2.5实验用单摆测量重力加速度

试验：用单摆测量重力加速度
一、试验原理 ......................................................................................................................................... 1 二、试验器材 ......................................................................................................................................... 1 三、试验步骤 ......................................................................................................................................... 1 四、数据处理 ......................................................................................................................................... 2 五、考前须知 ......................................................................................................................................... 2 【稳固练习】 .. (6)
一、试验原理
由T ＝2π
l g ，得g ＝4π2l
T
2，那么测出单摆的摆长l 和周期T ，即可求出当地的重力加速度． 二、试验器材
铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、秒表、细线(1 m 左右)、刻度尺、游标卡尺．
三、试验步骤
1．让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆．
2．将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在试验桌边，把单摆上端固定在铁夹上，使摆线自由下垂．在单摆平衡位置处做上标记．
3．用刻度尺量出悬线长l ′(精确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d ，那么摆长为l ＝l ′＋
学习名目
学问把握
d 2
. 4．把单摆拉开一个角度，角度不大于5°，释放摆球．摆球经过最低位置时，用秒表开头计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期． 5．转变摆长，反复测量几次，将数据填入表格．
四、数据处理
1．公式法：每转变一次摆长，将相应的l 和T 代入公式g ＝4π2l
T 2中求出g 值，最终求出g 的平均值．
设计如下所示试验表格
2．)．其斜率k ＝4π2
g
，由图像的斜率即可求出重力加速度g .
图1
五、考前须知
1．选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m ；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球． 2．摇摆时摆线偏离竖直方向的角度应很小．
3．摆球摇摆时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆．
4．计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置时开头计时，要测n 次全振动的时间 [例题1] 〔2023•西城区校级模拟〕某同学在“用单摆测定重力加速度〞的试验中。

①该同学用游标卡尺测得单摆小球的直径为cm ；同学用秒表记录的时间如图2所示，那么秒表的示数为s ；
②假如某同学在试验时，用的摆球质量分布不匀称，无法确定其重心位置。

他第一次量得悬线长为L 1〔不计摆球半径〕，测得周期为T 1：其次次量得悬线长为L 2，测得周期为T 2.依据上述数据，可求得g 值为B 。

A ．
4π2√L 1L 2
T 1T 2
B ．g =4π2(L 1−L 2)
T 12−T 2
2
C ．
4π2(L 1+L 2)
T 12+T 2
2 D ．
4π2(T 12−T 2
2)L 1−L 2
该同学又想出另一个方法测重力加速度，他测出多组摆线长L 与周期T 的数据，依据试验数据，作出了T 2﹣L 的关系图象如图3所示理论上T 2﹣L 是一条过坐标原点的直线，依据图中数据，可算出重力加速度其值为m/s 2〔取π2＝，结果保存三位有效数字〕，仅考虑该数据处理方法，他得到的加速度g 与真实值相比 相同 〔填偏大、偏小或相同〕 ③假如该同学测得的g 值偏大，可能的缘由是AB 。

A ．测摆线长时摆线拉得过紧 B ．开头计时时，秒表按下稍晚 C ．试验中将51次全振动误记为50次
D ．摆线上端未坚固地系于悬点，振动中消失松动，使摆线长度增加了
【解答】解：①游标卡尺的分度值为，不需要估读，那么测得单摆小球的直径为： ×14＝＝
秒表的大盘超过了半刻度，大盘的读数为90s ，小盘的读数为，所以总时间为 ＝
②依据单摆的周期公式可得：
T =2π√L
g
可得：T 1=2π√L
1
g
T 2=2π√L
2g
可得：g =4π2(L 1−L 2)
T 12−T 2
2
应选B 。

依据
T
2
=4π2
g
L
可得：k=4π2
g
= 4.00
×(99.0+1.00)×10−2
s2/m=4s2/m
解得：g＝2
仅考虑该数据处理方法，没有系统误差，那么他得到的加速度g与真实值相比相同；
③依据上述分析可得：
g=4π2L T2
A．测摆线长时摆线拉得过紧，那么摆长测量值偏大，那么重力加速度的测量值偏大，故A正确；
B．开头计时时，秒表按下稍晚，那么周期测量值偏小，那么重力加速度的测量值偏大，故B正确；
C．试验中将51次全振动误记为50次，那么周期测量值偏大，那么重力加速度的测量值偏小，故C错误；
D．摆线上端未坚固地系于悬点，振动中消失松动，使摆线长度增加了，计算时还用原来的值计算，那么重力加速度测量值偏小，故D错误。

