函数基本性质经典例题

函
数的基本性质组合卷 1、已知56)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是递增的，则)1(f 的取值范围是（ ）
A.[)35∞，+
B.()35+∞，
C.(]35-∞，
D.()∞-，35
解析： 对称轴212
2-≤=-
=m a b x 24-≤m 答案：A 2、函数①|x |y =，②x
|x |y =，③|x |x y 2-=，④|x |x x y +=中，在)0,(-∞上为增函数的有（ ） A 、①和④
B 、②和③
C 、③和④
D 、②和④ 解析：
（提示：首先将各函数表达式化简，然后予以判断）
∵)0,(x -∞∈，将各函数式化简，即①x y -=，②1y -=，③x y =，④1x y -=。

由增函数的定义，易知③和④是增函数。

答案：C
3、函数x 21x y --=的最大值为（ ）。

A.0
B.12
C.1
D.32
解析：函数的定义域为x 21y x y ,21x |x --==⎭⎬⎫⎩
⎨⎧≤及均在]21,(-∞上单调递增。

∴]21,(x 21x y -∞--=在上单调递增，x 21x y ,2
121f )x (f --=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤的最大值为21。

答案：B
4、若函数)a x ()1x (y -⋅+=为偶函数，则a 等于（ ）
A 、2-
B 、1-
C 、1
D 、2
解析：∵a x )a 1(x )a x )(1x (y 2--+=-+=，函数y 是偶函数，)x (f )x (f =-∴，∴0a 1=-，∴a=1。

答案：C
5、设函数)x (f y =为奇函数，若3)2(f )1(f 3)1(f )2(f ++=--+-，则=+)2(f )1(f （ ）。

A.-1
B.-2
C.-3
D.0
解析：由)x (f 是奇函数得，)2(f )2(f -=-，3)2(f )1(f 3)1(f )2(f ),1(f )1(f ++=----=-，3)2(f )1(f -=+ 答案：C 6、若定义在R 上的函数)x (f 满足：对任意R x ,x 21∈有1)x (f )x (f )x x (f 2121++=+，则下列说法一定正确的是（ ）
A 、)x (f 为奇函数
B 、)x (f 为偶函数
C 、1)x (f +为奇函数
D 、1)x (f +为偶函数
解析：令0x x 21==，得1)0(f 2)0(f +=，所以1)0(f -=。

令12x x -=，得1)x (f )x (f )0(f 11+-+=，即1)x (f 1)x (f 11--=+-。

所以1)x (f +为
奇函数。

答案：C
7、已知)x (f 在R 上是奇函数，且满足)x (f )4x (f =+，当)2,0(x ∈时，2x 2)x (f =，则)7(f =（ ）
A 、2-
B 、2
C 、98-
D 、98
解析：)x (f )4x (f =+，∴212)1(f )1(f )87(f )7(f ,4T 2-=⨯-=-=-=-==。

答案：A
8、如果函数)x (f y =的图象与x 23y -=的图象关于坐标原点对称，则)x (f y =的表达式为（ ）
A 、3x 2y -=
B 、3x 2y +=
C 、3x 2y +-=
D 、3x 2y --=
解析：
解析一：∵)1,1(M 在x 23y -=的图象上，点M 关于原点的对称点)1,1(N --只满足A 、B 、C 、D 中的3x 2y --=，故选D 。

解析二：根据)x (f y =关于原点对称的关系式为)x (f y -=-来求解。

∵x 23y )x (f y -==与的图象关于原点对称，又x 23y -=与x 23y +=-的图象关于原点对称，3x 2)x (f --=，故选D 。

答案：D
9、函数)x (f y =在]7a 2,1a [x +-∈上为奇函数，则=a （ ）。

A.-1
B.-2
C.-3
D.0
解析：定义域关于原点对称，即2a ),1a (7a 2-=∴--=+。

答案：B 10、设函数)x (f y =定义在实数集上，则函数)x 1(f y )1x (f y -=-=与的图象关于（ ）
A 、直线y=0对称
B 、直线x=0对称
C 、直线y=1对称
D 、直线x=1对称
解析：
解题过程：函数)x (f y )x (f y -==与的图象关于y 轴对称，)]1x ([f )x 1(f y --=-=。

