2023-2024学年山东省高一上册期末数学试题(含解析)

2023-2024学年山东省高一上册期末数学试题
一、单选题1．sin390°的值是（）
A ．1
2B ．
2
C ．
D ．12
-
【正确答案】A
【分析】根据终边相同的角，将390-︒化成30-︒，再利用30︒的三角函数值与sin()α-的公式，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，得()()1
sin 390sin 30360sin 302
︒=︒+︒=︒=
故选：A．
2．“函数()sin(2)f x x θ=+为偶函数”是“2
π
θ=”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件
【正确答案】B
【分析】充分性判断：利用偶函数的性质，结合和差角正弦公式求θ；必要性判断：应用诱导公式化简()f x 并判断奇偶性，最后由充分、必要性定义确定题设条件间的关系.【详解】当()sin(2)f x x θ=+为偶函数时sin(2)sin(2)x x θθ-=+，则2sin 2cos 0x θ=恒成立，即2
k π
θπ=+，Z k ∈；
当,2π
θ=
时，()sin(2)cos 22
f x x x π
=+=为偶函数；综上，“函数()sin(2)f x x θ=+为偶函数”是“2
π
θ=”的必要不充分条件.故选：B
3．已知函数()
2
222
()1m
m f x m m x
--=--是幂函数，且为偶函数，则实数m =（
）
A ．2或1-
B ．1
-C ．4
D ．2
【正确答案】D
【分析】利用幂函数的定义及偶函数的概念即得.
【详解】由幂函数的定义知211m m --=，解得1m =-或2m =．
又因为()f x 为偶函数，所以指数222m m --为偶数，故只有2m =满足．故选：D ．4．已知3sin 7a π=，4cos 7b π=，3tan()7
c π=-，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c<a<b
【正确答案】C
【分析】可以看出0,0,0a b c ><<，直接排除A 、B ，再比较1,1b c >-<-，从而选出正确答案.
【详解】可以看出37π
是一个锐角，故3sin
07a π=>；又4cos cos 72ππ<，故10b -<<；又34tan tan
7
7ππ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，而43274πππ<<，故1c <-；从而得到c b a <<，故选C.
比较大小时常用的方法有①单调性法，②图像法，③中间值法；中间值一般选择0、1、-1等常见数值.
5．函数()sin ln ||f x x x =⋅的部分图象大致为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
【正确答案】D
先根据函数的奇偶性，可排除A ，C ，根据当01x <<时，()0f x <即可排除B ．得出答案.【详解】因为()sin ln ||(0)f x x x x =⋅≠，所以()sin()ln ||sin ln ||()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除A ，C ．
当01x <<时，sin 0x >，ln ||0x <，则()0f x <，故排除B ，故选:D ．
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6．函数()2
2sin 2cos f x x x =-+的最大值和最小值分别是（
）
A ．2,2-
B ．5
2,2
-
C ．12,2-
D ．5,2
2
-【正确答案】B 【分析】，
函数可化简为()2
152cos 22f x x ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭,令cos t x =,本题转化为函数
2
15
222
y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,[]1,1t ∈-的最值求解即可.
【详解】根据题意()2
2
2
152sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22f x x x x x x ⎛
⎫=-+=+-=+- ⎪⎝
⎭,
令cos t x =,则[]1,1t ∈-,
因为函数的对称轴为1
2
t =-,
所以根据二次函数的图像和性质得:当12t =-时,min 5
2
y =-;当1t =时,max 2y =.
故选:B.
7．要得到函数214y x π⎛
⎫+
+ ⎪
⎝
⎭
的图象，只需将函数22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）
A ．先向右平移
8π
个单位长度，再向下平移1个单位长度B ．先向左平移8π
个单位长度，再向上平移1个单位长度
C ．先向右平移4π
个单位长度，再向下平移1个单位长度
D ．先向左平移4
π
个单位长度，再向上平移1个单位长度
【正确答案】B
根据212148y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 22y x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
可判断.
【详解】21sin 2148y x x ππ⎛
⎫⎛⎫
=+
++
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
，
所以222y x x π⎛
⎫=-= ⎪⎝⎭先向左平移8π个单位长度，再向上平移1个单位长度可
得到218y x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭的图象.
故选：B.
