高考数学 专题05 函数的周期性和对称性黄金解题模板-人教版高三全册数学试题

专题05 函数的周期性和对称性
【高考地位】
函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。

在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。

因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。

【方法点评】
一、函数的周期性的判定及应用
使用情景：几类特殊函数类型
解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 熟记常见结论，准确求出函数的周期性；
（1）若函数)(x f 满足)()(a x f a x f -=+，则函数)(x f 的周期为a 2；
（2）若函数)(x f 满足)()(x f a x f -=+或)(1)(x f a x f =
+或)
(1
)(x f a x f -=+， 则函数)(x f 的周期为a 2；
第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例 1 函数
定义域为
，且对任意
，都有
，若在区间
上
则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【变式演练1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B
考点：函数周期性质
【变式演练2】定义域为R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x -+=+，且()11f -=，则()2017f =（ ）
A. 2
B. 1
C. -1
D. -2 【答案】C 【
解
析
】
()()11f x f x -+=+()()()24
f x f x f x T ⇒=-=--⇒= ,因此
()2017f =()()111f f =--=- ，选C.
考点：函数的周期性.
【变式演练3】定义在R 上的偶函数()y f x =满足(2)()f x f x +=-，且在[2,0]x ∈-上为增函数，
3()2a f =，7
()2b f =，12
(log 8)c f =，则下列不等式成立的是（ ）
A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．b a c >>
D ．c a b >> 【答案】B 【解析】
试题分析：因为定义在R 上的偶函数()y f x =在[2,0]x ∈-上为增函数，所以在[0,2]x ∈上单调递减，又
(4)()f x f x +=，所以()()12
71(),(log 8)3122b f f c f f f ⎛⎫
====-= ⎪⎝⎭，又13122<<，所以b c a >>．
考点：1．偶函数的性质；2．函数的周期性．
二、函数的对称性问题
使用情景：几类特殊函数类型
解题模板：记住常见的几种对称结论：
第一类 函数)(x f 满足()()f x a f b x +=-时，函数()y f x =的图像关于直线2
a b
x +=
对称；
第二类 函数)(x f 满足()()c f x a f b x ++-=时，函数()y f x =的图像关于点(
,)22
a b c
+对称；
第三类 函数()y f x a =+的图像与函数()y f b x =-的图像关于直线2
b a
x -=
对称. 例2 ．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ) A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B
例 3 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04⎛⎫
-
⎪⎝⎭对称, 且满足()32f x f x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
,又
()()11,02f f -==-,则()()()()123...2008f f f f ++++=（ ）
A ．669
B ．670
C ．2008
D ．1 【答案】D 【解析】
试题分析：由()32f x f x ⎛⎫
=-+
⎪⎝⎭
得()()3f x f x =+，又()()11,02f f -==-， (1)(13)(2)f f f ∴-=-+=，(0)(3)f f =，()f x 的图象关于点3,04⎛⎫
- ⎪⎝⎭
对称，所以
()113
1()()(1),(1)(2)(3)0222
f f f f f f f -=--=-+=∴++=，由()()3f x f x =+可得
()()()()()()()123...2008669(123)(1)(1)(1)1f f f f f f f f f f ++++=⨯+++==-=，故选D.
考点：函数的周期性；函数的对称性．
例 4 已知()21y f x =-为奇函数，()y f x =与()y g x =图像关于y x =对称，若120x x +=，则
()()12g x g x +=（）
A. 2
B. -2
C. 1
D. -1 【答案】B
【变式演练4】定义在R 上的奇函数)(x f ，对于R x ∈∀，都有)4
3()43
(x f x f -=+，且满足2)4(->f ，
m
m f 3
)2(-
=，则实数m 的取值X 围是. 【答案】1-<m 或30<<m 【解析】
试题分析：由33()()44f x f x +=-，因此函数()f x 图象关于直线3
4
x =对称，又()f x 是奇函数，因此它也是周期函数，且3
434
T =⨯=，∵(4)2f >-，∴(4)(4)2f f -=-<，∴(2)(232)(4)f f f =-⨯=-，即3
2m m
-
<，解得103x x <-<<或. 考点：函数的奇偶性、周期性. 【高考再现】
1. 【2016高考新课标2理数】已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1
x y x
+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则
1
()m
i
i
i x y =+=∑（ ）
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C
2. 【2016高考某某理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3
()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，
()()f x f x -=-；当12x >
时，11
()()22
f x f x +=- .则f (6)= （ ） （A ）−2（B ）−1（C ）0（D ）2 【答案】D
考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数.
【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.
3. 【2017某某文】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (x +4)=f (x -2).若当[3,0]x ∈- 时,()6x f x -=,则f (919)= . 【答案】6
4.【2016年高考某某理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4x
f x =，则5()(1)2
f f -+=. 【答案】-2 【解析】
考点：函数的奇偶性和周期性.
【名师点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把5()2
f -和(1)f ，利用奇偶性与周期性化为(0,1)上的函数值即可．
5. 【2016年高考某某理数】在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为
'2222
(
,)y x
P x y x y
-++； 当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成的曲线'
C 定义为曲线C 的“伴随曲线”.现有下列命题：
①若点A 的“伴随点”是点'A ，则点'A 的“伴随点”是点A ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”'
C 关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线.