把)x (f y )x (f y -==与的图象同时都向右平移一个单位，就得到)x 1(f y )1x (f y -=-=与的图象，对称轴y 轴向右平移一个单位得直线1x =，故选D 。

方法总结：此类问题通常有如下三种求解方法：①利用函数的定义求解；②通过平移坐标轴的方法求解；③特殊化法求解，即抽象函数具体化，然后通过图象变换找到答案。

其具体变换程序是（就本题而言）：由)1x (f y )x (f y -=→=；再由
)x (f y )x (f y -=→=)]1x ([f )1x (f y --=+-=→。

至此由图象关系找到答案。

答案：D
11、已知对任意x 、R y ∈，都有⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2y x f 2y x f 2)y (f )x (f ，且0)0(f ≠，则)x (f （ ） A 、是奇函数 B 、是偶函数 C 、既是奇函数又是偶函数 D 、无法确定)x (f 的奇偶性
解析：函数)x (f 的定义域为R ，则令0y ,0x ==，则2)]0(f [2)0(f 2=，而0)0(f ≠，∴1)0(f =，再令x y -=，则)x (f 2)0(f )x (f 2)x (f )x (f ==-+，∴)x (f )x (f =-，∴)x (f 为偶函数，故选B 。

答案：B
12、)x (f 为偶函数，在),0[+∞上为减函数，若)3(f 021f >>⎪⎭
⎫ ⎝⎛，则方程0)x (f =的根的个数为（ ） A 、2个 B 、2个或1个 C 、2个或无数个 D 、无数个
解析：由)x (f 为偶函数且在),0[+∞上是减函数，有]0,()x (f -∞在上是增函数，又)3(f 021f >>⎪⎭
⎫ ⎝⎛，∴⎪⎭
⎫ ⎝⎛-<<-21f 0)3(f ，则f （x ）=0的根有两个，故选A 。

答案：A
13、下列说法正确的有（ ）
①若I x ,x 21∈，当21x x <时，有)x (f )x (f 21<，则)x (f y =在I 上是增函数；
②函数2x y =在R 上是增函数；
③函数x 1y -
=在定义域上是增函数； ④x
1y =的单调区间是),0()0,(+∞-∞ 。

A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个
第13题解析：
分析：从函数单调性概念出发，逐个进行判断。

解：①函数单调性的定义是指定义在区间I 上的任意两个值21x ,x ，强调的是“任意”，所以不正确； ②2x y =在0x >时是增函数，x<0时是减函数，从而2x y =在整个定义域上不具有单调性，所以不正确；
③x
1y -
=在),0()0,(+∞-∞和分别都是增函数，但是在整个定义域内不是单调增函数，如53<-而)5(f )3(f >-，所以不正确；
④x
1y =的单调递减区间不是),0()0,(+∞-∞ 。

而应写成),0()0,(+∞-∞和。

所以不正确。

误区点拨：（1）函数的单调性是对于定义域内的某个区间而言的，有时函数在整个定义域内可能是单调的，如一次函数；
（2）有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，而在另一部分区间上可能是减函数，如二次函数；
（3）还有的函数是非单调的，如常数函数；
（4）对于在整个定义域上不是严格单调的函数，应注意单调区间的写法。

如④
答案：A
14、定义在R 上的函数)x (f 对任意两个不等实数y ,x ，总有0y
x )y (f )x (f <--成立，则必有（ ） A 、函数)x (f 在R 上是增函数
B 、函数)x (f 在R 上是减函数
C 、函数)x (f 在R 上是常数函数
D 、函数)x (f 在R 上的单调性不确定
解析：由y x )y (f )x (f 0y
x )y (f )x (f --<--与得异号，得当y x >时，)y (f )x (f <。

当y x <时，)y (f )x (f >，说明)x (f 在R 上是减函数。

答案：B
15、（创新题）已知x 2x )x (g |,x |23)x (f 2-=-=，⎩⎨
⎧<≥=)x (g )x (f ),x (f )x (g )x (f ),x (g )x (F 若若，则F （x ）的最值是（ ）
A 、最大值为3，最小值为1-
B 、最大值为727-，无最小值
C 、最大值为3，无最小值
D 、无最大值，无最小值 解析：此题可借助图象，1)1x (x 2x )x (g ,)
0x (,x 23)0x (,x 23)x (f 22--=-=⎩⎨⎧<+≥-=。