应选：AB。

故答案为：①；；②B；；相同；③AB
[例题2]〔2023春•沙坪坝区校级期中〕某同学想进一步验证单摆的周期和重力加速度的关系，于是借鉴伽利略用斜面“冲淡“重力的思路，设计了这样的试验装置：在水平面上有一倾角可调的斜面，斜面上有一固定的力传感器，将钢性小球通过摆线挂在力传感器上，斜面上开有很多小孔，利用气源从小孔往里吹气，使钢性小球浮在气垫层上，因而能在斜面上做近似无阻力的单摆运动，装置模拟图如图甲。

〔1〕在测量过程中，以下操作合理的是C；
A．先测好摆长，再将单摆悬挂到力传感器上
B．释放单摆时，摆角尽量大些，以便观看
C．摆线应选用不行伸缩的轻质细绳
〔2〕图乙为斜面倾角为θ0时，传感器输出的细线拉力F随时间t的变化曲线，由图可知，小磁铁摇摆的周期为T＝s
〔3〕仅转变平板倾角，测出倾角θ及在该倾角下单摆的周期T，当地重力加速度为g。

假设从试验中得到所测物理量数据的图线如图丙，那么作出的图像为B
A ．T −
1
gsinθ B ．T 2−1
gsinθ C ．T ﹣gsin θ D ．T 2−
sinθ
g
〔4〕该同学在固定斜面倾角的状况下，进一步探究周期T 与摆长L 的关系，依据图丁中的信息可得，用斜面“冲淡〞重力后的等效重力加速度g ＝m/s 2〔取π2＝，结果保存三位有效数字〕 【解答】解：〔1〕A 、先将单摆悬挂到力传感器上，然后再测摆长，故A 错误； B 、释放单摆时，摆角不能大于5°，否那么就不是简谐振动，故B 错误； C 、摆线应选用不行伸缩的轻质细绳，故C 正确。

应选：C 。

〔2〕依据题意，由图乙可知，小磁铁摇摆的周期为：T ＝2〔﹣〕s ＝ 〔3〕依据题意可知，斜面倾角为θ时，等效重力加速度为：g ′＝gsin θ 由单摆周期公式有：T =2π√L
gsinθ
可得：T 2
=4π2L gsinθ
可知，图丙中的图像为：T 2−1
gsinθ。

应选：B 。

〔4〕由〔3〕分析可知：T 2
=4π2L
g
结合图丁有：4π2g
=
7.2−4.00.9−0.5
解得：g ＝2
故答案为：〔1〕C ；〔2〕；〔3〕B ；〔4〕。

误差分析与探究
探究一 细线测量的误差？
细线测量时将细线平放在桌面上还是穿上小球竖直悬挂？ 探究二摆长的变化的影响？
学问深化
摇摆过程中摆线长度变长，使测量的周期偏大。

探究三摆球在水平面内做匀速圆周运动？
F 合= mgtanθF
合
= m4π
2
T2
rr= Lsinθg＝4π2
T2
L cosθ
g
测
>g
真
【稳固练习】
1.〔2023•温州模拟〕在以下试验中，需要用到打点计时器的有〔〕
A．“探究平抛运动的特点〞
B．“探究加速度与力、质量的关系〞
C．“用单摆测重力加速度大小〞
D．“探究向心力大小表达式〞
【解答】解：A．在“探究平抛运动的特点〞过程中，是利用竖直方向上做匀变速直线运动的特点计算出点迹之间的时间间隔，不需要用到打点计时器，故A错误；
B．探究加速度与力、质量的关系试验中需要测量加速度的大小，需要通过纸带测量加速度，所以需要打点计时器，故B正确；
C．用单摆测量重力加速度试验中需要用刻度尺测摆长和秒表测周期，不需要打点计时器，故C 错误；
D．探究向心力大小表达式，不需要打点计时器，故D错误。

应选：B。

2.〔2022秋•慈溪市期末〕如下图为单摆测量重力加速度试验所测出的T2﹣1图像，图线未经过
坐标原点的缘由是〔〕
A．每次都将n个周期的时间记成〔n+1〕个周期的时间B．每次测摆长时，都将摆线长当成了摆长
C．每次试验时，摆球的振幅都不同
D．每次试验时，摆球的质量都不同
【解答】解：依据单摆的周期公式：T＝2π√l
g得：T
2=4π2
g
⋅l，由图乙l等于零时，周期大于零，
说明摆长l的测量值偏小，可能是没有计入摆球的半径，将摆线长当成了摆长，故B正确、ACD 错误。

