广东省深圳市南山区2018届高三上学期期末教学质量监测数学(理)试题

高 三 教 学 质 量 监 测
数 学（理科）
注意：本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟．
1．答卷前，考生填、涂好学校、班级、姓名及座位号。

2．选择题用2B 铅笔作答；非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，并将答题卡交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。

1.集合4|
01x A x x -⎧⎫
=<⎨⎬+⎩⎭
，{}ln 1B x x =<，则 A ．A B φ= B ．A B A = C ．A B A = D ．以上都不对
2. 复数z 满足z (1﹣i)＝|1+i |，则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3. 若p 是真命题，q 是假命题，则 A ．p q ∧是真命题 B ．p q ∨是假命题 C ．p ⌝是真命题
D ．q ⌝是真命题
4.在ABC ∆中，若1
5,,sin 43
b B A π
=∠=
=，则a = A ．
3
25 B ．
3
35 C ．
33 D ．5
33 5．下列函数为偶函数的是
A ．sin y x =B
．)
ln y x =C ． x y e =D
．y =
6.函数y =sin (2x +3π)•cos (x ﹣6π)+cos (2x +3π)•sin (6
π
﹣x )的图象的一条对称轴方程是
2018.01.24
A ．x =
4
π B ．x =
2
π C ．x =π D ．x =
2
3π 7.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n= A ．9
B ．10
C ．12
D ．13
8.设,x y 满足约束条件202300
x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则4
6y x ++的取值范围是
A ．[4,1]-
B ．3
[3,]7
-
C ．(,3][1,)-∞-+∞
D ．[3,1]-
9.已知F 1（﹣3，0）、F 2（3，0）是椭圆12
=+2n
y m x 的两个焦点，P 是椭圆上
的点，当3
2=∠21π
PF F 时，△F 1PF 2的面积最大，则有 A ．m =12，n =3 B ．m =24，n =6
C ．m =6，n =
2
3
D ．m =12，n =6
10.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5，2，则输出的n = A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
11．在四面体S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，
则该四面体的外接球的表面积为 A ．11π
B ．
3
28π
C ．
3
10π
D ．
3
40π
12．设函数()f x 的定义域为D ，若满足条件：存在[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b
上
的值域为[,]22
a b
，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数t nx x f +1=)(为“倍缩
函数”，则实数t 的取值范围是 A ．（﹣∞，l n 2﹣1） B ．（﹣∞，l n 2﹣1] C ．（1﹣l n 2，+∞）
D ．[1﹣l n 2，+∞）
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．设向量、a )2,1(=)3,2(=b ，若向量λ+与向量=(－3,－3)共线，则λ=． 14.已知3n ≥，若对任意的x ，都有
1201(2)(1)(1)135(1)...n n n n n x a x a x x a --+=-+-+⋅-++，则______n =． 15．如图所示，三个直角三角形是一个体积为20cm 3的
几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积 （单位：cm 2）等于．
16．已知函数()()sin cos sin f x x x x =+，x R ∈，则)(x f 的最小值是．
三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）
已知在数列{}n a 中，13a =，()111n n n a na ++-=，n N *∈. （1）证明数列{}n a 是等差数列，并求n a 的通项公式；
（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T
，证明：61
<n
T .
18．（本小题满分12分）
某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．
（1）求样本容量n 和频率分布直方图中x 、y 的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取
3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC ，且使
这两个三角形所在的平面互相垂直，︒=∠=∠90CBD BAC ，AB AC =，︒=∠30BCD ，BC =6.
（1）证明：平面ADC ⊥平面ADB ； （2）求二面角A —CD —B 平面角的正切值.
