湖南高一高中数学月考试卷带答案解析

湖南高一高中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.已知，集合，则＝（）
A．B．C．D．
2.有4个命题：
1）三点确定一个平面；
2）梯形一定是平面图形；
3）平行于同一条直线的两直线平行；
4）垂直于同一直线的两直线互相平行．
其中正确命题的个数为（）
A．0B．1C．2D．3
3.函数的图象是（）
4.已知直线与直线互相垂直，平行于平面，则直线与平面的位置关系是（）
A．B．C．与相交D．以上都有可能
5.在正方体中，异面直线与所成的角是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
6.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列4个命题：
①若，则
②若，则
③若，则
④若，则
其中真命题的序号为（）
A．①②B．②③C．③④D．①④
7.若函数，则函数的定义域为（）
A．B．C．D．
8.设是定义在上的奇函数，当时，，则（）
A．B．2C．-D．以上都不是
9.定义在上的偶函数，对任意，有，则（）
A．
B．
C．
D．
10.一长方体的长，宽，高分别为，则该长方体的外接球的体积是（）
A．B．C．D．
11.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）
A．B．C．D．
12.已知两条直线和，与函数的图像从左至右相交于点，与函数
的图像从左至右相交于．记线段和在轴上的投影长度分别为，当变化时，的最小值为（）
A．32B．C． 64D．
二、填空题
1.函数的值域是______．
2.一个圆锥的底面半径是4，侧面展开图为四分之一圆面，一小虫从圆锥底面圆周上一点出发绕圆锥表面一周回到原处，其最小距离为．
3.函数的零点个数是________．
4.如图，圆所在的平面，是圆的直径，是圆上的一点，分别是点在上的射影，给出下列结论：
①；②；③；④；
其中正确命题的序号是．
三、解答题
1.（1）
（2）
2.如图为一个几何体的三视图
（1）画出该几何体的直观图．
（2）求该几何体的的体积．
（3）求该几何体的的表面积．
3.如图，在正方体
中．
（Ⅰ）如图（1）求与平面所成的角
（Ⅱ）如图（2）求证：平面
4.是定义在上的偶函数，当时，；当时，（Ⅰ）当时，求满足方程的的值
（Ⅱ）求在上的值域．
5.已知定义域为的函数是奇函数
（1）求的值．
（2）判断的单调性，并用定义证明
（3）若存在，使成立，求的取值范围．
6.已知函数，．
（1）求的最小值（用表示）；
（2）关于的方程有解，求实数的取值范围．
湖南高一高中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.已知，集合，则＝（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】先计算出集合，因此
，故选A
【考点】集合的交并补运算；
2.有4个命题：
1）三点确定一个平面；
2）梯形一定是平面图形；
3）平行于同一条直线的两直线平行；
4）垂直于同一直线的两直线互相平行．
其中正确命题的个数为（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】由立体几何公理可知：不共线的三点确定一个平面，故1）错；梯形中有一组对边平行，故梯形是平面图形，2）对；根据平行的传递性可知3）对；垂直于同于条直线的两条直线可能异面也可能平行，4）错；因此只有2个命题正确；
【考点】立体几何的公理；
3.函数的图象是（）
【答案】A
【解析】函数的定义域为，故D错；当时，函数，当
时，函数，故选A；
【考点】对数函数；
4.已知直线与直线互相垂直，平行于平面，则直线与平面的位置关系是（）
A．B．C．与相交D．以上都有可能
【答案】D
【解析】在如图所示正方体中，记平面为平面，直线为直线，若直线为直线，则；若直线为直线，则；若直线为直线，则与相交；故选D；
【考点】直线与平面的位置关系；
5.在正方体中，异面直线与所成的角是（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【解析】如图所示，直线与平行，故为异面直线与所成的角，；
【考点】异面直线所成的角；
6.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列4个命题：
①若，则
②若，则
③若，则
④若，则
其中真命题的序号为（）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】B
【解析】①若，则与可能平行，也可能异面，故①错；②若，则正确；③若，则正确；④若，则与可能平行，可能相交，也可能异面，故④错；
【考点】直线与平面之间的位置关系；
7.若函数，则函数的定义域为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数的定义域即为不等式的解集，，
解得；
【考点】函数的定义域；
8.设是定义在上的奇函数，当时，，则（）
A．B．2C．-D．以上都不是
【答案】C
【解析】由于是定义在上的奇函数，因此；
【考点】函数的奇偶性；
9.定义在上的偶函数，对任意，有，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对任意，有，因此在区间内单调递减，由于
为偶函数，故函数在区间内单调递增，而，故又
【考点】函数的单调性；函数的奇偶性；
