2024广东省广州市天河区中考一模数学试题含答案解析

2024届初三毕业班综合测试数学
本试卷共三大越25小题，共4页，满分120分．考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名、班级、座位号和考生号填写在答题卡相应的位置上，再用2B 铅笔把考号的对应数字涂黑．
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4.考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中．只有一个是正确的）
1. 如图，数轴上点A 所表示的数的相反数为（ ）
A. 3−
B. 3
C. 13−
D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】通过识图可得点A 所表示的数为3，然后结合相反数的概念求解．
【详解】解：由图可得，点A 所表示的数为3，
∴数轴上点A 所表示的数的相反数为-3，
故选：A ．
【点睛】本题考查了数轴上的点击相反数的概念，准确识图，理解相反数的定义是解题关键． 2. 据国家统计局公布，2023年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法表示为（ ）
A. 41.08710×
B. 410.8710×
C. 310.8710×
D. 31.08710× 【答案】A
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数的一般形式为10n a ×，其中110a ≤<，n 等于原数的整数位数减
1，即可得到答案．
【详解】解：用科学记数法表示较大的数的一般形式为10n a ×，其中110a ≤<，n 等于原数的整数位数减1，
∴410870 1.08710=×，
故答案选：A ．
【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3. 下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了常见的几何体的三视图，熟知常见几何体的三视图是解题的关键．
【详解】解：A 、俯视图是三角形，主视图是长方形，左视图是长方形，中间有一条竖直实线，不符合题意；
B 、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是等腰三角形，不符合题意；
C 、俯视图是一个圆，左视图和主视图都是长方形，不符合题意；
D 、主视图，俯视图，左视图都是圆，符合题意；
故选：D ．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. ()2211m m −=−
B. ()3326m m =
C. 734m m m ÷=
D. 257m m m +=
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂的运算法则，完全平方公式处理．
【详解】解：A. ()2
2121m m m −=−+，原运算错误，本选项不合题意；
B. ()3328m m =，原运算错误，本选项不合题意；
C. 734m m m ÷=，符合运算法则，本选项符合题意；
D. 25m m +，不能进一步运算化简，原运算错误，本选项不合题意；
故选：C ．
【点睛】本题考查乘法公式在整式乘法中的运用，幂的运算法则，掌握相关法则和公式是解题的关键． 5. 一组数据：3，4，4，4，5，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A. 众数
B. 中位数
C. 平均数
D. 方差
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数、中位数、平均数及方差可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得： 原中位数为4，原众数为4，原平均数为3444545
x ++++==，原方差为()()()()()2222223444444454255
S −+−+−+−+− =； 去掉一个数据4后的中位数为4442+=，众数为4，平均数为344544
x +++==，方差为()()()()2222234444454142
S −+−+−+− =；
∴统计量发生变化的是方差；
故选D ．
【点睛】本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数、众数及方差是解题的关键．
6. 某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设有大货车每辆运输x 吨，则所列方程正确的是（ ） A 75505x x =− B. 75505x x =− C. 75505x x =+ D. 75505
x x =+ 【答案】B
【解析】
【分析】根据“大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同”即可列出方程．
【详解】解：设有大货车每辆运输x 吨，则小货车每辆运输()5x −吨，
则75505
x x =−． 故选B
【点睛】本题考查分式方程应用，理解题意准确找到等量关系是解题的关键．
.的
7. 下列四个函数图象中，当x <0时，函数值y 随自变量x 的增大而减小的是（ ）
A. B. C. D.
A. 55.5m
B. 【答案】D
【解析】【详解】A 、根据函数的图象可知y 随x 的增大而增大，故本选项不符合题意；B 、根据函数的图象可知在第二象限内y 随x 的增大而减增大，故本选项不符合题意；C 、根据函数的图象可知，当x ＜0时，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，故本选项不符合题意；D 、根据函数的图象可知，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小；故本选项符合题意．故选 D ．【点睛】本题考查了函数的图象，函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键.