将)x (f 、g(x)的图象画出，然后得出⎩⎨⎧<≥=)
x (g )x (f ),x (f )
x (g )x (f ),x (g )x (F 若若的图象为如图所示的实线部分，由图知。

)x (F 无最小值，有最大值，即A 点的纵
坐标由⎩
⎨⎧-=+=x 2x y x 23y 2得727y -=，∴选为B 答案：B
16、设⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)0(,0)0(,)
0(,1)(x x x x x f π，则=-)]}1([{f f f （ ）
A ． 1+π
B ． 0
C ． π
D ． 1-
答案：A 17、下列说法正确的个数是（ ）
①函数f(x)=3，因为该函数解析式中不含x ，无法判断其奇偶性；
②偶函数图象一定与y 轴相交；
③若)x (f y =是奇函数，由)x (f )x (f -=-知0)0(f =；
解析：因为f{f[f(-1)]}=f[f(0)]=f(π)=π+1.
④若一个图形关于y 轴成轴对称，则该图形一定是偶函数的图象。

A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、0个
解析：
从函数奇偶性的定义和图象的对称关系入手逐一分析。

解：①∵f(x)=3的图象关于y 轴对称，∴f(x)是偶函数，从而①错误。

②若函数在x=0处无定义，则该函数不与y 轴相交，如2x
1y =，从而②错误； ③当奇函数在x=0处有定义时，有f(0)=0
④虽然图形关于y 轴对称，但该图形不一定是函数图象，如圆心在原点的圆。

误区点拨：判断一个命题不正确时，只要举一个反例即可。

答案：D
18、若函数)2x (f y +=是偶函数，则)x (f y =的对称轴方程是（ ）
A 、0x =
B 、2x =
C 、2x -=
D 、1x =
解析：由)2x (f +是偶函数知)2x (f )2x (f +-=+，∴)x (f 的对称轴为2x =。

答案：B
19、函数x x
1)x (f -=
的图象关于（ ） A 、y 轴对称 B 、直线x y -=对称 C 、坐标原点对称 D 、直线y=x 对称 解析：∵x x 1)x (f -=
，∴)x (f x x 1x x 1)x (f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=-。

∴)x (f 是一个奇函数。

∴)x (f 的图象关于原点对称。

答案：C
20、设()x f 、()x g 分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，当0<x 时，()x f ()x g ⋅单调递增，且()03=-g ，则()x f ()0<⋅x g 的解集为（ ） A. ()3,-∞- B. ()3,0 C. ()+∞,3 D. ()()3,03, -∞-
思路分析：
在公共定义域内奇函数与偶函数的积是奇函数，在对称区间内奇函数的单调性相同，结合()03=-g ，从而得到()()033==-h h ，画出草图，即可求出解集。

解答过程：
令()()()x g x f x h ⋅=，因为()x f 、()x g 分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，所以()x h 是奇函数，又()03=-g ，
所以()()033==-h h ，又当0<x 时，()()()x g x f x h ⋅=单调递增，所以()()()x g x f x h ⋅=在()+∞,0上单调递增，故()()0<⋅x g x f 的解集为()()3,03, -∞-。

答案：D
拓展提升：
-
3 x y
两个奇（偶）函数之和（差）为奇（偶）函数；之积（商）为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积（商）为奇函数，在关于原点对称的单调区间内，奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性。

21、已知函数)11()(+--=x x x x f ，()()()
2200x x x h x x x x ⎧-+>⎪=⎨+≤⎪⎩，则()(),f x h x 的奇偶性依次为（ ） A ．偶函数，奇函数 B ．奇函数，偶函数
C ．偶函数，偶函数
D ．奇函数，奇函数
思路分析：
先判断函数的定义域，然后再判断f （－x ）与f （x ）之间的关系，即可得出正确的选项；本题中)11()(+--=x x x x f ，而)()11()(x f x x x x f -=+---=-，所以)(x f 是奇函数，而h （x ）的定义域是对称的，通过它的图象可判断h （x ）是奇函数.所以选D.
答案：D。