应选：B。

3.〔2022秋•崇明区期末〕在“用单摆测定重力加速度〞的试验中，某同学测完摆长，再测周期，
最终发觉测得的g值偏大，可能是由于〔〕
A．单摆摇摆时摆角较小
B．把摆线的长作为摆进步行计算
C．摆线上端未固定坚固，摇摆中消失松动，摆线变长
D．摁下秒表开头计时时数1，数到n时停止计时，得到n次全振动的时间
【解答】解：A．单摆摇摆时摆角较小，对g值的测量无影响，故A错误；
B．依据T=2π√L
g，可得g=4π2L
T2
=
4π2(l0+d2)
T2
假设把摆线的长l0作为摆长L进行计算，那么g值将偏小，故B错误；
C．假设摆线上端未固定坚固，摇摆中消失松动，摆线变长，周期的测量值将偏大，依据g=4π2L T2
可知，g值的测量值将偏小，故C错误；
D．摁下秒表开头计时时数1，数到n时停止计时，得到n次全振动的时间，实际完成全振动的次
数应为〔n﹣1〕次，全振动的次数增大，将导致单摆的测量周期偏小，依据g=4π2L
T2
可知，g值
的测量值偏大，故D正确。

应选：D。

4.〔2022秋•鄄城县校级期末〕某同学利用单摆测定当地的重力加速度，试验装置如下图，以下说
法正确的选项是〔〕
A．在摆球通过最低点时开头计时，可减小单摆周期的测量误差
B．摆长等于摆线的长度加上摆球的直径
C ．测量摆球通过最低点50次的时间为t ，那么单摆周期为
t
50
D ．假如有两个大小相等且都带孔的铜球和木球，应选用木球作摆球
【解答】解：A ．摆球在最低点时速度最大，那么在摆球通过最低点时开头计时，可减小单摆周期的测量误差，故A 正确；
B ．摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，故B 错误；
C ．摆球相邻两次通过最低点的时间为半个周期，通过最低点50次的时间为t ，那么单摆周期不等于
t 50
，故C 错误；
D ．为了减小空气阻力，摆球选择质量大一些，体积小一些的小球，假如有两个大小相等且都带孔的铜球和木球，应选用铜球作摆球，故D 错误。

应选：A 。

5.
〔2022秋•让胡路区校级期末〕〔1〕在做“用单摆测定重力加速度〞的试验中，有人提出如下建议，其中对提高测量结果精确度有利的是A 。

A ．适当加长摆线
B ．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的
C ．摆球释放前拉离平衡位置的角度尽量大些
D ．当单摆经过最高位置时开头计时
〔2〕某同学测出不同摆长时对应的周期T ，作出T 2﹣L 图线，如图甲所示，再利用图线上任两点A 、B 的坐标〔x 1，y 1〕、〔x 2，y 2〕，可求得g ＝
4π2(x 2−x 1)y 2−y 1。

〔3〕三位同学作出的T 2﹣L 图线的示意图如图乙中的a 、b 、c 所示，其中a 和b 平行，a 和c 都过原点，图线a 是操作无误得到的图像那么相对于图线b 、c ，以下分析正确的选项是BC 〔选填选项前的字母〕。

A ．消失图线b 的缘由可能是遗忘把球半径计入摆长L
B ．消失图线b 的缘由可能是把球直径加绳长得到摆长L
C ．消失图线c 的缘由可能是误将49次全振动记为50次
D ．图线c 对应的g 值小于图线b 对应的g 值
【解答】解：〔1〕A 、适当加长摆线，有利于把摆球看成质点，在摆角小于5°的条件下，摆球的空间位置变化较大，便于观看，故A 正确；
B 、要减小空气阻力的影响，应选体积较小的摆球，故B 错误；
C 、单摆在摆角很小的状况下才做简谐运动，那么单摆偏离平衡位置的角度不能太大，一般不超过5°，故C 错误；
D 、为了提高测量单摆周期的精确性，需在单摆的速度最大时，即经过最低位置开头计时，故D 错误。