C
B
D
A
20. （本小题满分12分）
如图所示，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆E 上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ， 且0=⋅BC AC ，|BC |＝2|AC |． （1）求椭圆E 的方程；
（2）在椭圆E 上是否存点Q ，使得222|QB||QA|-=？
若存在，有几个（不必求出Q 点的坐标），若不存在，请说明理由．
（3）过椭圆E 上异于其顶点的任一点P ，作22
4
3
O :x y +=
的两条切线， 切点分别为M 、N ，若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n ，证明：
22
113m n +为定值．
21．（本小题满分12分）
设(4)ln ()31
x a x
f x x +=
+，曲线()y f x =在点(1,
(1)f 处的切线与直线
10x y ++=垂直．
（1）求a 的值；
（2）若对于任意的[1,),()(1)x f x m x ∈+∞≤-恒成立，求m 的取值范围．
22．（本小题满分10分）选修4-4，坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1=4
+162
2x y ，以O 为极点，
x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程
为
sin()33
π
ρθ+=． （1）求直线l 的直角坐标方程；
（2）设M （x ，y ）为椭圆C 上任意一点，求|32x +y ﹣1|的最大值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||,f x x a a R =-∈
（1）当2a =时，解不等式：()6|25|f x x ≥--；
（2）若关于x 的不等式f (x )≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s 和t 满足
2s t a +=，求证：t
s 8
+1≥6．
高三理科数学参考答案
2018.1.24 一、选择题
10.解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，
当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，
当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，
当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，
故输出的n值为4，故选C．
11.解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，
∴BC==，
∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，
∵SA⊥平面ABC，SA=2，
由于三角形OSA为等腰三角形，O是外接球的球心．
则有该三棱锥的外接球的半径R==，
∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．
12解：∵函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”，
且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，
∴f（x）在[a，b]上是增函数；
∴，即在（0，+∞）上有两根，
即y=t 和g （x ）
=﹣lnx 在（0，+∞）有2个交点， g′（x ）=﹣=，
令g′（x ）＞0，解得：x ＞2， 令g′（x ）＜0，解得：0＜x ＜2，
故g （x ）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增， 故g （x ）≥g （2）=1﹣ln2，故t ＞1﹣ln2， 故选C ：．
二、填空题
13.1-； 14.6 15. 77π 16. 2
221-
17.（1）方法一：由()111n n n a na ++-=，得()()12211n n n a n a +++-+=， （2分） 两式相减，得()()()12221n n n n a n a a +++=++，即122n n n a a a ++=+， （3分） 所以数列{}n a 是等差数列. （4分）
由⎩⎨⎧=-=123
21
1a a a ，得52=a ，所以212=-=a a d ， （5分）
故12)1(1+=⨯-+=n d n a a n 21n a n =+. （6分） 方法二：将1)1(1=-++n n na a n 两边同除以)1(+n n ，得1
1
111+-=+-+n n n a n a n n ，（2分） 即
n a n a n n 1
111-=+-+. （3分） 所以
1
1
11-=-a n a n （4分） 所以12+=n a n （5分） 因为12n n a a +-=，所以数列{}n a 是等差数列. （6分）
（2）因为()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪++++⎝⎭
， （8分）
E
C
B
D
A
F
所以1
3221111++++=
n n n a a a a a a T )]3
21121()7151()5131[(21+-+++-+-=n n 6
164161<+-=n （*N n ∈） （12分）
18.解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量
，
，x=0.1
﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030．（3分）
（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人．
抽取的3名同学中得分在
[80，90）的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则
，
，
．
所以，ξ的分布列为
所以，．（12分）
19.
（
1
）
证
明
：
因
为
,,,A B C B C D B D B C
⊥⊥=⊂ 面面面面面，
所以BD ABC ⊥面. （3分） 又AC ABC ⊂面，所以BD AC ⊥. （4分） 又AB AC ⊥，且BD AB B = ，
所以AC ADB ⊥面. （5分） 又AC ADC ⊂面，所以ADC ADB ⊥面面.（6分）
（2）取BC 的中点E ，连接AE ，则AE BC ⊥， （7分）
又,ABC BCD ⊥面面,ABC BCD BC = 面面所以,AE BCD ⊥面 （8分）
所以,AE CD ⊥过E 作EF DC F ⊥于，连接AF ，则,DC AEF ⊥面
则,DC AF ⊥所
以AFE ∠是二面角A CD B --的平面角. （10分）
在Rt CEF ∆中，0
1330,22
ECF EF CE ∠===，又3AE =， （11分）
所以tan 2AE
AFE EF
∠==，即二面角A CD B --平面角的正切值为2.（12分）
20. 解：(1)依题意知：椭圆的长半轴长2a =，则A (2，0)，
设椭圆E 的方程为1422
2=+b