8. 如图，小亮为了测量校园里教学楼AB 的高度，将测角仪CD 竖直放置在与教学楼水平距离为
的地面上，若测角仪的高度为1.5m ，测得教学楼的顶部A 处的仰角为30 ，则教学楼的高度是( )54m C. 19.5m D. 18m
【答案】C
【解析】 【分析】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，得到DE ，在Rt ADE △中，tan 30AE DE
=o ，求出AE ，从而求出AB 【详解】过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，
DE BC ==Rt ADE △中，tan 30AE DE =
o
18m AE ∴= 18 1.519.5m AB ∴=+=
在
故选C
【点睛】本题主要考查解直角三角形，能够构造出直角三角形是本题解题关键
9. 如图，O 是ABC 的外接圆，且AB AC =，30BAC ∠=°，在 AB 上取点D （不与点A ，B 重合），连接BD ，AD ，则BAD ABD ∠+∠的度数是（ ）
A. 60°
B. 105°
C. 75°
D. 72°
【答案】C
【解析】 【分析】连接CD ，根据题意，得,BAD BCD ABD ACD ∠=∠∠=∠，结合AB AC =，30BAC ∠=°，得到180752
−=°∠∠=°BAC ACB ，计算BAD ABD ∠+∠即可，本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】连接CD ，根据题意，得,BAD BCD ABD ACD ∠=
∠∠=∠， ∵AB AC =，30BAC ∠=°， ∴180752
−=°∠∠=°BAC ACB ， ∴75BAD ABD BCD ACD ACB ∠+∠=∠+∠=∠=°,
故选C ．
．
10. 如图，M 是ABC 三条角平分线的交点，过M 作DE AM ⊥，分别交AB 、AC 于点D 、E 两点，
设BD a =，DE b =，CE c =，关于x 的方程()2
10ax b x c +++=的根的情况是（ ）
A. 一定有两个相等的实数根
B. 一定有两个不相等的实数根
C. 有两个实数根，但无法确定是否相等
D. 没有实数根
【答案】B
【解析】 【分析】M 是ABC 三条角平分线的交点，过M 作DE AM ⊥，则得出BDM MEC BMC ∠=∠=∠，即
可得出DBM MBC ∽，
再求出BMC MEC ∽，DBM EMC ∽，即可得出：214
ac b =，即可求解． 【详解】AM 平分BAC ∠，DE AM ⊥， ADM AEM ∴∠=∠，1122
MD
ME DE b ===， 1902BDM MEC BAC ∴∠=∠=°+∠， 1902BMC BAC ∴∠=°+∠， BDM MEC BMC ∴∠=∠=∠，
M 是ABC 的内角平分线的交点，
∴DBM MBC ∽，
同理可得出：BMC MEC ∽，
∴DBM EMC ∽， ∴BD MD ME CE
=， BD EC MD ME ∴⋅=⋅，
即：214
ac b =， ∴222(1)421210b ac b b b b ∆=+−=++−=+>，
∴关于x 的方程2(1)0ax b x c +++=的根的情况是：一定有两个不相等的实数根．
故选：B ．
【点睛】此题主要考查了根的判别式，相似三角形的判定与性质，根据已知得出BDM MEC BMC ∠=∠=∠是解题关键．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11. 方程420x +=的解为______．
【答案】2x =−
【解析】
【分析】根据解方程的基本步骤解答即可，本题考查了解方程的基本步骤，熟练掌握步骤是解题的关键．
【详解】420x +=，
24x =−，
解得2x =−，
故答案为：2x =−．
12. 因式分解：x 2﹣3x=_____．
【答案】x （x ﹣3）
【解析】
【详解】试题分析：提取公因式x 即可，即x 2﹣3x=x （x ﹣3）
． 考点：因式分解.
13. 现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》人物卡片,正面朝下放置在桌面上,从中随机抽取一张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回,洗匀后再抽.通过多次试验后,发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为____.
【答案】15
【解析】
【详解】因为通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3，
则这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数=0.3×50=15(张).
所以估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为15张．
故答案为15.
14. 已知()1,1P x ，()2,1Q x 两点都在抛物线231y x x =−+上，那么12x x +=________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据题意可得点P 和点Q 关于抛物线的对称轴对称，求出函数的对称轴即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：抛物线的对称轴为直线：33222b x a −=
−=−=， ∵()1,1P x ，()2,1Q x ， ∴12322
x x +=， ∴123x x +=
． 故答案为：3．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据题意，找到P 、Q 两点关于对称轴对称求解． 15. 如图，平面直角坐标系中，A 与x 轴相切于点B ，作直径BC ，函数()200y
x x
=>的图象经过点C ，D 为y 轴上任意一点，则ACD 的面积为_______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，切线的性质；根据反比例函数系数k 的几何意义可得20OB BC ⋅=，由切线的性质可得BC x ⊥轴，再根据三角形的面积公式列式求解即可．
【详解】解：∵点C 在函数
()200y x x
=>的图象上， ∴20OB BC ⋅=，
∵A 与x 轴相切于点B ，
∴BC x ⊥轴，
∴BC y ∥轴， ∴111205244
ACD S AC OB BC OB =?