8．已知函数24,0,
()(0,1)log (1)1,0a x a x f x a a x x ⎧+<=>≠⎨
++≥⎩在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（
）
A ．10,2⎛⎤
⎥
⎝⎦
B ．11,42⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
C ．119,4216⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬
⎢⎥⎣⎦⎩⎭
D ．119,4216⎡⎫⎧⎫⋃⎨⎬
⎪⎢⎣⎭⎩⎭
【正确答案】C
【分析】由log (1)1a y x =++在[0，)∞+上单调递减，得01a <<，由()f x 在R 上单调递减，
得1
14a ≤<，作出函数24,0()(0log (1)1,0a
x a x f x a x x ⎧+<=>⎨
++⎩且1)a ≠在R 上的大致图象，利用数形结合思想能求出a 的取值范围．
【详解】解：由log (1)1a y x =++在[0,)+∞上单调递减，得01a <<，
又由24,0
()(0log (1)1,0a
x a x f x a x x ⎧+<=>⎨
++⎩且1)a ≠在R 上单调递减，得204(0)1a f +≥=，解得1
a 4≥
，所以114
a ≤<，作出函数24,0
()(0log (1)1,0a
x a x f x a x x ⎧+<=>⎨
++⎩且1)a ≠在R 上的大致图象，
由图象可知，在[0,)+∞上，|()|2f x x =-有且仅有一个解，故在(,0)-∞上，|()|2f x x =-同样有且仅有一个解，当42a >，即1
2
a >
时，联立2|4|2x a x +=-，即242x a x +=-，则214(42)0a ∆=--=，解得：916
a =，当142a ≤≤时，即
11
42
a ≤≤，由图象可知，符合条件．综上：11
9
,4216a ⎡⎤⎧⎫
∈⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭
．
故选：C ．
二、多选题
9．已知函数：①tan y x =，②sin y x =，③sin y x =，④cos y x =，其中周期为π，且在π02⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，上单调递增的是（）A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
【正确答案】AC
【分析】根据正切函数的性质可判断①正确；根据图象变换分别得到sin y x =、sin y x =、
cos y x =的图象，观察图象可判断②不正确、③正确、④不正确.
【详解】函数tan y x =的周期为π，且在02π⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调递增，故①正确；
函数sin y x =不是周期函数，故②不正确；
函数sin y x =的周期为π，且在02π⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调递增，故③正确；
函数cos y x =的周期为2π，故④不正确.
故选：AC.
10．已知1
sin cos 5
αα-=，且α为锐角，则下列选项中正确的是（）
A ．12sin cos 25
αα=B ．7sin cos 5
αα+=C ．0,4πα⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
D ．4tan 3
α=
【正确答案】ABD
【分析】根据()2
sin cos 12sin cos αααα±=±，并结合α为锐角求解即可.【详解】解：因为1
sin cos 5αα-=
，所以242sin cos 25
αα=，即12sin cos 25αα=所以()2
49
sin cos 12sin cos 25
αααα+=+=，因为α为锐角，所以7sin cos 5
αα+=，所以43sin ,cos 55αα==，所以4
tan 13
α=
>，所以,42⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
ππα故选：ABD
11．设函数()ln ,0,cos ,30,2x x f x x
x π>⎧⎪
=⎨-≤≤⎪⎩
则（）
A ．()f x 的定义域为[)3,∞-+
B ．()f x 的值域为[)1,-+∞
C ．()f x 的单调递增区间为[)2,-+∞
D ．()12f x =
的解集为23⎧-⎨⎩【正确答案】AD
【分析】A.根据函数的解析式判断；B.分0x >，30x -≤≤，利用对数函数和余弦函数的性质求解判断；C.利用函数的图象判断；D.分0x >，30x -≤≤，令1
()2
f x =求解判断.【详解】因为函数ln ,0
()πcos ,302x x f x x
x >⎧⎪
=⎨-≤≤⎪⎩
，所以()f x 的定义域为[30](0)[3,)∞-⋃+=-+∞，
，，故A 正确；当0x >时，()(),f x ∈-∞+∞，当30x -≤≤时，[]()1,1f x ∈-，所以()f x 的值域为[11]
()()-⋃-∞+∞=-∞+∞，，，，故B 错误；
如图所示：
