六块区域依次标上字母A、B、C、D、E、F.按间隔三块A、C、E种植植物的种数,分以下三类.
〔1〕假设A、C、E种同一种植物,有4种种法.当A、C、E种植后, B、
D、E可从剩余的三种植物中各选一种植物〔允许重复〕,各有3种方法.此时共有
4X3X3X3 = 108种方法.
〔2〕假设A、C、E种二种植物,有P.J种种法.当A、C、E种好后,假设
A、C种同一种,那么B有3种方法,D、F各有2种方法；假设C、E或E、A种同一
种,相同〔只是次序不同〕.此时共有P/X3 〔3X2X2〕 =432种方法.
〔3〕假设A、C、E种三种植物,有PJ种种法.这时B、D、F各有2种种方法.此时共有P J X 2 X 2 X 2 = 192种方法.
根据加法原理,总共有N =108+432 + 192 = 732种栽种方案.
说明：此题是一个环形排列问题.
三.解做题
13 .设所求公差为M •・•&<包,・・・£>0.由此得
/(% +24)2 =(, +.)4 化简得：2a： +4%4+ 〃2 =0
解得：d=(-2±y[2)a} (5)
分
而-2±/<0,故为V0
2
假设d = (-2 - 尬)a],那么q = + 1)-
着d = (-2 + 6)(八,那么g = * = (&_ 1)2 (10)
分
但/而S] +…+ 2)= VI + 1存在,故Q <1,于是夕= ("+1)2不可能.
“T田一
从而——U__- = >/2+1 = ^=(272-2)(72+1) = 2 1-(V2-I)2
所以q =-",〃 = (-2 + VI)9 = 2^2 -2 ................................................................ 20 分
14 .解：(1)由? / +) ।消去y 得：x2 +2a2x + 2a2m-a2 =0 ①
y2 = 2(x + in)
设/(x) = %2 + 2a2x + 2a2m-a2,问题⑴化为方程①在xG ( — a, a)上有唯一解或等根.
只需讨论以下三种情况：
1 °△ = ()得：m = ———此时为=—4,〞1且仅当一aV —力<a,即OVa
2 <1时适合；
2°f (a)f (-a)<0,当且仅当一a<勿Va；
3°f (— a) = 0 得m= a,此时羽=a—2a~,当且仅当一a<a—2a"<a»即OV a<l 时适合.
f (a) =0得- a,此时修=—a—2a, 由于一a—2力V —a,从而卬W —a.
综上可知,当OVaVl时,,〃=匚匚1或一aVzz<a：
2
当a21 时,—a<.m<.
a. ........................................................................... 10 分
(2)4"产的面积S =
2 .「
VO<a< —T故一aVmWa 时,OV - - +1 -2〃? <a,
2
由唯一性得x p =-a~ + ay/a1 + \-2in
显然当卬=^时,项取值最小.由于xQ>0,从而为=J1-3■取值最大,此
时力=2yla-a2 ,
/. S = a\a-a2 .
当in =————时,x p=— a 9 y p= J1 - a ° ,此时S = Lay/l-cT .
2 2
下面比拟“心产与匚不的大小：
2
令=L.J1 - ,得 4 = L
2 3
故当0<aW g 时,ayja-a2 < 2.J1-/ ,此时S = ?ajl-a?.
3 2 2
当■!•<〃<寸,aja-/,此时S“v. (20)
3 2 2
分
15.解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为反:,当斤f=a〞 £=3, 4, 5, 6,尼、足是
a、a的任意排列时,尺最小....................................... 5分
证实如下：
1.设当两个电阻尼、足并联时,所得组件阻值为兄那么!=」-+!.故交R叫
R.
换二电阻的位置,不改变?值,且当凡或足变小时,咒也减小,因此不妨取泥>足.
MC2 -MH2=AC Z~AH Z①
'：BEL NA
:.NB2-NH Z=AB2-AH Z②
'：DA A.BC
：.BD Z-CD Z=BA Z-AC2③
'：OB \.DF
:.BN2-BD Z=ON2-OD Z④
*： OCA. DE
：.CM Z-CD Z=OM Z-OD2⑤
30 分
①一②+③+④一⑤,得
NH2 -MH Z= ON Z - OM Z MO Z-MH Z=NO2 -NH2
・•・ OH A. MN
50分
另证：以理所在直线为x轴,.为原点建立直角坐标系,
设力(0, a), B(b, 0), r(c, 0),那么k,xc=--, k AB=-- c b
・•・直线〃'的方程为y = --(x-c),直线座的方程为y = -(x-b) c a
,
y = —(x-b) 2 7))】
由a得£点坐标为以中竺,竺二坐)
a , 、(厂+L
同理可得尸(S二,丝工) cr +/ +/
直线〃的垂直平分线方程为),->,号直线5.的垂直平分线方程为4 = 生
V--= —(x-—) )
由「2 a 2
得次竺£一 +,「)
b +
c 2 2a
x = --------
2
bc + a 2
2 .