??， 故答案为：5．
16. 如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，且
90AFE ∠=°．
（1）当5BF =时，tan FEC ∠=
______； （2）当AED ∠最大时，DE 的长为_______．
【答案】 ①.
65 ②. 103##133 【解析】
【分析】（1）证明90AFB EFC FEC ∠=°−∠=∠，利用tan tan AFB FEC ∠=∠计算即可； （2）当BC 与O 相切时，AFD ∠的值最大，此时， AED ∠也最大，利用三角形相似计算即可．
【详解】（1）∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，
∴90,90ABF FCE °°∠=∠=
∵90AFE ∠=°，
∴90AFB EFC FEC ∠=°−∠=∠，
∴6tan tan 5
AB AFB FEC BF ∠=
∠==， 故答案为：65． （2）如图，取AE 的中点O ，连接,,OD OF DF ．
∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，
∴90ADE ∠=°，
∵90AFE ∠=°，
∴A 、D 、E 、F 四点共圆，
∴AED AFD ∠=，
∴当BC 与O 相切时，AFD ∠的值最大，此时， AED ∠也最大，
∴OF BC ⊥，
∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，
∴90ADE ABF ∠=∠=°，
∴OF AB EC ， ∴
EO CF OA BF =， ∴142BF CF BC ===， ∵90AFE ∠=°，
∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，
∴90,90ABF FCE °°∠=∠=
∵90AFE ∠=°，
∴90AFB EFC FEC ∠=°−∠=∠，
∴AFB FEC ∽△△， ∴
BF AB EC FC =， ∴464EC =， ∴83EC =， ∴810633
DE CD EC =−=−
=， 故答案为：103． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正切函数，三角形相似的判定和性质，切线的性质，四点共圆，圆周角定理，熟练掌握正切函数，切线性质，四点共圆是解题的关键．
三、解答题（本大题有9小题，共7分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17. 解不等式：6327x x −>−．
【答案】1x −＞
【解析】
【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可．
本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键．
【详解】6327x x −−＞，
移项，得6237x x −−＞
合并同类项，得44x −＞，
系数化为1，得1x −＞．
18. 如图，四边形ABCD 中，AB DC =，AB DC ，E ，F 是对角线AC 上两点，且AE CF =．求证：ABE CDF △≌△．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
根据AB DC 得BAE DCF ∠=∠，证明即可．
【详解】∵AB DC ，
∴BAE DCF ∠=∠，
在ABE 和CDF 中
AB DC BAE DCF AE CF = ∠=
∠ =
∴ABE CDF △≌△．
19. 为打造书香文化，培养阅读习惯，某中学计划在各班建设图书角，并开展主题为“我最喜欢阅读的书篇”的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A ：科技类，B ：文学类，C ：政史类，D ：艺术类，E ：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分同学进行了问卷调查．根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．
根据图中信息，请回答下列问题：
（1）填空：参与本次问卷调查活动的学生人数是______；
（2）甲同学从A ，B ，C 三类书籍中随机选择一种，乙同学从B ，C ，D 三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．
【答案】（1）50 （2）
29
【解析】
【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，计算解答．
（2）利用画树状图计算即可．本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键．
【小问1详解】
∵4?8%50÷=(人)，
故答案为：50．
【小问2详解】
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中抽到相同类有2种可能的结果，
∴相同的概率为：29
． 20. 已知关于x 的函数()31111
m m y x m m m +=+≠−++图象经过点()1,A m n −． （1）用含m 的代数式表示n ；
（2）当m =k y x
=的图象也经过点A ，求k 的值． 【答案】（1）1n
m =+ （2）4
【解析】
【分析】（1）把点的坐标代入解析式，化简计算即可；
（2）当m =)
1A +，代入解析式，计算即可． 本题本题考查了反比例函数与点的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键．
