2021高考数学浙江专用一轮习题：专题2 第8练 二次函数与幂函数

1．已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭
⎫2，22，则f (4)的值为( ) A.12B.116
C ．16
D ．2 2．已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝c x 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c <b <a
B ．a <b <c
C ．c <a <b
D ．a <c <b
3．已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1,3]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )
A.94B ．2C.34D.14
4．(2020·台州市书生中学月考)二次函数y ＝x 2－2x －3在x ∈[－2,0]上的最小值为( )
A ．0
B ．－3
C ．－4
D ．－5
5．函数f (x )＝x 2－2x ＋3在区间[0，a ]上的最大值为3，最小值为2，则实数a 的取值范围为( )
A ．(－∞，2]
B ．[0,2]
C ．[1，＋∞)
D ．[1,2]
6．若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则a 的取值集合为( )
A ．[－3,3]
B ．[－1,3]
C ．{－3,3}
D ．{－1，－3,3}
7．(2019·湖州质检)函数f (x )满足f (x ＋2)＝3f (x )，且x ∈R ，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2－2x ＋2，则x ∈[－4，－2]时，f (x )的最小值为( )
A.19
B.13C ．－13D ．－19
8．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：“已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过(1,0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x ＝2对称”，根据已知信息，题中二次函数图象不具有的性质是( )
A ．在x 轴上的截线段长是2
B ．与y 轴交于点(0,3)
C ．顶点(2，－2)
D ．过点(3,0)
9．幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象关于y 轴对称，则实数m ＝________.
10．二次函数f (x )满足f (2－x )＝f (2＋x )，又f (2)＝1，f (1)＝2，则f (x )＝________，若y ＝f (x )在[－1，t ]上的值域为[1,10]，则实数t 的取值范围是__________．
11．已知幂函数g (x )＝(2a －1)x a
＋1的图象过函数f (x )＝m x －b －12
(m >0，且m ≠1)的图象所经过的定点，则b 的值等于( )
A ．±12
B ．±22
C ．2
D ．±2 12．已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ∈R ，c ∈R )，M ，N 分别是函数f (x )在区间[－1,1]上的最大值和最小值，则M －N 的最小值为( )
A ．2
B ．1C.12D.14
13．若存在实数x ∈[0,4]，使m >x 2－2x ＋5成立，则m 的取值范围为( )
A ．(13，＋∞)
B ．(5，＋∞)
C ．(4，＋∞)
D ．(5,13)
14．(2019·宁波市余姚中学期末)函数f (x )＝x (|x |－1)在[m ，n ]上的最小值为－14
，最大值为2，则n －m 的最大值为( )
A.52
B.52＋22
C.32 D ．2
15．已知f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在[1,5]上的最大值为f (1)，则a 的取值范围是________．
16．已知函数f (x )＝x 2＋bx ，若函数y ＝f (f (x ))的最小值与函数y ＝f (x )的最小值相等，则实数b 的取值范围是__________．
答案精析 1．A 2.A 3.A 4.B 5.D 6.C 7.A
8．C 9.2 10.(x －2)2＋1 [2,5] 11.B
12．B 13.C
14．B [当x ≥0时，f (x )＝x (|x |－1)＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14≥－14
， 当x <0时，f (x )＝x (|x |－1)＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14
， 作出函数f (x )的图象如图所示．
当x ≥0时，由f (x )＝x 2－x ＝2，
解得x ＝2.
当x ＝12时，f ⎝⎛⎭⎫12＝－14
. 当x <0时，由f (x )＝－x 2－x ＝－14
. 即4x 2＋4x －1＝0，
解得x ＝－4±42＋4×42×4
＝－4±328＝－4±428＝－1±22， ∴x ＝－1－22
， ∵f (x )在[m ，n ]上的最小值为－14
，最大值为2， ∴n ＝2，－1－22≤m ≤12
， ∴n －m 的最大值为2－－1－22＝52＋22
.] 15．(－∞，－2]
解析 f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2＝(x ＋a －1)2＋2－(a －1)2，函数的图象是对称轴为x ＝1－a ，开
口向上的抛物线．
当1≤1－a <3，即－2<a ≤0时，当x ＝5时取得最大值f (5)，不符合题意；
当3≤1－a ≤5，即－4≤a ≤－2时，当x ＝1时取得最大值f (1)，符合题意；
当1－a <1，即a >0时，函数f (x )在[1,5]上为增函数，当x ＝5时取得最大值f (5)，不符合题意； 当1－a >5，即a <－4时，函数f (x )在[1,5]上为减函数，当x ＝1时取得最大值f (1)，符合题意． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，－2]．
16．(－∞，0]∪[2，＋∞)
解析 由已知可得f (x )＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24， 所以当x ＝－b 2时，f (x )取得最小值，且f (x )min ＝－b 24
. 令t ＝x 2＋bx ，
则f (t )＝t 2＋bt ＝⎝⎛⎭⎫t ＋b 22－b 24，t ≥－b 24. 要使函数y ＝f (f (x ))的最小值与函数y ＝f (x )的最小值相等，
只需满足－b 24≤－b 2
， 解得b ≤0或b ≥2.
所以实数b 的取值范围是(－∞，0]∪[2，＋∞)．
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