[原创]2016年 《南方新中考》 数学 第一部分 第四章 第3讲 第2课时 特殊的平行四边形[配套

数学知识
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【试题精选】 5.(2015 年湖北鄂州)如图 4-3-30，在正方形 ABCD 的外侧， 作等边三角形 ADE，连接 BE，CE； (1)求证：BE＝CE； (2)求∠BEC 的度数.
图 4-3-30
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(1)证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°. ∵△ADE 为正三角形， ∴AE＝AD＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°. ∴∠BAE＝∠CDE＝150°. 在△BAE 和△CDE 中，
求证：△ABG≌△AFG.
图 4-3-32
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解：(1)在正方形 ABCD 中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝
∠B＝∠C＝90°.
∵将△ADE 沿 AE 对折至△AFE，
∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°.
∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.
在Rt△ABG和Rt△AFG中，
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(1)证明：如图 4-3-29，连接 CF.
在 Rt△CDF 和 Rt△CEF 中，
CF＝CF， CD＝CE，
∴Rt△CDF≌Rt△CEF(HL).
图 4-3-29
∴DF＝EF.
∵AC 是正方形 ABCD 的对角线，
∴∠EAF＝45°.∴△AEF 是等腰直角三角形.
∴AE＝EF.∴DF＝AE.
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【试题精选】 1.(2015 年广西钦州)如图 4-3-23，要使 ABCD 成为菱形， 则需添加的一个条件是( )
图 4-3-23
A.AC＝AD
B.BA＝BC
C.∠ABC＝90°
D.AC＝BD
答案：B
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2.(2014年贵州贵阳)如图4324，在Rt△ABC中，∠ACB ＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE 绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，DC.
∴△ABG≌△C′DG(AAS).
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(2)解：∵由(1)可知：△ABG≌△C′DG，∴GD＝GB. ∴AG＋GB＝AD. 设 AG＝x，则 GB＝8－x. 在Rt△ABG中，∵AB2＋AG2＝BG2，
即 62＋x2＝(8－x)2，解得 x＝74. 7
∴tan∠ABG＝AAGB＝46＝274.
AG＝AG， AB＝AF，
∴△ABG≌△AFG(HL).
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3.(2012年广东)如图4333，在矩形纸片ABCD中，AB＝6， BC＝8.把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD 于点G.E，F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把 △FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合.
(2)过点D 作DF⊥CE，垂足为点F.先证明△BCD 是等边三 角形，得出∠BDC＝∠BCD＝60°，CD＝BC＝6，再由平行线 的性质得出∠DCE＝∠BDC＝60°，在Rt△CDF 中，由三角函 数求出 DF 即可.
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证明：(1)∵AE∥CD，CE∥AB， ∴四边形 ADCE 是平行四边形. 又∵∠ACB＝90°，D 是 AB 的中点， ∴CD＝12AB＝BD＝AD. ∴平行四边形 ADCE 是菱形.
(1)求证：四边形 ADCF 是菱形； (2)若 BC＝8，AC＝6，求四边形 ABCF 的周长.
图 4-3-24
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证明：(1)∵将△ADE 绕点 E 旋转 180°得到△CFE，
∴AE＝CE，DE＝EF.
∴四边形 ADCF 是平行四边形.
∵D，E 分别为 AB，AC 边上的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE∥BC.
形，四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形
是菱形.
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知识点
内容
边
角
对角线
对称性
矩形
对边平行 且相等
__四__个__角__都__ 对角线相等且 __是__直__角____ ___互__相__平__分___
轴对称，中 心对称
特殊平 行四边 形的性
质
对角线互相____
菱形
对边平行， _对__角__相__等__， _垂__直__平__分___，每条 轴对称，中 四边相等 _邻__角__互__补__ 对角线平分一组 心对称
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1.(2015年广东)如图4331，菱形ABCD的边长为6， ∠ABC ＝60°，则对角线 AC 的长是__________.
答案：6
图 4-3-31
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2.(2015 年广东)如图 4-3-32，在边长为 6 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，将△ADE 沿 AE 对折至△AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连接 AG.