y x -----------------------1分 由椭圆的对称性知|OC |＝|OB | 又∵0=⋅BC ，|BC |＝2|AC | ∴AC ⊥BC ，|OC |＝|AC | ∴△AOC 为等腰直角三角形，
∴点C 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(－1，－1) ，---------------------3分 将C 的坐标(1，1)代入椭圆方程得3
4
2=
b ∴所求的椭圆E 的方程为14
342
2=+y x ----------------------------------------------4分
（2）解法一：设在椭圆E 上存在点Q ，使得222|QB||QA|-=，设00Q(x ,y )，则
()()()2
2
2
2220000001126222|QB||QA|x y x y x y .-=+++---=+-=
即点Q 在直线320x y +-=上，-----------------------------------------------------------6分
∴点Q 即直线320x y +-=与椭圆E 的交点，
∵直线320x y +-=过点203(,)，而点椭圆2
03
(,)在椭圆E 的内部，
∴满足条件的点Q 存在，且有两个．------------------------------------------------------8
分
【解法二：设在椭圆E 上存在点Q ，使得222|QB||QA|-=，设00Q(x ,y )，则
()()()2
2
2
2220000001126222|QB ||QA|x y x y x y .-=+++---=+-=
即00320x y +-=，--------①------------------------------------------------6分
又∵点Q 在椭圆E 上，∴2200340x y +-=，-----------------②
由①式得0023y x =-代入②式并整理得：2007920x x -+=，-----③
∵方程③的根判别式8156250∆=-=>，
∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q 存在，且有两
个．---------------8分
（3）解法一：设点11P(x ,y )，由M 、N 是O 的切点知，OM MP,ON NP ⊥⊥, ∴O 、M 、P 、N 四点在同一圆上，------------------------------------------9分 且圆的直径为OP,则圆心为1122
x y (,)， 其方程为22221111224
x y x y (x )(y )+-+-=，------------------------------10分 即22110x y x x y y +--=-----④
即点M 、N 满足方程④，又点M 、N 都在O 上，
∴M 、N 坐标也满足方程2243
O :x y +=---------------⑤ ⑤-④得直线MN 的方程为1143
x x y y +=，------------------------------11分 令0y ,=得143m x =，令0x =得1
43n y =， ∴114433x ,y m n =
=，又点P 在椭圆E 上， ∴22443433()()m n +=，即2211334
m n +==定值.-----------------------------------12分 【解法二：设点112233P(x ,y ),M(x ,y ),N(x ,y ),则22
1
PM OM x k ,k y =-=-----------9分 直线PM 的方程为2222x y y (x x ),y -=--化简得2243
x x y y ,+=--------------④ 同理可得直线PN 的方程为3343x x y y ,+=
---------------⑤------------------10分
把P 点的坐标代入④、⑤得121213134343x x y y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
∴直线MN 的方程为1143x x y y +=
，------------------------------------------------------11分
令0y ,=得143m x =，令0x =得1
43n y =， ∴114433x ,y m n =
=，又点P 在椭圆E 上， ∴22443433()()m n +=，即2211334
m n +==定值．---------------------------------------------12分
21. 解：（1）f′（x ）
=
………..1分 由题设f′（1）=1，
∴
，∴a=0．………..3分 （2），∀x ∈[1，+∞），f （x ）≤m （x ﹣1），
即4lnx≤m （3x ﹣﹣2）………..4分
设g （x ）=4lnx ﹣m （3x ﹣﹣2），即∀x ∈[1，|+∞），g （x ）≤0，
∴g′（x ）=﹣m （
3+）=，g′（1）=4﹣4m ………..6分
① 若m≤0，g′（x ）＞0，g （x ）≥g （1）=0，这与题设g （x ）≤0矛盾………..7分
② 若m ∈（0，1），当x ∈（1，），g′（x ）＞0，g （x ）单调递增，
g （x ）≥g （1）=0，与题设矛盾．………..9分
③ 若m≥1，当x ∈（1，+∞），），g′（x ）≤0，g （x ）单调递减，g （x ）≤g （1）
=0，即不等式成立 ………..11分
综上所述，m≥1．………..12分
22.解：（1）根据题意，椭圆C的方程为+=1，
则其参数方程为，（α为参数）；………..1分
直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=3，变形可得ρsinθcos+ρcosθsin=3，即ρsinθ+ρcosθ=3，………..3分,将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得x+y﹣6=0，即直线l的普通方程为x+y﹣6=0；………..5分
（2）根据题意，M（x，y）为椭圆一点，则设M（2cosθ，4sinθ）， (6)
分
|2x+y﹣1|=|4cosθ+4sinθ﹣1|=|8sin（θ+）﹣1|，………..8分
分析可得，当sin（θ+）=﹣1时，|2x+y﹣1|取得最大值9．..............10分23.解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．.. (1)
分
①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；…………..2分
②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；…………..3分
④x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，………………..4分
综上所述，不等式的解集为（﹣]；………..5分
（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为[a﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3， (7)
分
∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．..10分。