10.一长方体的长，宽，高分别为，则该长方体的外接球的体积是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】长方体外接球的半径等于，因此长方体外接球的体积为
；
【考点】球的体积公式；
11.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由于
，根据函数的零点存在定理可知：在区间内有函数的零点；
【考点】函数的零点存在定理；
12.已知两条直线和，与函数的图像从左至右相交于点，与函数
的图像从左至右相交于．记线段和在轴上的投影长度分别为，当变化时，的最
小值为（）
A．32B．C． 64D．
【答案】C
【解析】设各点的横坐标为，则
，因此，因此，
所以，又，当且仅当时，即时取“=”，因此
；
【考点】函数的综合应用；
二、填空题
1.函数的值域是______．
【答案】
【解析】令，则，因此
【考点】函数的值域；
2. 一个圆锥的底面半径是4，侧面展开图为四分之一圆面，一小虫从圆锥底面圆周上一点出发绕圆锥表面一周回到原处，其最小距离为．
【答案】
【解析】由于圆锥的底面半径是4，侧面展开图为四分之一圆面，可得到圆锥的母线长为16，一小虫从圆锥底面圆周上一点出发绕圆锥表面一周回到原处，其最小距离为把圆锥展开后扇形的弦即为；
【考点】圆锥；
3.函数的零点个数是________．
【答案】3
【解析】当时，有一个根，故当时，函数有一个零点，当时，函数的零点个数即为函数与函数的交点个数，两个函数的图象如图所示：
因此当时，函数有两个零点，综上可知函数有三个零点；
【考点】函数的零点．
4.如图，圆所在的平面，是圆的直径，是圆上的一点，分别是点在上的射影，给出下列结论：
①；②；③；④；
其中正确命题的序号是．
【答案】①②③
【解析】①由于，因此，又由于，因此，所以，由于，因此，所以；②因为，，所以，因此有；③在①中已证明；④若，由①知，由此可得出，矛盾，故不成立；
【考点】立体几何中的垂直；
三、解答题
1.（1）
（2）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）先运用对数的运算性质对各个对数进行化简，得到
再进行求值即可；（2）先运用指数的运算性质对各个指数进行化简，得到
再进行求值即可；
试题解析：（1）原式
（2）原式
【考点】指数与对数的运算性质；
2.如图为一个几何体的三视图
（1）画出该几何体的直观图．
（2）求该几何体的的体积．
（3）求该几何体的的表面积．
【答案】（1）直观图见解析；（2）8；（3）；
【解析】（1）根据已知的三视图判断该几何体为三棱锥，画出直观图；（2）由三视图可判断出该三棱锥高为3，底面为直角三角形面积为，代入锥体体积公式求出即可；（3）该三棱锥的四个面均为直角三角形，求处四个面的面积作和即得三棱锥表面积；
试题解析：（1）几何体的直观图为一个三棱椎
（2）
（3）
【考点】三视图与直观图；锥体的体积与表面积；
3.如图，在正方体
中．
（Ⅰ）如图（1）求与平面所成的角
（Ⅱ）如图（2）求证：平面
【答案】（Ⅰ）30°；（Ⅱ）证明见解析
【解析】（Ⅰ）连接交于点，连接，则可证明是与平面所成的角，然后在中求解出该角即可；（Ⅱ）连接交于点，连接，可以证出，根据线面平行的判
定定理可以证出平面；
试题解析：（Ⅰ）在正方体，连接交于点，连接，则，
又，，，又
，是与平面所成的角，在中，，，即与平面所成的角为30°
（Ⅱ）连接交于点，连接，则，又，，平面
平面，平面
【考点】线面角；线面平行；
4.是定义在上的偶函数，当时，；当时，
（Ⅰ）当时，求满足方程的的值
（Ⅱ）求在上的值域．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，；当时，；当时，；
【解析】（Ⅰ）先利用函数是定义在上的偶函数，求出函数当时的解析式，然后代入
，求解该方程；（Ⅱ）分时，时，时三种情况，
分别讨论函数的值域；
试题解析：（Ⅰ）当时，由是偶函数得:
，得即
（Ⅱ）当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为；
当时，函数的值域为；
【考点】函数的奇偶性；函数的值域；
5.已知定义域为的函数是奇函数
（1）求的值．
（2）判断的单调性，并用定义证明
（3）若存在，使成立，求的取值范围．
【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）；
【解析】（1）利用函数为上的奇函数，根据，分别求出的值；（2）由（1）可得出函数的解析式即，然后根据利用定义证明单调性的步骤证明即可；（3）利用函数的奇偶性与单调性化简，进而求得的取值范围；
试题解析：（1）是上的奇函数，，即，，由于
∴，即
经验证符合题意，因此，
（2），因此在上是减函数，证明如下：
任取，且，
，，即，因此在上是减函数
（3），且是上的奇函数，，又由于在上是减函数，，即，设，则，而
【考点】函数的奇偶性与单调性的综合应用；
6.已知函数，．
（1）求的最小值（用表示）；
（2）关于的方程有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）当时，；当时，；当时，
；（2）；
【解析】（1）先化简函数，然后用换元法，令，转化为函数在上的最值问题，然后分类讨论得出即可；（2）方程有解，即方程在区间上有解，则，求出在的值域即得的取值范围；试题解析：（1）
令在上单调递增，，此时
当时，；
当时，；
当时，
（2）方程有解，即方程在区间上有解，而，，可证明在上单调递减，在上单调递增，，而为奇函数，因此当时，，因此的取值范围是
【考点】函数性质的综合应用；。