【小问1详解】 解：根据题意，得()()213111111m m m n m m m m m ++=
×−+==++++． 【小问2详解】
解：当m =时，此时点)1A −+，
故)
11514k =+=−=． 21. 如图，在ABC 中，90ABC ∠=°，60A ∠=°，3AB =．
（1）尺规作图：在BC 上找一点P ，作P 与AC ，AB 都相切，与AC 的切点为Q ；（保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图中，连接BQ ，求sin CBQ ∠的值．
【答案】（1）见解析 （2）1sin 2
CBQ ∠= 【解析】
【分析】（1）结合切线的判定与性质，作BAC ∠的平分线，交BC 于点P ，以点P 为圆心，PB 的长为半径画圆即可．
（2）由题意可得Rt Rt ABP AQP △≌△，则AB AQ =，可得ABQ 为等边三角形，即60ABQ ∠=
°，则30CBQ ∠=°，进而可得答案．
【小问1详解】
解：如图，作BAC ∠的平分线，交BC 于点P ，以点P 为圆心，PB 的长为半径画圆，交AC 于点Q ， 则P 即为所求．
；
【小问2详解】
解：由（1）可得，BP PQ =，PQ AC ⊥，
90AQP ∴∠=°，
AP AP = ，
()Rt Rt HL ABP AQP ∴ ≌，
AB AQ ∴=，
60BAC ∠=° ，
ABQ ∴ 为等边三角形，
60ABQ ∴∠=°，
30CBQ ∴∠=°，
1sin sin 302
CBQ ∴∠=°=． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、切线的判定与性质、等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
22. 如图是气象台某天发布的某地区气象信息，预报了次日0时至8时气温随着时间变化情况，其中0时
至5时的图象满足一次函数关系式y kx b =+，5时至8时的图象满足函数关系式21660y x x =−+−．请
根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：次日0时到8时的最低气温是______；
（2）求一次函数y kx b =
+解析式； （3）某种植物在气温0℃以下持续时间超过4
小时，即遭到霜冻灾害，需采取预防措施．请判断次日是否
的
需要采取防霜措施，并说明理由．
【答案】（1）5−℃
（2）835
y x =
−+ （3）需要采取防霜措施，见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，当5x =时，函数最小值，代入解析式21660y x x =−+−计算即可．
（2）把()()0,3,5,5−分别代入y kx b =+中，计算即可； （3）令0y kx b =+=，216600y x x =−+−=，计算交点坐标的横坐标的差，对照标准判断即可． 本题考查了待定系数法，图象信息识读，图象与x 轴交点坐标的计算，熟练掌握待定系数法，交点坐标的计算是解题的关键．
【小问1详解】
根据题意，
当5x =时，函数有最小值，代入解析式21660y x x =−+−得，
2580605y =−+−=−，
故答案为：5−℃．
【小问2详解】
把()()0,3,5,5−分别代入y kx b =
+中， 得553
k b b +=− = ， 解得853
k b =− = ， ∴835
y x =
−+． 【小问3详解】 令0835y x =−+=， 解得158
x =； 令216600y x x =−+−=，
解得126,10x x ==（舍去）， 故()156 4.125h 8
−=， ∵4.1254＞
∴遭到霜冻灾害，故需要采取防霜措施．
23. 在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图MN 为一凸透镜，F 是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB ，透过透镜后呈的像为CD ．光路图如图所示：经过焦点的光线AE ，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO 汇聚于C 点．
（1）若焦距4OF =，物距6OB =．小蜡烛高度1AB =，求蜡烛的像CD 的长度；
（2）设OB x OF =，AB y CD
=，求y 关于x 的函数关系式，并通过计算说明当物距大于2倍焦距时，呈缩小的像．
【答案】（1）2米 （2）1y x =−，说明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，平行四边形的性质与判定；
（1）先证明ABF EOF ∽，利用相似三角形的性质得到2OE =，再证明四边形OECD 是平行四边形，可得2CD OE ==米；
（2）由（1）得ABF EOF ∽，2CD OE ==，则AB OB OF CD OF −=，据此可得1y x =−，当2OB OF
>，即2x >时，11y x =−>，据此可得结论． 【小问1详解】
解：由题意得，AB OE ∥，
∴ABF EOF ∽， ∴AB BF OE OF =，即1644
OE −=， ∴2OE =，
∵OE CD CE OD ∥，∥，
的
∴四边形OECD 是平行四边形，
∴2CD OE ==米，
∴蜡烛的像CD 的长度为2米；
【小问2详解】
解：由（1）得ABF EOF ∽，2CD OE == ∴AB BF OE OF =，即AB OB OF CD OF
