2014-2015年江苏省连云港市灌云一中高二(下)期中数学试卷(理科)和答案

2014-2015学年江苏省连云港市灌云一中高二（下）期中数学试
卷（理科）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题
纸相应位置上．）
1．（5分）若∁n3＝∁n5，则n＝．
2．（5分）实数x，y满足（2﹣i）x+（1+i）y＝3，则x+y的值是．3．（5分）随机变量X的概率分布如下，则P（X≤1）＝．
4．（5分）已知A，B，C，D四点，其中任意三点不在一条直线上，从中取出两点作直线，共能作出条直线．
5．（5分）（2x﹣1）6的展开式中含x3的项的系数为．
6．（5分）320被5除所得的余数为．
7．（5分）由0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成个没有重复数字的三位偶数．
8．（5分）若（2x+）4＝a0+a1x+a2x2+a3x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为．
9．（5分）三个人独立地翻译密码，每人译出此密码的概率依次为，，，则恰有两人译出密码的概率为．
10．（5分）设复数z满足条件|z|＝1，那么的最大值是．11．（5分）抛掷两颗质地均匀的骰子各1次，在向上的点数之和为7的条件下，其中有1个的点数为4的概率是．
12．（5分）已知f（n）＝+（n∈N*），则集合{f（n）}＝．13．（5分）已知f（2）＝3，对于∀m，n∈N*满足f（m+n）＝f（m）+f（n）+mn，则f（n）＝．
14．（5分）在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则＝
+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，
且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答
时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（14分）实数m取何值时，复数z＝m2（1+i）﹣（m+i）
（1）是实数；
（2）是纯虚数；
（3）对应的点位于复平面的第一象限．
16．（14分）已知的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为．（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项．
17．（14分）某医院有内科医生6人，外科医生4人．
（1）现要选派4名医生参加赈灾医疗队，内科医生和外科医生都要有人，不同的选派方法有多少种？
（2）现要选派6名医生参加3个不同地方的赈灾医疗队，要求每个地方由一名外科医生和一名内科医生组成，不同的选派方法有多少种？
18．（16分）某次乒乓球比赛的决赛在甲、乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为
（1）求比赛三局甲获胜的概率；
（2）求甲获胜的概率．
19．（16分）某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．
（1）求恰有2人申请A大学的概率；
（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E（X）．
20．（16分）已知数列{a n}满足a n+1＝a n2﹣na n+1（n∈N*），且a1＝3．（1）计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列{a n}的通项公式，并给出证明；（2）求证：当n≥2时，a n n≥4n n．
2014-2015学年江苏省连云港市灌云一中高二（下）期中
数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题
纸相应位置上．）
1．（5分）若∁n3＝∁n5，则n＝8．
【解答】解：∵∁n3＝∁n5，
∴n＝3+5＝8．
故答案为：8．
2．（5分）实数x，y满足（2﹣i）x+（1+i）y＝3，则x+y的值是2．
【解答】解：因为实数x，y满足（2﹣i）x+（1+i）y＝3，可得
所以x＝y＝1
所以x+y＝2
故答案为：2．
3．（5分）随机变量X的概率分布如下，则P（X≤1）＝0.4．
【解答】解：由离散型随机变量的概率分布列知：
1﹣0.3﹣m﹣0.5﹣0.1＝0，
解得m＝0.1．
则P（X≤1）＝P（X＝0）+P（X＝1）＝0.3+0.1＝0.4．
故答案是：0.4．
4．（5分）已知A，B，C，D四点，其中任意三点不在一条直线上，从中取出两点作直线，共能作出6条直线．
【解答】解：根据题意，有4个点其中任意三点不在一条直线上，
从中取出两点，有C42＝6种取法，即可以作出6条直线；
故答案为：6．
5．（5分）（2x﹣1）6的展开式中含x3的项的系数为﹣160．
【解答】解：（2x﹣1）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•（2x）6﹣r，令6﹣r＝3，可得r＝3，
故展开式中含x3的项的系数为﹣•23＝﹣160，
故答案为：﹣160．
6．（5分）320被5除所得的余数为1．
【解答】解：34个位数为1，
故38个位数也为1，
故312个位数也为1，
故316个位数也为1，
故320个位数也为1，
故320被5除所得的余数是1，
故答案为：1
7．（5分）由0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成52个没有重复数字的三位偶数．
【解答】解：根据题意，要求用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的三位偶数，则其个位数字必须是0或2或4，
分2种情况讨论：
①、如果个位数字为0，在剩余5个数字中任选2个，安排在百位与十位，有
A52＝20种情况，
②、如果个位数字为2或4，由于0不能在百位，则百位有4种选择，十位有4
种选择个位上有2种选选择，则此时有4×4×2＝32种情况，
则一共有20+32＝52种情况，即有52个没有重复数字的三位偶数；
故答案为：52．
8．（5分）若（2x+）4＝a0+a1x+a2x2+a3x2+a3x3+a4x4，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2的值为1．
【解答】解：对于，
令x＝1得＝a0+a1+a2+a3+a4