当0x >时，()f x 的单调递增区间为(0)+∞，
，当30x -≤≤时，()f x 的单调递增区间为[20]-，，但在[2)∞-+，
上不单调，故C 错误；当0x >时，1
()ln 2
f x x ==
，解得x =当30x -≤≤时，π1()cos 22x f x ==，解得2
3
x =-，D 正确.故选：AD ．
12．存在实数a 使得函数2()223x x f x ma a -=+-+-有唯一零点，则实数m 可以取值为（）
A ．1
4
-
B ．0
C ．
14
D ．1
2
【正确答案】ABC
【分析】把问题转化为22x x y -=+与23y ma a =-+有唯一交点，利用换元法求22x x y -=+的最小值，再转化为关于a 的二次函数有根，利用判别式大于等于0求得实数m 的取值范围．【详解】函数2()223x x f x ma a -=+-+-有唯一零点，即方程22230x x ma a -+-+-=有唯一根，也就是22x x y -=+与23y ma a =-+有唯一交点，
令2x t =，则112222x x x
x y t t
-=+=+
=+，由“对勾函数”的单调性可知，当1t =，即0x =时，y 有最小值2，可得232ma a -+=，即210ma a -+=，当0m =时，1a =符合题意，当0m ≠时，
则2(1)40m ∆=--，解得1
4
m
且0m ≠．综上，实数m 的取值范围是(-∞，1]4
．故选：ABC
三、填空题
13．化简：22(1tan )cos αα+=_____.【正确答案】1
【详解】(
)
222
2
22
cos sin 1tan cos cos 1cos αα
αααα
++=⋅=，故答案为1.14．已知cos 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13，0<α<2π，则sin 4a π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭＝________.
【详解】由已知
4π<α＋4π<34π，∴sin 4a π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭>0，
∴sin 4a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝3
.
15．若
42log (34)log a b +=a b +的最小值为_____.
【正确答案】7+
【详解】试题分析：由42log (34)log a b +=34ab a b =+，即304
a
b a =
>-，所以4a >，312
4777
44
a a
b a a a a +=+
=-++≥+=+--4a =+时取等号，所
以a b +的最小值为7+1．对数的性质；2．基本不等式．
【名师点睛】本题考查对数的性质、基本不等式，属中档题；利用基本不等式求最值时，首先是要注意基本不等式的使用条件，“一正、二定、三相等”；其次在运用基本不等式时，要特别注意适当“拆”、“拼”、“凑”．
16．已知函数π()24f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，把()f x 的图象向左平移π3
个单位长度，纵坐标不变，可
得到()g x 的图象，若()()()122120g x g x x x ⋅=>>，则12x x +的最小值为____________．【正确答案】
13π
12
【分析】根据函数图象的平移可得π5π()2312g x f x x ⎛⎫⎛
⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，进而根据()g x 的有界
性可知()()122g x g x ==，根据最值点即可由三角函数的性质求解.
【详解】有题意得π5π()2312g x f x x ⎛⎫⎛
⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，由于对任意的x ∈R ，()g x ,
故根据()()()122120g x g x x x ⋅=>>得()()12g x g x ==()()12g x g x ==
若()()12g x g x ==，因此12ππ
2ππ,,N,5π5π22
1212x k x m k m +2，2=+2+=∈+且m k >,因此12122ππN ,πN 5π5ππ
121212
x x n n x x n n 2+2，，+**+
++=∈+=∈，故当1n =时，12x x +取最小值，且最小值为13π
12
，
若()()12g x g x ==123π3π
2π5π5π12π,,N,212
2x k x m k m ++=∈+2，2=+2且m k >,因此121223ππN 5π5π13π
1212,πN 12
x x n n x x n n **+
+=∈+=∈+2+2，，+，故当1n =时，12x x +取最小值，且最小值为25π
12
，故12x x +取最小值，且最小值为13π
12
，故
13π12
四、解答题
17．已知集合{}2|560A x x x =--<，集合{}2
|6510B x x x =-+≥，集合
()(){}|90C x x m x m =---<.
（1）求A B ⋂；
（2）若A C C = ，求实数m 的取值范围.