其中的真命题是_____________（写出所有真命题的序列）. 【答案】②③ 【解析】
考点：对新定义的理解、函数的对称性.
【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决．
6. 【2016高考某某卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上，
,10,
()2
,01,
5x a x f x x x +-≤<⎧⎪
=⎨-≤<⎪⎩
其中.a ∈R 若59()()22f f -=，则(5)f a 的值是. 【答案】25
-
【解析】5
1911123()()()()22222255
f f f f a a -=-==⇒-+=
-⇒=， 因此32
(5)(3)(1)(1)155
f a f f f ===-=-+=-
考点：分段函数，周期性质
【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.
【反馈练习】
1. 【2018届某某省惠东县惠东高级中学高三适应性考试数学（文）试题】已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则
A. y =()f x 的图像关于点（1,0）对称
B. ()f x 在（0,2）单调递减
C. y =()f x 的图像关于直线x =1对称
D. ()f x 在（0,2）单调递增 【答案】C
2. 【2017届某某市巴蜀中学高三下学期期中（三模）考试数学（文）试题】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()22f x f x -=+，且当[]
2,0x ∈-时，()31x
f x =-，则()9f =（ ）
A. -2
B. 2
C. 23-
D. 23
【答案】D
【解析】由()()22f x f x -=+得函数是周期为4的周期函数，且为奇函数，故
()()()()
12
911313
f f f -==--=--=
. 3. 【2018届某某省中原名校（即豫南九校）高三上学期第二次质量考评数学（文）试题】定义在上的奇函数，满足，当，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】∵
，∴f （x ）的图象关于直线x =1对称，又f （x ）是奇函数，∴f （x ）=f （2-x ）
=-f （x-2），∴f （x+4）=-f （x+2）=f （x ），∴f （x ）的周期为4．
,
故选C
4. 【2018届某某省永州市高三上学期第一次模拟考试数学（文）试题】定义在上的偶函数满足
，当时，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
5. 【某某省某某市普通高中2018届高三一模考试卷（文科）数学试题】已知定义在上的奇函数满足
，当时，，则函数在区间上所有零点之和为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,
作图如下：，四个交点分别关于对称，所以零点之和为，选D.
点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数X围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶
性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
6. 【2018届某某省庄河市高级中学、某某市第二十中学高三上学期第一次联考数学（理）试题】设是定义在上的奇函数，且其图象关于对称，当
时，
，则
的
值为（ ）
A. -1,
B. 0
C. 1
D. 不能确定 【答案】C
7．【2018届某某省某某市第一中学毕业年级第二模拟考试理科数学试题】已知函数()y f x =的周期为2，当[]
0,2x ∈时，()()2
1f x x =-，如果()()5log 1g x f x x =--，则函数()y g x =的所有零点之和为（） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D
8．【2017届某某省某某市高三下学期第二次统测数学（文）试题】定义“函数()y f x =是D 上的a 级类周期函数” 如下: 函数(),D y f x x =∈，对于给定的非零常数 a ，总存在非零常数T ，使得定义域D 内的任意实数x 都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的周期. 若()y f x =是[
)1,+∞上的a 级类周期函数，且1T =，当[)1,2x ∈时，()21f x x =+,且()y f x =是[
)1,+∞上的单调递增函数，则实数a 的取值X 围为（ ）
A. 5
,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B. [
)2,+∞ C. 5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
D. [
)10,+∞ 【答案】C
9．【2018届某某省某某市第一中学高三上学期第三次考试数学（理）试题】定义在上的奇函数
满足
，则
__________．
【答案】-2
【解析】∵函数f （x ）满足f （-x ）=，
故函数f （x ）为周期为3的周期函数， ∵f（2014）=2， ∴f（1）=2，
又∵函数f （x ）为定义在R 上的奇函数， ∴f（﹣1）=﹣f （1）=﹣2， 故答案为：﹣2．
点睛:根据函数奇偶性的性质结合条件判断函数的周期性进行求解即可.
10．【2018届某某省某某市第二中学高三7月月考数学（文）试题】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x R ∈，满足
()()10f x f x ++=，且当01x <<时，()13x f x +=，则
()()3log 184f f +=__________．
【答案】6
【解析】∵f (x )是定义在R 上的奇函数,对任意的x ∈R ,满足f (x +1)+f (x )=0， ∴f (x +1)=−f (x )， 则f (x +2)=−f (x +1)=f (x )，
则函数f (x )是周期为2的周期函数，据此可得：
()()()()()()()()3log 2133333log 18log 18log 9log 236,44400,log 184 6.
f f f f f f f f +=-====-==∴+=
11．【2018届某某省某某市第一中学高三上学期第三次考试数学（文）试题】若函数
满足
，且
在
上单调递增，则实数的最小值等于__________．
【答案】1
12. 【2017届某某省某某大学附属中学高三第八次模拟考试数学（理）试题】已知函数
()()()
22
sin 122x
f x x x x π=
+-+,x R ∈. （Ⅰ）请判断方程()0f x =在区间[]
2017,2017-上的根的个数，并说明理由；
（Ⅱ）判断()f x 的图像是否具有对称轴，如果有请写出一个对称轴方程，若不具有对称性，请说明理由；
（Ⅲ）求证：22122215sin 2
n
i i f i π=-⎛⎫
⎪⎝⎭<-∑． 【答案】（1）4035;;（2）见解析．（3）见解析． 【解析】试题分析：
（Ⅱ） ()f x 具有对称性，猜想()f x 的对称轴是12
x =， 下面进行验证：
()()()()
()22sin 1111x f x f x x x ππ--=
=⎡⎤-++⎣⎦
猜想成立。

所以()f x 存在对称轴1
2
x =
. (3) ()()()2221122212123sin 11244
n f n n n n π-⎛⎫ ⎪⎝⎭=≥-⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
()()22111•2223211144n n n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥--++⎢⎥⎣⎦()()22111223211144n n ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥≤-⎢⎥
--++⎢⎥⎣⎦
所以()()22221144444
4
22125131329234214sin 2
n
i i f i n n π=-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭ ⎪<-+-++-- ⎪-+-+⎝⎭∑()222255
214n =-<-+。