A∠BB＝ACE＝D，∠CDE， AE＝DE，
∴△BAE≌△CDE(SAS).∴BE＝CE.
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(2)解：∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE. ∴∠ABE＝∠AEB. 又∵∠BAE＝150°，∴∠ABE＝∠AEB＝15°. 同理可得∠CED＝15°.∴∠BEC＝60°－15°×2＝30°. [解题技巧]与正方形有关的计算及推理题常与三角形的全 等、勾股定理、方程、三角函数相联系，有关正方形的判定方 法较多，一般在矩形、菱形的基础上，从边、角、对角线三个 方向进一步分析、判断与证明.
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4.(2015 年山东聊城)如图 4-3-27，在△ABC 中，AB＝BC， BD 平分∠ABC.四边形 ABED 是平行四边形，DE 交 BC 于点 F， 连接 CE.
求证：四边形 BECD 是矩形.
图 4-3-27
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证明：∵AB＝BC，BD 平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD.
对角
对角线互相垂直
正方形
对边平行， 四边相等
四个角都是 直角
平分且___相__等___， 轴对称，中 每条对角线平分 心对称
一组对角
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(续表)
知识点
内容
(1)有一个角是直角的平行四边形；
矩形 (2)有三个角是直角的四边形；
特殊平 行四边 形的判
定
(3)两条对角线相等且互相平分 (1)有一组邻边相等的平行四边形； 菱形 (2)四边相等的四边形； (3)对角线互相垂直的平行四边形 (1)有一组邻边相等的矩形；
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(2)过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图4-3-22，DF 即为
菱形 ADCE 的高.
∵∠B＝60°，CD＝BD，
∴△BCD 是等边三角形.
∴∠BDC＝∠BCD＝60°，CD＝BC＝6.
∵CE∥AB，∴∠DCE＝∠BDC＝60°.
图 4-3-22
又∵CD＝BC＝6， ∴在 Rt△CDF 中，DF＝CD·sin60°＝6× 23＝3 3.
又∵AB＝BE，∴BE＝DC. ∴四边形 BECD 为平行四边形.∴BD＝EC. ∴在△ABD 与△BEC 中，
AB＝BE， BD＝EC， AD＝BC，
∴△ABD≌△BEC(SSS).
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(2)由(1)知，四边形 BECD 为平行四边形，则OD＝OE， OC＝OB.
∵四边形 ABCD 为平行四边形， ∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD. 又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD＋∠ODC， ∴∠OCD＝∠ODC.∴OC＝OD. ∴OC＋OB＝OD＋OE，即 BC＝ED. ∴平行四边形 BECD 为矩形.
图 4-3-25
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[思路分析](1)根据平行四边形的判定与性质得到四边形 BECD 为平行四边形，然后由 SSS 推出两三角形全等即可；
(2)欲证明四边形 BECD 是矩形，只需证明 BC＝ED 即可. 证明：(1)在平行四边形 ABCD 中，AD＝BC，AB＝CD， AB∥CD，则 BE∥CD.
(1)求证：△ABG≌△C′DG； (2)求tan∠ABG的值； (3)求EF的长.
图 4-3-23
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(1)证明：∵△BDC′由△BDC 翻折而成， ∴∠C′＝∠BAG＝90°，C′D＝CD＝AB，∠AGB＝ ∠DGC′， 在△ABG 与△C′DG 中，
∠AGB＝∠DGC′， ∠BAD＝∠C′， AB＝C、角相等、 直线平行、垂直等，常与三角形全等、勾股定理、方程相结合 进行相关问题的计算与证明.
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矩形的性质与判定 例2：(2015 年四川内江)如图 4-3-25，将 ABCD 的边 AB 延 长至点 E，使 AB＝BE，连接 DE，EC，BD，DE 交 BC 于点 O. (1)求证：△ABD≌△BEC； (2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形 BECD 是矩形.
∵∠ACB＝90°，∴∠AED＝90°.∴DF⊥AC.
