上海市莘庄中学2025届高三(实验班)下学期第一次质检数学试题试卷

上海市莘庄中学2025届高三（实验班）下学期第一次质检数学试题试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合2
{|1}A x x =<，{|ln 1}B x x =<，则
A ．{|0e}A
B x x =<<
B ．{|e}A B x x =<
C ．{|0e}A B x x =<<
D ．{|1e}A B x x =-<< 2．设a ，b ，c 为正数，则“a b c +>”是“222a b c +>”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不修要条件 3．已知复数(2)1ai i z i +=
-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ） A ．2i B ．2i - C ．i D ．i -
4．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．函数()1sin f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭(x ππ-≤≤且0)x ≠的图象是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
6．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则12
z z =（ ）
A ．1855i -+
B ．1855i --
C ．815i -+
D ．815
i -- 7．已知F 为抛物线2:8C y x =的焦点，点()1,A m 在C 上，若直线AF 与C 的另一个交点为B ，则AB =( )
A ．12
B ．10
C ．9
D ．8 8．已知函数321()(0)3f x ax x a =
+>．若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．2(,5)3
B ．2
(,3)(3,5)3⋃ C ．18(,6)7 D ．18(,4)(4,6)7
⋃ 9．如图，在ABC ∆中，点M ，N 分别为CA ，CB 的中点，若5AB =，1CB =，且满足223AG MB CA CB ⋅=+，
则AG AC ⋅等于（ ）
A ．2
B ．5
C ．23
D ．83
10．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.
A ．22S ，且3S
B ．22S ，且23S
C ．22S ，且3S
D ．22S ，且23S
11．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()
11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ）
A ．()()sin cos βα<f f
B ．()()sin cos βα>f f
C ．()()sin =cos βαf f
D ．以上情况均有可能
12．设(1)1i z i +⋅=-，则复数z 的模等于( )
A ．2
B ．2
C ．1
D ．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数M ，若把M 当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的平均值为N ，则M N
=_________． 14．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则的值是 ．
15．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2
213
x y -=的右准线与渐近线的交点在抛物线22y px =上，则实数p 的值为________.
16．函数()12x f x =-的定义域是__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，已知正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，BM ∥AN ，2NA AB ==，4BM =，23CN =．
（1）证明：MN ⊥平面BCN ；
（2）求点N 到平面CDM 的距离．
18．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B ﹣a sin A ＝
12a sin C ． （Ⅰ）求sin B 的值；
（Ⅱ）求sin （2B +3
π）的值． 19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：2440y x --=，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3πθ=
（ρ∈R ）.
（1）求抛物线C 的极坐标方程；
（2）若抛物线C 与直线l 交于A ，B 两点，求AB 的值.
20．（12分）已知抛物线22(0)y px p =>，过点(2,0)C -的直线l 交抛物线于,A B 两点，坐标原点为O ，12OA OB ⋅=. （1）求抛物线的方程；
（2）当以AB 为直径的圆与y 轴相切时，求直线l 的方程.
21．（12分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示: 试销价格x (元)
4 5 6 7 8 9 产品销量y
(件) 89 83 82 79 74 67
已知变量,x y 且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲453y x =+； 乙4105y x =-+；丙 4.6104y x =-+，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.
（1）试判断谁的计算结果正确？
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数为2的概率.
22．（10分）已知函数
（1）讨论
的单调性； （2）当时，，求的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D
【解题分析】
因为2{|1}{|11}A x x x x =<=-<<，{|ln 1}{|0e}B x x x x =<=<<，
所以{|01}A
B x x =<<，{|1e}A B x x =-<<，故选D ．
2、B
【解题分析】
根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
解：a ，b ，c 为正数，
∴当2a =，2b =，3c =时，满足a b c +>，但222a b c +>不成立，即充分性不成立，
若222a b c +>，则22()2a b ab c +->，即222()2a b c ab c +>+>，
，即a b c +>，成立，即必要性成立，
则“a b c +>”是“222a b c +>”的必要不充分条件，
故选：B ．
【题目点拨】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质是解决本题的关键．
3、A
【解题分析】
对复数z 进行化简，由于z 为纯虚数，则化简后的复数形式中，实部为0，得到a 的值，从而得到复数z .
【题目详解】
()()()()()
221222111122ai i a i i a i a a z i i i i i +-+--+-+====+-++- 因为z 为纯虚数，所以
202a -=，得2a = 所以2z i =.