【正确答案】（1）1|13A B x x ⎧⋂=-<≤⎨⎩或162x ⎫
≤<⎬⎭
；（2）31m -≤≤-.
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合A 、B ，即可求出A B ⋂；（2）由A C C = ，可知A C ⊆，得到不等式组，解得.
【详解】解：（1）{}2
|560A x x x =--< ，{}2|6510B x x x =-+≥，
()(){}
|90C x x m x m =---<{|16}A x x ∴=-<<，1|3B x x ⎧
=≤⎨⎩
或12x ⎫≥⎬⎭，{|9}
C x m x m =<<+1|13A B x x ⎧∴⋂=-<≤⎨⎩或162x ⎫
≤<⎬⎭；
（2）由A C C = ，得A C ⊆，96
1m m +≥⎧∴⎨≤-⎩
解得31m -≤≤-.
本题考查集合的运算，集合与集合之间的关系，属于基础题.
18．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，角
α的终边经过点(,3)A a ，4
cos 5
α=-.
(1)求a 和tan α的值；
(2)求sin()2sin()
233sin()sin()
2π
ααπ
απα-++++-的值.
【正确答案】(1)4a =-，3
tan 4
α=-；
(2)1115
-
.【分析】（1）根据三角函数的定义求出a ，进而求出tan α；
（2）先通过诱导公式对原式化简，进而进行弦化切，然后结合（1）求出答案.
【详解】（1
）由题意得：4cos 5α==-，解得4a =-，所以3tan 4α=-.（2）原式32sin 2cos tan 211433cos sin 3tan 1534
αααααα+-+-+====--+-+--.19．已知函数()2sin(2)6
f x x π=+．(1)求()f x 的最小正周期和对称轴；
(2)求()f x 在ππ[,]64-上的最大值和最小值．
【正确答案】(1)最小正周期为π，对称轴ππZ 62
k x k =
+∈，(2)最小值为1-，最大值为2【分析】(1)根据周期公式和对称轴公式求解；(2)整体代换，讨论π26x +
的取值范围即可求解最值.
【详解】（1）()f x 的最小正周期为2ππT ω=
=，令ππ2π,Z 62x k k +=+∈，可得ππZ 62
k x k =+∈，即为对称轴.（2）ππππ2π1π,,2,sin(2)16466326x x x ⎡⎤∈-∴-≤+≤∴-≤+≤⎢⎥⎣⎦
,π12sin(2)26
x ∴-≤+≤，所以当ππ266x +
=-，即π6x =-时()f x 的最小值为1-，当π
π262x +=，即π6x =
时()f x 的最大值为2.20．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的剩余污染物数量()/P mg L 与过滤开始后的时间t （小时）的关系为0kt P P e -=.其中0P 为过滤开始时废气的污染物数量，k 为常数.如果过滤开始后经过5个小时消除了10%的污染物，试求：
（1）过滤开始后经过10个小时还剩百分之几的污染物？
（2）求污染物减少50%所需要的时间.（计算结果参考数据：ln 20.7=，ln 3 1.1=，ln 5 1.6=）
【正确答案】（1）81%；（2）35个小时
【分析】（1）由当5t =时，()0110%P P =-，可得()500110%k P P e --=，从而可求出参数
1ln 0.95
k =-，进而可知，当10t =时，081%P P =；（2）当050%P P =时，可求出
ln 0.5ln 25351ln 2ln52ln 3ln 0.95t ==⋅+-.【详解】解：（1）由0kt P P e -=可知，当0=t 时，0P P =；当5t =时，()0110%P P
=-.于是有()500110%k P P e --=，解得1ln 0.95
k =-，那么1ln 0.950P P e ⎛⎫
⎪⎝⎭=，所以，当10t =时，1ln 0.910ln 0.81500081%P P e P e P ⎛⎫⨯
⎪⎝⎭===，
∴过滤开始后经过10个小时还剩81%的污染物.
（2）当050%P P =时，有1ln 0.950050%t P P e ⎛⎫
⎪⎝⎭=.解得15ln
ln 0.5ln 2ln 22553519ln 9ln10ln 2ln 52ln 3ln 0.9ln 510t -===⋅=⋅=-+-∴污染物减少50%所需要的时间为35个小时.
