新高考数学基本不等式复习讲义

基本不等式复习讲义
类型一：利用基础性质求解最值
例1 函数y ＝x ＋1
x
(x >0)的最小值为________．
【变式1】 函数y ＝x ＋1
x (x < 0)的最小值为________.
【变式2】 若x <54，则f (x )＝4x ＋1
4x －5的最大值为________．
【变式3】 若0,0x y ≥≥，且26xy x y +-=，则x y +的最小值为_________．
练习1．已知0x >，则下列说法正确的是（ ） A ．1
2x x
+-有最大值0 B ．1
2x x
+-有最小值为0 C ．1
2x x
+
-有最大值为－4 D ．1
2x x
+
-有最小值为－4 练习2．已知x >3，则对于4
3
y x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．y 有最大值7
B ．y 有最小值7
C ．y 有最小值4
D ．y 有最大值4
练习3.（多选题）下列说法正确的是（ ） A ．()1
0x x x
+
>的最小值是2
B 2
C 2
的最小值是2
D ．4
23x x
--
的最小值是2-
类型二：常数代换法求最值
例2.已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1
b 的最小值为________．
【变式1】 母题的条件不变，则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1
b 的最小值为________．
【变式2】 母题的条件和结论互换即：已知a ＞0，b ＞0，1a ＋1
b ＝4，则a ＋b 的最小值为
________．
【变式3】 若母题条件变为“已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3”，则2a ＋1
b 的最小值为________．
例3．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16
b －1的最小值为________.
【变式4】若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4
b ＋1的最小值是________．
【变式5】已知x >0，y >0，且
1x ＋1
＋1y ＝1
2，则x ＋y 的最小值为__________.
练习1若0m >，0n >，且2m n +=，则12
m n
+的最小值为（ ）．
A ．3+
B
C ．3
D ．52
练习2已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝1
2，则x ＋y 的最小值为( ) A.3
B.5
C.7
D.9
练习3正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋4
3b ＋2的最小值为( )
A.13
B.1
C.2
D.59
练习4．（多选题）若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列说法错误的是（ ）
A ．ab 有最小值14
B ．
C ．
11
a b
+有最小值4 D ．22a b +练习5．（多选题）已知正数a ，b 满足21a b +=，则（ ）
A ．ab 的最大值为18
B ．224a b +的最小值为12
C ．12
a b
+的最小值为8
D ．1
a a
+
的最小值为2
类型三：“和”与“积”的互换
例4.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________.
【变式1】已知正数x ，y 满足8xy x y =++，则x y +的最小值为_________.
【变式2】已知实数y x ,满足142
2
=-+xy y x ，则y x +2的最大值是_________.
【变式3】已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.
练习1若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是________.
练习2已知0,>y x 且满足3=++y x xy 则xy 的最大值是____________.
类型四：
二次一次 或 一次
二次
的处理方法 例5.已知x >0，则x
x 2＋4的最大值为________
例6.当2x >-时，函数246
2
++=+x x y x 的最小值为___________．
【变式1】已知b a ,为正实数，且2=+b a ，则1
22
2+++b b a a 的最小值是___________.
【变式2】设y x ,是正实数，且1=+y x ，则1
222+++y y x x 的最小值是___________.
类型五：基本不等式求解恒成立问题
例7已知0a >，0b >，若不等式313n a b a b
+≥+恒成立，则n 的最大值为__________.
【变式1】已知0a >，0b >，若不等式122m
a b a b
+≥+恒成立，则实数m 的最大值为（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
练习1 设1
02
m <<，若2212k m m +
≥-恒成立，则k 的最大值为___________.
练习2 若两个正实数x ，y 满足14
1x y
+=，且不等式28x y m m +≤-有解，则实数m 的取值
范围是______．
练习3 已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最
小值为( ) A.2
B.4
C.6
D.8
类型六：其它基本不等式题型综合
1.设z y x ,,为正实数，032=+-z y x ，则xz
y 2
的最小值是____________.
2. 若正实数z y x ,,满足02=+-z y x ，则
z
y xz
+的最大值是____________.
3. 已知实数x ，y >0，且x 2－xy ＝2，则x ＋6x ＋1
x －y 的最小值是____________.
4.已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8
a ＋
b 的最小值为__________.
5.正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2
的最小值为( ) A.13 B.1 C.2
D.59
6.(多选题)若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋b ＋c ≤3 B.(a ＋b ＋c )2≥3 C.1a ＋1b ＋1
c ≥23
D.a 2＋b 2＋c 2≥1
7.2020 年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响. 在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失. 为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量) x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足 x = 4−
2
1
m +. 已知生产该产品的固定成本为 8万元，生产成本为16万元 / 万件，厂家将产品的销售价格定为
816x
x
+万元 / 万件 (产品年平均成本)的1.5倍. (1)将2022年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
课后作业
1.（多选题）已知0,0x y >>，且2x y +=，则下列结论中正确的是（ ） A ．xy 有最小值1 B ．22x y +有最小值2 C ．22
x y
+有最小值4
D ．x y +有最小值4
2.若0a >，0b >，2a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．2ab ≥ B ．2a b +≤ C ．213a b
+≥
D ．222a b +≥
3.（多选题）已知正数a ，b 满足21a b +=，则（ ）
A ．ab 的最大值为1
8
B ．224a b +的最小值为12
C ．12
a b
+的最小值为8
D ．1
a a
+
的最小值为2
4.（1）已知a ＞0，b ＞0，且4a +b ＝1，求ab 的最大值； （2）若a ＞0，b ＞0，且a +b ＝4，求的最小值．
5.如图，欲在山林一侧建矩形苗圃，苗圃左侧为林地，三面通道各宽2m ，苗圃与通道之间由栅栏隔开．
(1)若苗圃面积25000m ，求栅栏总长的最小值；
(2)若苗圃带通道占地总面积为25000m ，求苗圃面积的最大值．。