∴四边形 ADCF 是菱形.
(2)在 Rt△ABC 中，BC＝8，AC＝6，∴AB＝10.
∵D 是 AB 边上的中点，∴AD＝5.
∵四边形 ADCF 是菱形，∴AF＝FC＝AD＝5.
∴四边形 ABCF 的周长为 8＋10＋5＋5＝28.
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(2)解：∵AB＝2，∴AC＝ 2AB＝2 2. ∵CE＝CD，∴AE＝2 2－2. 如图 4-3-29，过点 E 作 EH⊥AB 于点 H， 则△AEH 是等腰直角三角形. ∴EH＝AH＝ 22AE＝ 22×(2 2－2)＝2－ 2. ∴BH＝2－(2－ 2)＝ 2.
在 Rt△BEH 中，BE2＝BH2＋EH2＝( 2)2＋(2－ 2)2＝8－4 2.
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菱形的性质与判定
例1：(2015年贵州贵阳)如图4321，在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，D 为 AB 的中点，且 AE∥CD，CE∥AB.
(1)证明：四边形 ADCE 是菱形；
(2)若∠B＝60°，BC＝6，求菱形
ADCE 的高.(计算结果保留根号)
图 4-3-21
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[思路分析](1)先证明四边形 ADCE 是平行四边形，再证出 一组邻边相等，即可得出结论；
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正方形的性质与判定 例 3：(2014 年广西贵港)如图 4-3-28，在正方形 ABCD 中， 点 E 是对角线 AC 上一点，且 CE＝CD，过点 E 作 EF⊥AC， 交 AD 于点 F，连接 BE. (1)求证：DF＝AE； (2)当 AB＝2 时，求 BE2 的值.
图 4-3-28
第2课时 特殊的平行四边形
数学知识
1
1.理解矩形、菱形、正方形的概念和性质，了解它们之间
的关系.
2.探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四
个角都是直角，对角线相等.菱形的四条边相等，对角线互相垂
直，正方形具有矩形和菱形的一切性质.以及它们的判定定理：
三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩
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(3)解：∵△AEF 是△DEF 翻折而成，∴EF 垂直平分 AD.
∴HD＝12AD＝4. ∵tan∠ABG＝tan∠ADE＝274， ∴EH＝HD×274＝4×274＝76. ∵EF 垂直平分 AD，AB⊥AD，∴HF 是△ABD 的中位线.
∴HF＝12AB＝12×6＝3. ∴EF＝EH＋HF＝76＋3＝265.
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【试题精选】 3.(2015年福建南平)如图4326，矩形ABCD中，AC与BD 交于点 O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为 E，F. 求证：BE＝CF.
图 4-3-36
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证明：∵四边形 ABCD 为矩形，∴AC＝BD，则 BO＝CO. ∵BE⊥AC 于 E，CF⊥BD 于 F， ∴∠BEO＝∠CFO＝90°. 又∵∠BOE＝∠COF，∴△BOE≌△COF.∴BE＝CF.
∵四边形 ABED 是平行四边形，
∴BE∥AD，BE＝AD.∴BE∥CD，BE＝CD.
∴四边形 BECD 是平行四边形.
∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°.
∴ BECD 是矩形.
[名师点评]矩形的四个角为直角，常将矩形转化为直角三
角形；矩形的对角线将矩形分成四个等腰三角形，这些思路及
矩形性质是证明线段、角相等以及线段平行、垂直的重要依据.
数学知识
34
正方形 (2)有一个角是直角的菱形；
(3)对角线相等且互相垂直平分的四边形
数学知识
4
(续表)
知识点
内容
特殊平 行四边
形之间
的关系
及相互
转化
数学知识
5
(续表)
知识点
内容
特殊平 行四边
平行四 平行四边形面积＝底×高
边形 矩形 矩形面积＝长×宽
形的面 积计算
菱形 正方形
菱形面积＝底×高＝12×两条对角线的积 正方形面积＝边长×边长＝12×两条对角线的积