_ 2a _〞
_ cm - abc _ ab - ac OB=
b+c
l
——p 2
V k OB k DP = -1
/• OB IDF
同理可证OC,DE.
在直线座的方程〕,= £〔?-与中令x=0得4〔0,--〕
直线分的方程为〕,=竺二
+ be
组 1/ / a 2
b + b 2
c abc-ab 2
、 同理可得必I 、？灰―：/+2A-//
_ a(b 2 -c 2)(a 2 +bc) “L (c -b)(a 2+hc)(a 2+3bc)
•••恩•届=-1,
OH A. MN.
二 解：先求最小值,由于〔之七〕2
+2 Z I24勺之1 = £七21 /=!
i=l
l ＜Jt ＜〕＜/r V J r=l
等号成立当且仅当存在I 使得X=L 内=0, j=i
n
工z3最小值为i. .......................................................................................................
J -1
10分
bc + a? be
2a 干了 _ a ,+3儿 b + c ab + ac
llK
得,V'(
er +2hc-c^
abc-ac?) a 2
+ 2bc-c 2
ab + ac a 2+3bc
再求最大值,令工卜=尿〞
•••£〃立+2 ①
女=1
力+>'2 +…+% =为
•n .x G G 人 力 y n = a i 设例=Z4=Z ,"%,令, - A 』 Jl-l
那么①“：+"； H ........................................................................................ F"； = 1
---------------------- 30
分
令 a n _x = 0,贝lj M = £ VF(4 - a«+1) I
= £&「£&k+\ =£&「£>lk-\a k = £〔尿- 4 -1 M A-l
I I
女」 1
由柯西不等式得：
一叱?〕3〔9硝,=[之〔JF 一仄彳尸门 "I
Jt-1 2
A +4； +,•, + % _______ 说
1 + ("-4尸+・・・+(*7 — ^^二IF -(JF-JT^T )2
由于22电力…从而果=4 -q+产2#二货上1士―二1〕之0 ,即心力.
[f 〔JF — 灰二T 〕2 广
A-1
所求最大值为［£(五-灯)2伊
50分
三.解：记所求最小值为f (卬,n),可义证实f (m, n) =rn+n — (m, n) (*)
其中(s, n)表示卬和n 的最大公约数 ...................................
10分
事实上,不妨没卬N A
等号成立中=
(4k 八EV
[£(vr-vr^r )2
r A 」
(#=1, 2,…,n)
(1)关于卬归纳,可以证实存在一种符合题意的分法,使所得正方形边长之和恰为27?+A—(卬,n)
当用卬=1时,命题显然成立.
假设当,朋时,结论成立(A21).当勿=4+1时,假设刀=4+1,那么命题显然成立.假设A VA+L从矩形力皿中切去正方形皿(如图),山归纳假设矩形4不〃有一种分法使得所得正方形边长之和恰为m-n+n- D D. Q
(m— n, n) = m— (m, A),于是原矩形四67?有一种分法使得所得正方形边长之和为rH n).............................................................. 20 分n
(2)关于勿归纳可以证实(*)成立.
11 1 时,由于/2= 1,显然 f (m, n) — m彳卬 4 B
+ ??—(加,n)
假设当"WA时,对任意IW A W卬有f (卬,n) =rn-\-n— (zn, ri)
着卬=A+1,当〃=A+1 时显然 f (m, n) = k~\~ 1 = rn~\~n~ (m, n).
当时,,设矩形皿按要求分成了6个正方形,其边长分别为国, 如…,a p
不妨&?全力…
显然&= A或a t<n.
假设2V〃,那么在四与6.之间的与49平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界).于是ai + a：：+…+ a>不小于月5与Q?之和.
所以 4 + 生+-・ + 劣力2/27>27?+??—(m, n)
假设d二,那么一个边长分别为m—n和n的矩形可按题目要求分成边长分别为包,…a；,的正方形,由归纳假设
备+一・ + 32勿一A+〃一(m—n, n)) =rn— (m, n)
从而@1 +全+-・+劣力力+力一(r, n)
于是当rn=A+l 时,f (m, n) '^-rn~\-n~ (m, n)
再由⑴可知 f (卬,n) =rn+n- {m, ri). .............................. 50分。