故选A 项
【题目点拨】
本题考查复数的四则运算，纯虚数的概念，属于简单题.
4、C
【解题分析】
根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．
【题目详解】
∵a ，b ∈（1，+∞），
∴a ＞b ⇒log a b ＜1，
log a b ＜1⇒a ＞b ，
∴a ＞b 是log a b ＜1的充分必要条件，
故选C ．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．
5、B
【解题分析】
先判断函数的奇偶性，再取特殊值，利用零点存在性定理判断函数零点分布情况，即可得解.
【题目详解】
由题可知()f x 定义域为)(],00,ππ⎡-⋃⎣，
()()()11sin sin f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
， ∴()f x 是偶函数，关于y 轴对称，
∴排除C ，D. 又2636sin 066612f ππππππ-⎛⎫⎛⎫=-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22sin 02222f ππππππ⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴()f x 在()0,π必有零点，排除A.
故选：B.
【题目点拨】
本题考查了函数图象的判断，考查了函数的性质，属于中档题.
6、B
【解题分析】
求得复数1z ，结合复数除法运算，求得
12z z 的值. 【题目详解】
易知123z i =+，则
()()1223(23)(2)(23)(2)2225z i i i i i z i i i ++--+--===-+-+--1818555
i i --==--. 故选：B
【题目点拨】
本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题.
7、C
【解题分析】
求得A 点坐标，由此求得直线AF 的方程，联立直线AF 的方程和抛物线的方程，求得B 点坐标，进而求得AB
抛物线焦点为()2,0F ，令1x =，28y =
，解得y =±
(A ，则直线AF
的方程为(
))2212y x x =-=---
，由)228y x y x ⎧=--⎪⎨=⎪⎩
，解得(
(,4,A B -，所以
9AB ==.
故选：C
【题目点拨】
本小题主要考查抛物线的弦长的求法，属于基础题.
8、D
【解题分析】
首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果.
【题目详解】
()22f x ax x '=+，令()0f x '=，得10x =，22x a
=-． 其单调性及极值情况如下：
若存在0111,,022x ⎛
⎫⎛⎫∈--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
， 则()21221112a a f f ⎧-<-⎪⎪⎪->-⎨⎪⎪⎛⎫-<-⎪ ⎪⎝⎭⎩
（如图1）或3122a a -<-<-（如图2）．
（图1）
（图2） 于是可得()18,44,67a ⎛⎫∈⋃
⎪⎝⎭
， 故选：D.
【题目点拨】
该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目.
9、D
【解题分析】 选取,BA BC 为基底，其他向量都用基底表示后进行运算．
【题目详解】
由题意G 是ABC ∆的重心， 2133()2()()32AG MB AN BM BN BA BC BA ⋅=⨯⋅-=--⋅+1()()2
BA BC BC BA =-⋅+22111152222
BA BC BA BC BA BC =-+⋅=-+⋅ 222
22()121BA BC BA BA BC BC CA CB =-+=-⋅+=++5211BA BC =-⋅++ ， ∴
917222BA BC BA BC +⋅=-⋅，1BA BC ⋅=， ∴AG AC ⋅22221213()()()332322AN AC BC BA BC BA BC BC BA BA =⋅=-⋅-=-⋅+2138(5)3223=-+=， 故选：D ．
【题目点拨】
本题考查向量的数量积，解题关键是选取两个不共线向量作为基底，其他向量都用基底表示参与运算，这样做目标明
确，易于操作．
10、D
【解题分析】
首先把三视图转换为几何体，根据三视图的长度，进一步求出个各棱长.
【题目详解】
根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，
如图所示：
所以：2AB BC CD AD DE =====， 22AE CE ==，22(22)223BE =+=.
故选：D.
.
【题目点拨】
本题考查三视图和几何体之间的转换，主要考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.
11、B
【解题分析】
由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求()f x 在(0,1)上的单调性，结合三角函数的性质即可比较．
【题目详解】
由1(1)()f x f x +=-可得1(2)[(1)1]()(1)
f x f x f x f x +=++=-=+，即函数的周期2T =， 因为在区间(2017,2018)上单调递减，故函数在区间(1,0)-上单调递减， 根据偶函数的对称性可知，()f x 在(0,1)上单调递增，
因为α，β是锐角三角形的两个内角，
所以1
,(0,)2αβπ∈且12αβπ+>即12
απβ>-， 所以1
cos cos()2
απβ<-即0cos sin 1αβ<<<，
(cos )(sin )f f αβ<．
故选：B ．
【题目点拨】
本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．
12、C
【解题分析】
利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可.
