内蒙古XX中学2018-2019年九年级上期末数学试卷含答案解析

2019-2019学年内蒙古ＸＸ中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题
1．2cos45°的值等于（）
A．B．C．D．
2．已知反比例函数y=，在下列结论中，不正确的是（）
A．图象必经过点（1，2） B．y随x的增大而减少
C．图象在第一、三象限D．若x＞1，则y＜2
3．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为（）
A．B．C．D．
4．书包里有数学书3本、英语书2本、语文书5本，从中任意抽取一本，则是数学书的概率是（）
A．B．C．D．
5．把抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移5个单位得到的抛物线是（）
A．y=x2+3 B．y=x2+7 C．y=（x+2）2﹣5 D．y=（x﹣2）2﹣5
6．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是（）
A．B．C．D．
7．在直角坐标系xOy中，点P（4，y）在第一象限内，且OP与x轴正半轴的夹角为60°，则y的值是（）
A．B．C．8 D．2
8．如图所示是一天中不同时刻直立的灯杆在阳光下形成的影长，规定各图向右为正东方向，将各图按时间顺序排列正确的是（）
A．②④①③ B．③①④② C．②④③① D．①③②④
9．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=2，那么BC的值为（）
A．2 B．4 C．4 D．6
10．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0，常数项为0，则m值等于（）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
二、填空题
11．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是．
12．在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为．13．正n边形的一个外角是30°，则n= ．
14．两个相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的周长之差是12cm，那么小三角形的周长为．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=2，则∠B的度数为．
16．如图是由几个相同的小立方块组成的几何体的三视图，小立方块的个数是．
17．⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和为．
18．在Rt 三角形ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30° CD⊥AB 于点D ，那么△ACD 与△BCD 的面积之比为 ．
19．半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为 ．
20．一元二次方程x 2=2x 的根是 ．
三、解答题
21．计算：﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣（）﹣2．
22．已知关于x 的方程k 2x 2﹣2（k+1）x+1=0有两个实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）当k=1时，设所给方程的两个根分别为x 1和x 2，求+的值．
23．已知，在同一直角坐标系中，反比例函数y=与二次函数y=﹣x 2+2x+c 的图象交于点A （﹣1，m ）．
（1）求m 、c 的值；
（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
24．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，sinB=，∠CAD=30°．
（1）求证：AD 是⊙O 的切线；
（2）若OD ⊥AB ，BC=5，求AD 的长．
25．甲、乙、丙三人相互传球，由乙开始发球，并作为第一次传球．用列表或画树状图的方法求经过3次传球后，球仍回到乙手中的概率．
26．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
27．一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的东南方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果保留根号）
2019-2019学年内蒙古XX中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．2cos45°的值等于（）
A．B．C．D．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】将45°角的余弦值代入计算即可．
【解答】解：∵cos45°=，
∴2cos45°=．
故选B．
【点评】本题考查特殊角的三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
2．已知反比例函数y=，在下列结论中，不正确的是（）
A．图象必经过点（1，2） B．y随x的增大而减少
C．图象在第一、三象限D．若x＞1，则y＜2
【考点】反比例函数的性质．
【分析】根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵1×2=2，∴图象必经过点（1，2），故本选项正确；
B、∵反比例函数y=中，k=2＞0，∴此函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，故本选项错误；
C、∵反比例函数y=中，k=2＞0，∴此函数的图象在一、三象限，故本选项正确；
D、∵当x＞1时，此函数图象在第一象限，∴0＜y＜2，故本选项正确．
故选B．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线：
（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
3．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为（）
A．B．C．D．
【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．
【分析】连接OA，并作OD⊥AB于D；由于等边三角形五心合一，则OA平分∠BAC，由此可求出∠BAO 的度数；在Rt△OAD中，根据⊙O的半径和∠BAO的度数即可求出AD的长，进而可得出△ABC的边长．
【解答】解：连接OA，并作OD⊥AB于D，则
∠OAD=30°，OA=2，
∴AD=OA•cos30°=，
∴AB=2．
故选C．
【点评】此题主要考查等边三角形外接圆半径的求法．
4．书包里有数学书3本、英语书2本、语文书5本，从中任意抽取一本，则是数学书的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】概率公式．
【分析】让数学书的本数除以书的总本数即为从中任意抽取一本，是数学书的概率．
【解答】解：所有机会均等的可能共有10种．而抽到数学书的机会有3种，因此抽到数学书的概率
有．
故选C．
【点评】此题主要考查概率的意义及求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5．把抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移5个单位得到的抛物线是（）
A．y=x2+3 B．y=x2+7 C．y=（x+2）2﹣5 D．y=（x﹣2）2﹣5
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【解答】解：抛物线y=x2向右平移2个单位，再向下平移5个单位，所得图象的解析式为y=（x﹣2）2﹣5，．