应选：A 。

〔2〕由周期公式可知：T =2π√L
g ，变形得到：T 2=4π2
g L ，把A 、B 的坐标〔x 1，y 1〕、〔x 2，y 2〕代入可得：g =
4π2(x 2−x 1)
y 2−y 1
；
〔3〕由周期公式可知T =2π√L g
，变形解得：T 2=4π2
g
L 依据数学学问可知，T 2﹣L 图像的斜率：k =
4π2g ，解得：g =4π2
k
A 、假设试验时，遗忘把球半径计入摆长L ，那么：T 2=4π2g (L +r)=4π2g L +4π2
g
r ，那么图线的斜率与a 平行，纵轴截距为正值，故A 错误；
B 、假设试验时，把球直径加绳长得到摆长L ，那么：T 2=4π2g (L −r)=4π2g L −4π2
g r ，那么图线的斜率与a 平行，纵轴截距为负值，故B 正确；
C 、试验中误将49次全振动记为50次，那么周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，图线的斜率k 偏小，故C 正确；
D 、由图可知，图线c 对应的斜率k 偏小，依据T 2
﹣L 图像的斜率k =4π2
g ，当地的重力加速度：
g =4π2
k ，c 图线所测值大于b 图线对应的g 值，故D 错误。

应选：BC 。

故答案为：①A ；②4π2(x 2−x 1)y 2−y 1
；③BC 。

6.
〔2023•天津二模〕某同学在家做“用单摆测量重力加速度〞的试验． 〔1〕图甲中有关器材的选择和安装最合理的是C ；
〔2〕由于家中没有游标卡尺，无法测量小球的直径d ，该同学将摆线长度作为摆长l ，测得多组周期T 和l 的数据，作出l ﹣T 2图像．该同学试验得到的l ﹣T 2图像应是图乙中的a 〔选填“a 〞或“b 〞或“c 〞〕；该同学利用所作出的l ﹣T 2图像的斜率采纳正确的数据处理方法计算出了当地的重力加速度大小，从理论上讲用这种方法得到的当地重力加速度 精确 〔选填“偏大〞或“偏小〞或“精确〞〕。

【解答】解：〔1〕为了减小空气阻力对小球的影响，小球应选择小铁球；小球摇摆过程中，应保证摆长保持不变，故悬点处应固定不动，细线选择弹性小的细丝线，故C正确，ABD错误；
应选：C。

〔2〕设小球的半径为r，依据单摆周期公式可得T=2π√l+r g
可得l=
g
4π2
T2−r
那么该同学试验得到的l﹣T2图像应是图乙中的a。

依据l=
g
4π2
T2−r
可知l﹣T2图像的斜率为k=
g 4π2
可知图像斜率与小球半径无关，故利用所作出的l﹣T2图像的斜率采纳正确的数据处理方法计算出了当地的重力加速度大小，从理论上讲用这种方法得到的当地重力加速度精确。

故答案为：〔1〕C；〔2〕a；精确
7.〔2023春•黄埔区校级期中〕小明做“用单摆测定重力加速度〞的试验，就地取材组装了如下几
种试验装置。

〔1〕以下最合理的装置是D。

〔2〕为了完本钱试验，小明需要用游标卡尺测小球直径，如图甲所示，游标卡尺测摆球直径为d ＝cm；然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间如图乙所示为s。

〔3〕在测量摆长后，测量周期时，摆球振动过程中悬点处摆线的固定消失松动，摆长略微变长，这将会导致所测重力加速度的数值偏小〔选填“偏大〞“偏小〞或“不变〞〕。

〔4〕在某次试验中，由于没有游标卡尺，无法测所使用小球的直径，试验中将摆线长度作为摆长L，测得多组周期T和L的数据，作出l﹣T2图像，如图丙所示。

试验得到的L﹣T2图像是a〔选填“a〞“b〞或“c〞〕。

【解答】解：〔1〕为了减小误差小球应选取质量大体积小即密度大的铁球，还需要保证摇摆过程中摆线的长度不变，应实行铁夹夹住细丝线，故ABC错误，D正确；
应选：D。

〔2〕游标卡尺的精度为，其读数主尺与游标尺的读数之和，故摆球直径d＝21mm+5×＝＝
由秒表读得50次全振动的时间为t＝＝
〔3〕在测量了摆长后，测量周期时，摆球振动过程中悬点处摆线的固定消失松动，摆长略微变长，而我们用于计算的摆长的测量值偏小，这将会导致所测重力加速度的数值偏小。

〔4〕摆线长度与摆球半径之和是单摆摆长L，摆线长l，那么L＝l+r
由单摆周期公式T=2π√L
g得
l=
g
4π2T2−r
由图示图象可知，试验得到的l﹣T2图象应当是a。

故答案为：〔1〕D；〔2〕，；〔3〕偏小；〔4〕a。