【题目详解】
因为(1)1i z i +⋅=-, 所以()()()
211111i i z i i i i --===-++⋅-,
由复数模的定义知,1z =
=. 故选:C
【题目点拨】
本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1
【解题分析】
根据均值的定义计算．
【题目详解】
由题意5051
M M N M +==，∴1M N =． 故答案为：1．
【题目点拨】
本题考查均值的概念，属于基础题．
14 【解题分析】
试题分析：由三角函数定义知cos
α==cos()cos παα-=-=，所以答案应填：
．
考点：1、三角函数定义；2、诱导公式． 15、
14
【解题分析】
求出双曲线2
213
x y -=的右准线与渐近线的交点坐标，并将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数p 的方程.
【题目详解】
双曲线22
13x y -=的半焦距为2，则双曲线2213x y -=的右准线方程为32x =，渐近线方程为33y x =±，所以，该
双曲线右准线与渐近线的交点为33,2⎛ ⎝⎭
. 由题意得2
33
222p ⎛±=⨯ ⎝⎭，解得
14p =. 故答案为：1
4
.
【题目点拨】
本题考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题. 16、(],0-∞ 【解题分析】
由120x -≥，得21x ≤，所以0x ≤，所以原函数定义域为(],0-∞，故答案为(],0-∞.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析 （225
【解题分析】
（1）因为正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，平面ABCD 平面ABMN AB =，BC AB ⊥，
所以BC ⊥平面ABMN ，
因为MN ⊂平面ABMN ，BN ⊂平面ABMN ，所以BC MN ⊥，BC BN ⊥， 因为2,23BC CN ==2222BN CN BC =-， 因为2NA AB ==，所以222AB AN BN +=，所以AB AN ⊥，
因为在直角梯形ABMN 中，4BM =，所以22MN =， 所以222BN MN BM +=，所以BN MN ⊥，因为BC BN B =，所以MN ⊥平面BCN ．
（2）如图，取BM 的中点E ，则BE AN =，
又BM ∥AN ，所以四边形ABEN 是平行四边形，所以NE ∥AB ，
又AB ∥CD ，所以NE ∥CD ，因为NE ⊄平面CDM ，CD ⊂平面CDM ，所以NE ∥平面CDM ， 所以点N 到平面CDM 的距离与点E 到平面CDM 的距离相等，
设点N 到平面CDM 的距离为h ，由BE EM =可得点B 到平面CDM 的距离为2h ， 由题易得CD ⊥平面BCM ，所以CD CM ⊥，且22222425CM BC BM =+=+=， 所以1111452225232323B CDM h
V CD CM h h -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，
又1111822432323M BCD V BC CD BM -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，所以由B CDM M BCD V V --=可得458
33
h =，
解得255
h =
，所以点N 到平面CDM 的距离为255．
18、（Ⅰ）
7
4
（Ⅱ）
37316 【解题分析】
（Ⅰ）根据条件由正弦定理得2
2
1
2
b a a
c -=
，又c ＝2a ，所以222b a =，由余弦定理算出cos B ，进而算出sin B ； （Ⅱ）由二倍角公式算出sin 2cos2，B B ，代入两角和的正弦公式计算即可. 【题目详解】 （Ⅰ）
b sin B ﹣a sin A ＝
12a sin C ，所以由正弦定理得22
12
b a a
c -=， 又c ＝2a ，所以222b a =，由余弦定理得：
2223cos 24b a c B ac +-==，又()0,B π∈，所以7
sin 4
B =
； （Ⅱ）2371
sin 22sin cos cos 22cos 188
B B B B B ==
=-=，
sin 2sin 2cos cos 2sin 333B B B πππ⎛
⎫∴+=+=
⎪⎝
⎭. 【题目点拨】
本题主要考查了正余弦定理的应用，运用二倍角公式和两角和的正弦公式求值，考查了学生的运算求解能力.
19、（1）22
sin 4cos 40ρθρθ--=（2）16
3
AB =
【解题分析】
(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式cos x ρθ=，sin y ρθ=,即可求得结果. (2) 由ρ的几何意义得,12AB ρρ=-. 将3
π
θ=
代入抛物线C 的方程,利用韦达定理1283ρρ+=
，12163
ρρ=-，即可求得结果. 【题目详解】
（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，
代入2
440y x --=得2
2
sin 4cos 40ρθρθ--=， 所以抛物线C 的极坐标方程为2
2
sin 4cos 40ρθρθ--=.