故选D．
【点评】本题主要考查的是二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
6．如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将△ABC沿DE折叠，使点C落在AB边上的C′处，并且C′D∥BC，则CD的长是（）
A．B．C．D．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】先判定四边形C′DCE是菱形，再根据菱形的性质计算．
【解答】解：设CD=x，
根据C′D∥BC，且有C′D=EC，
可得四边形C′DCE是菱形；
即Rt△ABC中，
AC==10，
，
EB=x；
故可得BC=x+x=8；
解得x=．
故选A．
【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
7．在直角坐标系xOy中，点P（4，y）在第一象限内，且OP与x轴正半轴的夹角为60°，则y的值是（）
A．B．C．8 D．2
【考点】坐标与图形性质；解直角三角形．
【分析】根据已知条件，画出草图，解直角三角形求解．
【解答】解：作PA⊥x轴于A．
根据题意，∠POA=60°，OA=4．
∵∠PAO=90°，∠POA=60°，
∴∠P=30°，
∴OP=2OA=2×4=8．
根据勾股定理，得OA2+PA2=OP2，
即42+PA2=82．
∴AP=．
即y的值为．
故选B．
【点评】本题考查了平面直角坐标系内点的坐标求法及勾股定理的应用．
8．如图所示是一天中不同时刻直立的灯杆在阳光下形成的影长，规定各图向右为正东方向，将各图按时间顺序排列正确的是（）
A．②④①③ B．③①④② C．②④③① D．①③②④
【考点】平行投影．
【分析】根据影子变化的方向正好太阳所处的方向是相反的来判断．太阳从东方升起最后从西面落下确定影子的起始方向．
【解答】解：太阳从东方升起最后从西面落下，木杆的影子开始时应该在西面，随着时间的变化影子逐渐的向北偏西，南偏西，正东方向的顺序移动，
故它们按时间先后顺序进行排列为：③①④②，
故选：B．
【点评】此题主要考查了在太阳光下的平行投影．要抓住太阳一天中运动的方位特点来确定物体影子所处的方位．平行投影的特点是：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．
9．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AC=2，那么BC的值为（）
A．2 B．4 C．4 D．6
【考点】解直角三角形．
【分析】由sin A=求出∠A度数；根据三角函数的定义建立边角之间的关系求解．
【解答】解：∵sinA=，∴∠A=30°．
∴tan30°=，
∴BC=2．
故选A．
【点评】此题考查运用三角函数定义解题．
10．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0，常数项为0，则m值等于（）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0，常数项为0，
∴，
解得：m=2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
二、填空题
11．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是20% ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，
故25（1﹣x）2=16，
解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为20%．
【点评】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a （1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
12．在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为1cm或7cm ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】两条平行的弦可能在圆心的同旁或两旁，应分两种情况进行讨论．
【解答】解：圆心到两条弦的距离分别为d 1=
=4cm ，d 2==3cm ． 故两条弦之间的距离d=d 1﹣d 2=1cm 或d=d 1+d 2=7cm
【点评】本题综合考查了垂径定理和勾股定理的运用．
13．正n 边形的一个外角是30°，则n= 12 ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】利用多边形的外角和即可求出答案．
【解答】解：n=360°÷30°=12．
故答案为：12．
【点评】主要考查了多边形的外角和定理．
任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数直接让360度除以外角即可．
14．两个相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ，它们的周长之差是12cm ，那么小三角形的周长为 18cm ．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据题意求出两个三角形的相似比，再根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ，
∴两个三角形的相似比为5：3，
设大三角形的周长为5x ，则小三角形的周长为3x ，
由题意得，5x ﹣3x=12，
解得，x=6，
则3x=18，
故答案为：18cm ．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的相似比即对应边的比，相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
15．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3
，AB=2，则∠B 的度数为 30° ．
【考点】解直角三角形．
【分析】根据含30度角的直角三角形性质求出∠B的度数．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=2，
∴，
∴AB=2AC，
∴∠B=30°，
故答案为：30°
【点评】本题考查了解直角三角形和含30度角的直角三角形的性质的应用，关键是求出∠B的度数，题目比较典型，难度不大．
16．如图是由几个相同的小立方块组成的几何体的三视图，小立方块的个数是 4 ．
【考点】由三视图判断几何体．
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从左视图可看出每一行小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：从俯视图上看，此几何体的下面有3个小正方体，
从左视图和主视图上看，最上面有1个小正方体，
故组成这个几何体的小立方块的个数是：3+1=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
17．⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，则图中的三个扇形（即阴影部分）的面积之和
为cm2．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】由于三角形的内角和为180度，所以三个阴影扇形的圆心角的和为180°，由于它们的半径都为0.5cm，因此可根据扇形的面积公式直接求出三个扇形的面积和．
==cm2．
【解答】解：S
阴影
故答案为cm2．
【点评】本题利用了三角形内角和定理，扇形的面积公式求解．
18．在Rt三角形ABC中，∠ACB=90°，∠A=30° CD⊥AB于点D，那么△ACD与△BCD的面积之比为3 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】先根据题意判断出Rt△ABC∽Rt△CBD，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠B=∠B，