令x＝﹣1得＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4
两式相乘得1＝（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3）2
故答案为1
9．（5分）三个人独立地翻译密码，每人译出此密码的概率依次为，，，
则恰有两人译出密码的概率为．
【解答】解：记“第i个人破译出密码”为事件A i（i＝1，2，3），
依题意有P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝，
且A1，A2，A3相互独立．
设“恰好二人破译出密码”为事件B，则B＝A 1•A2•+A1••A3+•A2•A3，∴P（B）＝P（A 1•A2•）+P（A1••A3）+P（•A2•A3）＝+
×（1﹣）×+（1﹣）×＝，
故答案为：．
10．（5分）设复数z满足条件|z|＝1，那么的最大值是4．
【解答】解：∵|z|＝1，∴可设z＝cosα+i sinα，
于是＝＝＝
＝4．
∴的最大值是4．
故答案为4
11．（5分）抛掷两颗质地均匀的骰子各1次，在向上的点数之和为7的条件下，
其中有1个的点数为4的概率是．
【解答】解：抛掷两颗质地均匀的骰子各1次，在向上的点数之和为7的基本事件有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共6个，
其中其中有1个的点数为4的有（3，4），（4，3）共2个，
故其中有1个的点数为4的概率P＝＝，
故答案为：
12．（5分）已知f（n）＝+（n∈N*），则集合{f（n）}＝{﹣
2，2}．
【解答】解：∵＝＝＝i，∴＝，
∴f（n）＝+＝i2n+（﹣i）2n＝2（﹣1）n＝±2，
∴集合{f（n）}＝{﹣2，2}．
故答案为：{﹣2，2}．
13．（5分）已知f（2）＝3，对于∀m，n∈N*满足f（m+n）＝f（m）+f（n）+mn，
则f（n）＝．
【解答】解：f（2）＝3，对于∀m，n∈N*满足f（m+n）＝f（m）+f（n）+mn，令m＝n＝1，可得3＝f（1）+f（1）+1，解得f（1）＝1．
令m＝1，f（m+n）＝f（m）+f（n）+mn，化为：f（n+1）＝f（n）+1+n，
可得f（2）＝f（1）+1+1，
f（3）＝f（2）+1+2，
f（4）＝f（3）+1+3，
…
f（n）＝f（n﹣1）+1+n﹣1，
把以上各式相加可得：f（n）＝f（1）+1（n﹣1）+[1+2+3+…+（n﹣1）]
＝1+n﹣1+
＝．
故答案为：．
14．（5分）在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则＝
+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，
且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则+．
【解答】解：∵P A、PB、PC两两互相垂直，∴P A⊥平面PBC．
设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，
由已知有：PD＝，h＝PO＝，
∴，即．
故答案为：．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答
时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（14分）实数m取何值时，复数z＝m2（1+i）﹣（m+i）
（1）是实数；
（2）是纯虚数；
（3）对应的点位于复平面的第一象限．
【解答】解：复数z＝m2（1+i）﹣（m+i）＝m2﹣m+（m2﹣1）i．
（1）由m2﹣1＝1，解得m＝±1．
∴m＝±1时，复数z是实数．
（2）由，解得m＝0，
∴m＝0时，复数z是纯虚数．
（3）由，解得m＞1，或m＜﹣1．
∴m＞1，或m＜﹣1时，对应的点位于复平面的第一象限．
16．（14分）已知的展开式中第3项的系数与第5项的系数之比为．（1）求n的值；
（2）求展开式中的常数项．
【解答】解：（1）由题设，得，
则⇒n2﹣5n﹣50＝0⇒n＝10或n＝﹣5（舍）
（2）＝
当
即当r＝8时为常数项．
17．（14分）某医院有内科医生6人，外科医生4人．
（1）现要选派4名医生参加赈灾医疗队，内科医生和外科医生都要有人，不同的选派方法有多少种？
（2）现要选派6名医生参加3个不同地方的赈灾医疗队，要求每个地方由一名外科医生和一名内科医生组成，不同的选派方法有多少种？
【解答】解：（1）由题意，所有的选法共有C104种，从中减去只有内科医生和外科医生的选法，
故满足条件的选法共有C104﹣C64﹣C44＝194种；
（2）不同的选派方法有C61C41C51C31C41C21＝2880种．
18．（16分）某次乒乓球比赛的决赛在甲、乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往比赛经验，甲胜乙的概率为
（1）求比赛三局甲获胜的概率；
（2）求甲获胜的概率．
【解答】解：（1）比赛三局甲获胜说明这三局中，甲全部获胜，而甲每场获胜的概率都是，
故比赛三局甲获胜的概率为•＝．
（2）甲比赛4局获胜的概率为•••＝，甲比赛5局获胜的概率为
•••＝，
故甲获胜的概率为++＝．
19．（16分）某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．
（1）求恰有2人申请A大学的概率；
（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E（X）．
（1）所有可能的方式有34种，恰有2人申请A大学的申请方式有【解答】解：
种，
从而恰有2人申请A大学的概率为．
（II）X＝1，2，3，则
P（X＝1）＝＝；
P（X＝2）＝＝；
P（X＝3）＝＝，
申请大学数量X的概率分布：：
EX＝1×+2×+3×＝．
20．（16分）已知数列{a n}满足a n+1＝a n2﹣na n+1（n∈N*），且a1＝3．（1）计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列{a n}的通项公式，并给出证明；（2）求证：当n≥2时，a n n≥4n n．
【解答】解：（1）∵，且a1＝3．
∴a2＝4，a3＝5，a4＝6
猜想a n＝n+2
证明：①当n＝1时显然成立
②假设n＝k时（k≥1）时成立，即a k＝k+2
则n＝k+1时，a k+1＝＝
＝k+3即n＝k+1时命题成立
综上可得，a n＝n+2
证明：（2）∵a n＝n+2，n≥2
∴＝（n+2）n＝
≥
≥5n n﹣2n n﹣1＝4n n+n n﹣1（n﹣2）≥4n n，即证。