（2）将3π
θ=代入抛物线C 的方程得2
32404
ρρ--=，
所以1283ρρ+=
，1216
3
ρρ=-， ()2
2
12121264642564939
ρρρρρρ-=+-=
+= 所以
12163
ρρ-=
， 由ρ的几何意义得，163
AB =. 【题目点拨】
本题考查直角坐标和极坐标的转化,考查极坐标方程的综合应用,考查了学生综合分析,转化与划归,数学运算的能力,难度一般.
20、（1）2
4y x =；（2）20x ++=或20x -+=
【解题分析】
试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题等基础知识，同时考查考生的分析问题解决问题的能力、转化能力、运算求解能力以及数形结合思想. 第一问，设出直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理得到y 1＋y 2，y 1y 2，12x x ，代入到12OA OB ⋅=中解出P 的值；第二问，结合第一问的过程，利用两种方法求出AB 的长，联立解出m 的值，从而得到直线的方程.
试题解析：（Ⅰ）设l ：x ＝my －2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy ＋4p ＝1．（*）
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝4p ，则22
12
122
44y y x x p
==． 因为12OA OB ⋅=，所以x 1x 2＋y 1y 2＝12，即4＋4p ＝12， 得p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x ． …5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化为y 2－4my ＋2＝1． y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝2． …6分
设AB 的中点为M ，则|AB|＝2x m ＝x 1＋x 2＝m(y 1＋y 2)－4＝4m 2－4， ①
又12AB y =-= ② 由①②得(1＋m 2)(16m 2－32) ＝(4m 2－4)2，
解得m 2＝3，m =
所以，直线l 的方程为20x ++=，或20x -+=． …12分 考点：抛物线的标准方程、直线与抛物线的相交问题、直线与圆相切问题. 21、（1）乙同学正确；（2）9
20
. 【解题分析】
（1）根据变量,x y 且有线性负相关关系判断甲不正确.根据回归直线方程过样本中心点()
,x y ，判断出乙正确. （2）由线性回归方程得到的估计数据，计算出误差，求得“理想数据”的个数，由此利用古典概型概率计算公式，求得所求概率. 【题目详解】
（1）已知变量,x y 具有线性负相关关系，故甲不正确，
6.5,79x y ==，代入两个回归方程，验证乙同学正确，
故回归方程为：4105y x =-+
（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：
x456789
y898382797467
y898581777369
y y
-0 2 1 2 1 2
由上表可知，“理想数据”的个数为3.
用列举法可知，从6个不同数据里抽出3个不同数据的方法有20种.
从符合条件的3个不同数据中抽出2个，还要在不符合条件的3个不同数据中抽出1个的方法有339
⨯=种.
故所求概率为
9
20 P=
【题目点拨】
本小题主要考查回归直线方程的判断，考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，属于中档题.
22、（1）见解析；（2）
【解题分析】
（1）f′（x）=（x+1）e x-ax-a=（x+1）（e x-a）．对a分类讨论，即可得出单调性．
（2）由xe x-ax-a+1≥0，可得a（x+1）≤xe x+1，当x=-1时，0≤-+1恒成立．当x＞-1时，a令g（x）=，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【题目详解】
解法一：（1）
①当时，
-1
- 0 +
↘极小值↗
所以在上单调递减，在单调递增.
②当时，的根为或.
若，即，
-1
+ 0 - 0 +
↗极大值↘极小值↗所以在，上单调递增，在上单调递减.
若，即，
在上恒成立，所以在上单调递增，无减区间.
若，即，
-1
+ 0 - 0 +
↗极大值↘极小值↗所以在，上单调递增，在上单调递减.
综上：
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
自时，在上单调递增，无减区间；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
（2）因为，所以.
当时，恒成立.
当时，.
令，，
设，
因为在上恒成立，
即在上单调递增.
又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，
则，所以.
综上，的取值范围为.
解法二：（1）同解法一；
（2）令，
所以，
当时，，则在上单调递增，
所以，满足题意.
当时，
令，
因为，即在上单调递增.
又因为，，
所以在上有唯一的解，记为，
- 0 +
↘极小值↗
，满足题意.
当时，，不满足题意.
综上，的取值范围为.
【题目点拨】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。