∴Rt△ABC∽Rt△CBD，
∴=（）2=（sin∠A）2=，
∴=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质，根据题意得出Rt△ABC∽Rt △CBD是解答此题的关键．
19．半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为12．
【考点】垂径定理．
【专题】计算题．
【分析】先画图，根据题意得OD=CD=6，再由勾股定理得AD的长，最后由垂径定理得出弦AB的长即可．
【解答】解：如图，
∵OD=CD=6，
∴由勾股定理得AD=6，
∴由垂径定理得AB=12，
故答案为：12．
【点评】本题综合考查了垂径定理和勾股定理．解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．
20．一元二次方程x2=2x的根是x
1=0，x
2
=2 ．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．【解答】解：移项，得x2﹣2x=0，
提公因式得，x（x﹣2）=0，
x=0或x﹣2=0，
∴x
1=0，x
2
=2．
故答案为：x
1=0，x
2
=2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
三、解答题
21．（2019秋•阿拉善左旗校级期末）计算：
﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣（）﹣2．
【考点】实数的运算．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2﹣2×+1﹣9=﹣8． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（2012•庆阳）已知关于x 的方程k 2x 2﹣2（k+1）x+1=0有两个实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）当k=1时，设所给方程的两个根分别为x 1和x 2，求
+的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k 2≠0且△=4（k+1）2﹣4k 2≥0，然后解两个不等式，求出它们的公共部分即可；
（2）先把k=1代入方程，再根据根与系数的关系得到x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，然后把所求的代数式变形
得到+=，然后利用整体思想进行计算． 【解答】解：（1）根据题意得k 2≠0且△=4（k+1）2﹣4k 2≥0，
解得k ≥﹣且k ≠0；
（2）k=1时方程化为x 2﹣4x+1=0，则x 1+x 2=4，x 1•x 2=1，
+===14．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．
23．（2008•云南）已知，在同一直角坐标系中，反比例函数y=与二次函数y=﹣x2+2x+c的图象交于点A（﹣1，m）．
（1）求m、c的值；
（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．
【考点】二次函数的性质；反比例函数的性质．
【专题】计算题．
【分析】先通过反比例函数求出A值，再把A的值代入二次函数中求出二次函数的解析式．再化简二次函数的解析式，就可得到它的对称轴和顶点坐标．
【解答】解：（1）∵点A在函数y=的图象上，
∴m==﹣5，
∴点A坐标为（﹣1，﹣5），
∵点A在二次函数图象上，
∴﹣1﹣2+c=﹣5，
c=﹣2．
（2）∵二次函数的解析式为y=﹣x2+2x﹣2，
∴y=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，
∴对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣1）．
【点评】此题运用了反比例函数和二次函数的有关知识．
（2019•鄂托克旗模拟）已知：如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=，∠CAD=30°．24．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若OD⊥AB，BC=5，求AD的长．
【考点】切线的判定．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）连接OA，由于sinB=，那么可求∠B=30°，利用圆周角定理可求∠AOC=60°，而OA=OB，那么△AOC是等边三角形，从而有∠OAC=60°，易求∠OAD=90°，即AD是⊙O的切线；
（2）由于OC⊥AB，OC是半径，利用垂径定理可知OC是AB的垂直平分线，那么CA=CB，而∠B=30°，则∠BAC=30°，于是有∠DAE=60°，∠D=30°，在Rt△ACE中，利用三角函数值可求AE，在Rt△ADE 中利用30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可求AD．
【解答】证明：连接OA，
（1）∵sinB=，
∴∠B=30°，
∠AOC=60°，
又∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∴∠OAD=60°+30°=90°，
∴AD是⊙O的切线；
（2）∵OC⊥AB，OC是半径，
∴BE=AE，
∴OD是AB的垂直平分线，
∴∠DAE=60°，∠D=30°，
在Rt△ACE中，AE=cos30°×AC=，
∴在Rt△ADE中，AD=2AE=5．
【点评】本题利用了三角函数值、圆周角定理、等边对等角、等边三角形的判定和性质、切线的判定、垂直平分线的判定和性质、直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半．
25．甲、乙、丙三人相互传球，由乙开始发球，并作为第一次传球．用列表或画树状图的方法求经过3次传球后，球仍回到乙手中的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过3次传球后，球仍回到乙手中的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，经过3次传球后，球仍回到乙手中的有2种情况，
∴经过3次传球后，球仍回到乙手中的概率是： =．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
26．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】应用题．
【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程求得x的值．
【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1=91，
解得：x=9或x=﹣10（不合题意，应舍去）；
∴x=9；
答：每支支干长出9个小分支．
【点评】此题要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，列方程求解，注意能够熟练运用因式分解法解方程．
27．一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的东南方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】在Rt△APC中，求出PC的长，再在Rt△PBC中，求出CB的长，将AC和CB相加即可．【解答】解：∵∠APC=90°﹣60°=30°，AP=80海里，
∴PC=AP•cos30°=80×=40海里，AC=AP•sin30°=80×=40（海里），
又∵∠BPC=45°，
∴CB=PC=40海里，
∴BP=×40=40（海里）．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
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