泛函分析课后习题答案

tB
明必有 U ( f , ) A 。设 g U ( f , ) ，则若 t B ，必有 f (t ) g (t ) ，于 是 | g (t ) | f (t ) g (t ) | f (t ) | | f (t0 ) a ，所以 g A 这样就证明了 A 是 开集
f n (t ) f ( r ) (t ) 1 1 r max r0 . r ( r ) ( r ) a t b 2r0 2 1 f n (t ) f (t ) r ro 1 2 r 0 2 (r )
即
d ( f , f n ) ——>0 (n ) 。证毕




2r0
, r 0,1,2, r0 ，取 N=max{ N1 N N }，当 n>N 时，
(r )
f n (t ) f ( r ) (t ) 1 d ( f , f n ) r max (r ) a t b 1 f n (t ) f ( r ) (t ) r 0 2

___ ___ ___
1பைடு நூலகம்n
d ( x, y ) 1 d ( x, y )
t 在 [o, ) 上是单增函数， 1 t
___ d ( x, y ) d ( x, z ) d ( y , z ) d ( x, y ) 1 d ( x, y ) 1 d ( x, z ) d ( y , z )
6 设 B [a, b] ，证明度量空间 C[a, b] 中的集{f|当 t B 时 f（t）=0}
C[a, b] 中的闭集，而集
A={f|当 t B 时，|f（t）|〈a } （a 0）为开集的充要条件是 B 为闭集 证明 记 E={f|当 t B 时 f（t）=0}。设 { f n } E ， { f n } 按 C[a, b] 中 度量收敛于 f，即在[a，b]上 f n (t ) 一致收敛于 f（t） 。设 t B ，则
t B ，有 f n (t ) a 矛盾
因此必有 t0 B 证毕 7 设 E 及 F 是度量空间中的两个集，如果 d ( E , F ) o ，证明必有不相 交开集 O 及 G 分别包含 E 及 F 证明 设 d ( E , F ) o 。令 o {x | d ( x, E ) }, G {x | d ( x, F ) }
(r ) (r )
(n )
f n (t ) f ( r ) (t ) 1 因此对每个 r， r max ——>0 (r ) a t b 1 f n (t ) f ( r ) (t ) r 0 2 max f n (t ) f ( r ) (t ) ——>0
5，证明点列{ f n }按习题 2 中距离收敛与 f C [a, b] 的充要条件为 f n 的 各阶导数在 [a，b]上一致收敛于 f 的各阶导数 证明 若{ f n }按习题 2 中距离收敛与 f C [a, b] ，即
f n (t ) f ( r ) (t ) 1 d ( f , f n ) r max ——>0 (r ) a t b 1 f n (t ) f ( r ) (t ) r 0 2
f (t ) lim f n (t ) 0 ，所以 f E，这就证明了 E 为闭集
n
下面证明第二部分 充分性。当 B 是闭集时，设 f A。因 f 在 B 上连续而 B 是有 界闭集，必有 t0 B ，使 f (t0 ) max f (t ) 。设 a f (t0 ) 0 。我们证
2 2


则 E O, F G, 且 O G ，事实上，若 O G ，则有
z O G ) ，F 中点 y 使 d ( y, z 〈 ) ， ，所以存在 E 中的点 x 使 d ( x, z〈 2 2


于是 d ( x, y ) d ( x, z ) d ( y, z〈 ) ，此与 d ( x, y ) d（E，F） 矛盾。证毕 8 设 B[a，b]表示[a，b]上实有界函数全体，对 B[a，b]中任意 两元素 f，g B[a，b]，规定距离为 d ( f , g ) sup | f (t ) g (t ) | 。

f ( r ) (t ) g ( r ) (t ) h ( r ) (t ) g ( r ) (t ) 1 max r a t b 1 f ( r ) (t ) g ( r ) (t ) 1 h ( r ) (t ) g ( r ) (t ) r 0 2