−=， ∴1y x =−， 当2OB OF >，即2x >时，11y x =−>， ∴1AB CD
>，即AB CD >， ∴物高大于像高，即呈缩小的像．
24. 矩形ABCD 中，4AB =，8BC =．
（1）如图1，矩形的对角线AC ，BD 相交于点O ．
①求证：A ，B ，C ，D 四个点在以O 为圆心的同一个圆上；
②在O 的劣弧AD 上取一点E ，使得AE AB =，连接DE ，求AED △的面积．
（2）如图2，点P 是该矩形的边AD 上一动点，若四边形ABCP 与四边形GHCP 关于直线PC 对称，连接GD ，HD ，求GDH 面积的最小值．
【答案】（1）①见解析；②
485
（2）8
【解析】
【分析】（1）①根据矩形的性质，得到90ABC ∠=°，得到点A ，B ，C 在以O 为圆心，OA 为半径的圆上，根据矩形的性质，得OA OB OC OD ===，判定点D 在以O 为圆心的同一个圆上，继而得到四点共圆；
②过点E 作在EG AD ⊥于点D ，根据AE AB =，得到ADE ADB ∠=∠，结合4AE AB ==，8BC =，得到1tan tan 2
AB EG ADE ADB BC GD ∠=∠===，设2EG x GD x ==，，则82AG AD GD x =−=−，
利用勾股定理计算x ，利用面积公式解答即可．
（2）根据折叠的性质，得到8,4,90CB CH BA HG CHG =
===∠=°，根据CH CD DH ≤+，得到4DH CH CD −=≥，当点C ，D ，H 三点共线时，4DH =最小，此时GDH 面积的为
1144822
GH DH ×=××=，最小． 【小问1详解】
①∵矩形ABCD ，
∴90ABC ∠=°，OA OB OC OD ===，
∴点A ，B ，C 在以O 为圆心，OA 为半径的圆上，
∵OA OB OC OD ===，
∴点D 在以O 为圆心的同一个圆上，
故A ，B ，C ，D 四个点在以O 为圆心的同一个圆上；
②如图，过点E 作在EG AD ⊥于点D ，
∵AE AB =，
∴ADE ADB ∠=∠，
∵4AE AB ==，8BC =， ∴1tan tan 2
AB EG ADE ADB BC GD ∠=∠===， 设2EG x GD x ==，，则82AG AD GD x =
−=−， ∴()2
28216x x −+=， 解得
12,45x x ==（舍去）， ∴AED △的面积112488255××=． 【小问2详解】
根据折叠的性质，得到8,4,90CB CH BA HG CHG =
===∠=°， ∵CH CD DH ≤+，
∴4DH CH CD −=≥，
∴当点C ，D ，H 三点共线时，4DH =最小，
此时GDH 面积的为1144822
GH DH ×=××=，最小．
【点睛】本题考查了矩形的性质，构造辅助圆，正切函数，勾股定理，三角形不等式，熟练掌握正切函数，辅助圆，勾股定理，三角形不等式是解题的关键．
25. 已知抛物线()2
1:1C y a x h =−−，直线()2:1l y k x h =−−，其中02a ≤＜，0k >． （1）求证：直线l 与抛物线C 至少有一个交点；
（2）若抛物线C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，其中12x x <，且121033
x x <+
<，求当1a =时，抛物线C 存在两个横坐标为整数的顶点；
（3）若在直线l 下方的抛物线C 上至少存在两个横坐标为整数的点，求k 的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）()()1,1,2,1−−
（3）4k ＞
【解析】
【分析】（1）联立()()211y a x h y k x h =−− =−− ，解方程，判断方程的解得个数即可解答；
（2）根据1a =时，()2
1:1C y x h =−−，结合抛物线C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，结合12x x <，则12,11x h x h ==+−，且121033x x <+<，求得11124
h <<，确定h 的整数解有1,2两个，得证．
（3）根据题意，得当2x h =+时，21y y ＞恒成立．建立不等式解答即可．
本题考查了抛物线与一次函数的综合，不等式组的解集与整数解，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
【小问1详解】
联立()()211y a x h y k x h =−− =−−
， 解方程，得,ah k x h x a
+==， 当x h =时，
1y =−，
即直线与抛物线恒过点(),1h −，
故直线l 与抛物线C 至少有一个交点．
【小问2详解】
当1a =时，()2
1:1C y x h =−−，
∵抛物线C 与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点， ∴1x h −=±，
∵12x x <， ∴12,11x h
x h ==+−， ∵121033x x <+
<， ∴420333h <−< 解得11124h <<， ∵h 时整数，
∴
1,2h h ==， 故抛物线C 存在两个横坐标为整数的顶点，且顶点坐标为()()1,1,2,1−−．
【小问3详解】
．∵如图所示：由（1）可知：抛物线C 与直线l 都过点(),1A h −．
当02a ≤＜，0k >，在直线l 下方的抛物线C 上至少存在两个横坐标为整数点， 即当2x h =+时，21y y ＞恒成立．
故()()22121k h h a h h +−−+−−＞，
整理得：2k a ＞．
又∵2k a ＞，
∴024a ＜＜，
∴4k ＞．。