本题考查了函数模型的应用，考查了指数方程的求解，考查了对数的运算性质.由已知条件求出参数k 的值是本题的关键.本题的易错点是误把()/P mg L 当成了已消除的污染的数量.
21．已知函数()2233()log log 3f x x a x =--，x ∈[13
，9].(1)当a =0时，求函数f (x )的值域；
(2)若函数f (x )的最小值为-6，求实数a 的值.
【正确答案】(1)[]
3,1-(2)2-
【分析】（1）由题意可得()2
3()log 3f x x =-，结合定义域，逐步可得函数的值域；
（2）利用换元法转化为二次函数的值域问题，分类讨论即可得到结果.
【详解】（1）当a =0时，()23()log 3f x x =-，x ∈[13，9].∴[]3log 1,2x ∈-，()[]2
3log 0,4x ∈，∴()[]2
3()log 33,1f x x =-∈-，
∴函数f (x )的值域为[]3,1-；
（2）令[]3log 1,2t x =∈-，
即函数[]2()23,1,2g t t at t =--∈-的最小值为6-，
函数2()23g t t at =--图象的对称轴为t a =，
当1a ≤-时，()min ()1226g t g a =-=-=-，
解得2a =-；
当1a 2-<<时，()2min ()36g t g a a ==--=-，
解得a =当2a ≥时，()min ()2146g t g a ==-=-，解得74
a =（舍）；综上，实数a 的值为2-
22．已知定义域为R 的函数()22
x x b n f x b +=--是奇函数，且指数函数x y b =的图象过点(2,4)．（Ⅰ）求()f x 的表达式；
（Ⅱ）若方程()23()0f x x f a x ++-+=，(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根，求实数a 的取
值集合；
（Ⅲ）若对任意的[1,1]t ∈-，不等式()
22(1)0f t a f at -+-≥恒成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】（Ⅰ）121()22
x x f x +-+=+；（Ⅱ）{}40a a -<<；（Ⅲ）{}0a a ≥.【分析】（Ⅰ）先利用已知条件得到b 的值，再利用奇函数得到()00f =，进而得到n 的值，经检验即可得出结果；（Ⅱ）先利用指数函数的单调性判断()f x 的单调性，再利用奇偶性和单调性得到23x x a x +=-，把23x x a x +=-在(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根转化为()24f x x x a =+-在(4,)x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点，求解即可；（Ⅲ）先利用函数()f x 为R 上的减函数且为奇函数，得到221t a at -≤-，把问题转化为2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立，令()221g t t at a =+--，利用二次函数的图像特点求解即可.
【详解】（Ⅰ）由指数函数x y b =的图象过点(2,4)，
得2b =，
所以2()222
x x n f x +=-⋅-，又()f x 为R 上的奇函数，
所以()00f =，
得1n =-，
经检验，当1n =-时，符合()()f x f x -=-，所以121()22
x x f x +-+=+；（Ⅱ）12111()22221
x x x f x +-+==-+++，因为21x y =+在定义域内单调递增，则121x
y =+在定义域内单调递减，所以()f x 在定义域内单调递增减，
由于()f x 为R 上的奇函数，
所以由()23()0f x x f a x ++-+=，
可得()()23()f x x f a x f a x +=--+=-，
则23x x a x +=-在(4,)x ∈-+∞恰有2个互异的实数根，
即()24f x x x a =+-在(4,)x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点，
则()()4000440204f a a a f a ⎧-><⎧⎪⎪∆>⇒>-⇒-<<⎨⎨⎪⎪-<>-⎩⎩
，所以实数a 的取值集合为{}40a a -<<.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知函数()f x 为R 上的减函数且为奇函数，
由()
22(1)0f t a f at -+-≥，
得()()221f t a f at -≥-，所以221t a at -≤-，
即2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立，
令()221g t t at a =+--，
由题意()()1010g g ⎧-≤⎪⎨≤⎪⎩
，得0a ≥，
所以实数a 的取值范围为.{}
0a a ≥关键点睛：利用函数的奇偶性求解析式，（Ⅱ）把问题转化为()24f x x x a =+-在(4,)
x ∈-+∞恰与x 轴有两个交点的问题；（Ⅲ）把问题转化为2210t at a +--≤对任意的[1,1]t ∈-恒成立是解决本题的关键.。