f ( r ) (t ) g ( r ) (t ) h ( r ) (t ) g ( r ) (t ) 1 1 r max r max a t b 1 f ( r ) (t ) g ( r ) (t ) a t b 1 h ( r ) (t ) g ( r ) (t ) r 0 2 r 0 2
a t b
证明 B[a，b]不是可分空间 证明 对任意 t0 [a，b]，定义 f t (t ) 1, t [a, t0 )2, t [to , b)}
0
则 f t (t ) B[a，b]，且若 t1 t 2 ， d ( f t , f t ) 1
0 1 2
倘若 B[a，b]是
1 ) 中必有 2n 1 1 1 某 U ( xk , ) ，且 U ( xk , ) Ox 。 。事实上，若 y U ( xk , ) ，则 2n 2n 2n 1 1 1 1 d ( y , x ) d ( y , xk ) d ( xk , x ) 所以 y U ( xk , ) Ox 。 2n 2n n 2n 1 这样我们就证明了对任意 x X ，存在 k，n 使 x U ( xk , ) 且 2n 1 1 存在 U ( xk , ) O 任取覆盖 U ( xk , ) 的 O，记为 Ok ,n 是 2n 2n
(r ) a t b (r )
(n ) ，这样
(n ) ，即 f n (t ) 在 [a，b] 上一致收
敛于 f ( r ) (t ) 。
反之，若的 f n （t）各阶导数在[a，b]上一致收敛于 f（t） ，则任意
o ，存在 r0 ，使
1 (r ) ；存在 N r ，使当 n N r 时，max f n (t ) f ( r ) (t ) r 2 r ro 1 2
=d（f，g）+d（g，h） 因此 C [a, b] 按 d ( f , g ) 成度量空间。 3． 设 B 是度量空间 X 中的闭集， 证明必有一列开集 o1 , o2 on 包含 B，而且 on B 。
n 1
证明 令 on Bon {d ( x, B) }, n 1,2.on 是开集：设 x0 on ，则存在
必要性，设 A 是开集，要证明 B 是闭集，只要证明对任意
t n B, n 1,2..... 若 t n t0 (n ) ，必有 t0 B
倘若
t0 B ，则定义 f o (t ) a | t t0 | 。于是对任意 t B ， f o (t ) a | t t0 | a
___
因此 f o (t ) A 由于 A 是开集，必有 0 ，当 f C[a，b]且 d ( f , f 0 ) 时， f A 定义，n=1，2。 。 。 。 。则 d ( f n , f 0 ) | t n t0 | 0(n ) 因此当 | t n t0 | 时， f n A 。 但是 f n (t n ) a | t t0 | | t n t0 | a ，此与 f n A 的必要条件：对 任意
因此当 X 多于两点时， U ( x0 ,1) 的闭包不等于 S ( x0 ,1) 。 2 设 C [a, b] 是区间 [a, b] 上无限次可微函数的全体，定义
f ( r ) (t ) g ( r ) (t ) 1 d ( f , g ) r max a t b 1 f ( r ) (t ) g ( r ) (t ) r 0 2
第七章 习题解答
1．设（X，d）为一度量空间，令
U ( x0 , ) {x | x X , d ( x, x0 ) }, S ( x0 , ) {x | x X , d ( x, x0 ) }
问 U ( x0 , ) 的闭包是否等于 S ( x0 , ) ？ 解 不一定。例如离散空间（X，d） 。 U ( x0 ,1) ={ x0 }，而 S ( x0 ,1) =X。
d ( x, z ) d ( y, z ) 1 d ( x, z ) d ( y , z ) 1 d ( x, z ) d ( y , z )
__ ___ d ( x, z ) d ( y, z ) = d ( x, z ) d ( y, z ) 。证毕。 1 d ( x, z ) 1 d ( y , z )
1 n
x1 B ，使 d ( x0 , x1 )
1 1 。设 d ( x0 , x1 ) 0, 则易验证 U ( x0 , ) on ，这就 n n
证明了 on 是 开集 显然 n on B 。若 x on 则对每一个 n，有 xn B 使 d ( x , x1 ) ，因 1 n 1 此 xn x(n ) 。因 B 是闭集，必有 x B ，所以 on B 。证毕 n 1 4 设 d（x，y）为空间 X 上的距离，证明 d ( x, y ) 是 X 上的距离 证明 （1）若 d ( x, y ) 0 则 d ( x, y ) 0 ，必有 x=y （2）因 d ( x, y ) d ( x, z ) d ( y, z ) 而 于是 d ( x, y ) =

证明 C [a, b] 按 d ( f , g ) 成度量空间。 证明 （1）若 d ( f , g ) =0，则 max
a t b
f ( r ) (t ) g ( r ) (t ) 1 f ( r ) (t ) g ( r ) (t )
=0，即 f=g
f ( r ) (t ) g ( r ) (t ) 1 （2） d ( f , g ) r max a t b 1 f ( r ) (t ) g ( r ) (t ) r 0 2
不可分的，则有可数稠密子集
g n
n 1
，对任意 t0 [a，b]，
1 1 U ( f t , ) 必有某 g ，即 d ( g n , f t0 ) 。由于[a，b]上的点的全体 0 n 2 2 1 是不可树集。这样必有某 g n ， t1 , t 2 ，使 g n U ( f t1 , ) ， 2 gn U ( f t2 , 1 ) ，于是 d ( f t1 , f t2 ) d ( f t1 , g n ) d ( g n , f t2 ) 1 1 1 此与 2 2 2 d ( f t1 , f t2 ) 1 矛盾，因此 B[a，b]不是可分空间。证毕
9
设 X 是可分距离空间， 为 X 的一个开覆盖，即 是一族
开集，使得对每个
x X ，有 中的开集 O，使得 x O ，证明必可从 中选出可
数个集组成 X 的一个开覆盖。 证明 若 x X ，必有 Ox ，使 x Ox ，因 Ox 是开集，必
有某自然数 n，使 U ( x, ) Ox 。