九年级上册数学 期末试卷测试卷(含答案解析)

九年级上册数学 期末试卷测试卷（含答案解析）
一、选择题
1．如图，AB 为圆O 直径，C 、D 是圆上两点，∠ADC=110°，则∠OCB 度（ ）
A ．40
B ．50
C ．60
D ．70
2．如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，2DE =，8AB =，则O 的半径
为（ ）
A ．5
B ．8
C ．3
D ．10
3．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ）
A ．x ＝0
B ．x ＝3
C ．x 1＝0，x 2＝3
D ．x 1＝0，x 2＝－3
4．小广,小娇分别统计了自己近5次数学测试成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳
定性的是( ) A ．方差 B ．平均数 C ．众数 D ．中位数 5．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A ．2321x x =+
B ．3230x x --
C ．221x y -=
D ．20x y +=
6．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC 的顶点都在格点上，将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，则顶点A 所经过的路径长为( )
A ．10π
B ．103
C ．
10π D ．π
7．点P 1（﹣1，1y ），P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．321y y y >>
B ．312y y y >=
C ．123y y y >>
D ．123y y y =>
8．在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝1
3
，那么sin A 的值是（ ） A ．
12
B ．
13
C ．
1010
D ．
310
9．“一般的，如果二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根．——苏科版《数学》九年级（下册）P 21”参考上述教材中的话，判断方程x 2﹣2x =1
x
﹣2实数根的情况是 （ ） A ．有三个实数根 B ．有两个实数根 C ．有一个实数根 D ．无实数根 10．抛物线y ＝（x ﹣2）2+3的顶点坐标是（ ）
A ．(2，3)
B ．(﹣2，3)
C ．(2，﹣3)
D ．(﹣2，﹣3)
11．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝130°，则∠AOB 的度数为（ ）
A ．50°
B ．80°
C ．100°
D ．110°
12．如图，△ABC 中AB 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0），以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC 的位似比为2：1．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）
A ．12
a -
B ．1
(1)2
a -
+ C ．1
(1)2
a -
- D ．1
(3)2
a -
+ 二、填空题
13．如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色
区域的概率为____．
14．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为___． 15．当a≤x≤a+1时，函数y=x 2﹣2x+1的最小值为1，则a 的值为_____． 16．若关于x 的一元二次方程12
x 2
﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，则代数式（k-2)2+2k(1-k)的值为______．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 正半轴上，且OC ＝O B ．点P 为线段AB （不含端点）上一动点，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°得线段OQ ，连接CQ ，则线段CQ 的最小值为___________．
18．如图，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=_________ ．
19．如图，抛物线2143115y x x =
--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，⊙B 的圆心为B ，半径是1，点P 是直线AC 上的动点，过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，则切线长PQ 的最小值是__．
20．一组数据：3，2，1，2，2，3，则这组数据的众数是_____．
21．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若∠C=140°，则∠BOD=____°．
22．甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是2
S 甲、2
S 乙，且
22S S >甲乙，则队员身高比较整齐的球队是_____．
23．如图，一次函数y ＝x 与反比例函数y ＝
k
x
（k ＞0）的图像在第一象限交于点A ，点C 在以B （7，0）为圆心，2为半径的⊙B 上，已知AC 长的最大值为7，则该反比例函数的函数表达式为__________________________.
24．如图，二次函数y ＝x （x ﹣3）（0≤x ≤3）的图象，记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；……若P （2020，m ）在这个图象连续旋转后的所得图象上，则m ＝_____．
三、解答题
25．（1）解方程：2670x x +-= （2）计算：)
4sin 45831tan 30︒--︒
26．如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝4，点P 在AmB 上运动（点P 不与点A 、B 重合），且∠APB ＝30°，设图中阴影部分的面积为y ． （1）⊙O 的半径为 ；
（2）若点P 到直线AB 的距离为x ，求y 关于x 的函数表达式，并直接写出自变量x 的取值范围．
27．学校为了解九年级学生对“八礼四仪”的掌握情况，对该年级的500名同学进行问卷测试，并随机抽取了10名同学的问卷，统计成绩如下： 得分 10 9 8 7 6 人数
3
3
2
1
1
（1）计算这10名同学这次测试的平均得分；
（2）如果得分不少于9分的定义为“优秀”，估计这 500名学生对“八礼四仪”掌握情况优秀的人数；
（3）小明所在班级共有40人，他们全部参加了这次测试，平均分为7.8分．小明的测试成绩是8分，小明说，我的测试成绩在班级中等偏上，你同意他的观点吗？为什么？
28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()2
0y ax bx c a =++≠ 的顶点为()2,0A -，且经
过点()5,9B -与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC .
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）点P 为该抛物线上点C 与点B 之间的一动点.
①若1
5
PAB ABC S S ∆∆=
，求点P 的坐标. ②如图②，过点B 作x 轴的垂线，垂足为D ，连接AP 并延长，交BD 于点M ，连接BP
延长交AD 于点N .试说明()DN DM DB +为定值.
29．某玩具商店以每件60元为成本购进一批新型玩具，以每件100元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价1元，则每天可多卖2件. (1)若商店打算每天盈利1200元，每件玩具的售价应定为多少元？
(2)若商店为追求效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店每天盈利最多？最多盈利多少元？
30．已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c （b ，c 为常数）的图象经过点（2，3），（3，0）． （1）则b ＝，c ＝；
（2）该二次函数图象与y 轴的交点坐标为，顶点坐标为； （3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象； （4）根据图象，当－3＜x ＜2时，y 的取值范围是．
31．如果一个直角三角形的两条直角边的长相差2cm ，面积是242cm ，那么这个三角形的两条直角边分别是多少？
32．（如图 1，若抛物线 l 1 的顶点 A 在抛物线 l 2 上，抛物线 l 2 的顶点 B 也在抛物线 l 1 上（点 A 与点 B 不重合）．我们称抛物线 l 1，l 2 互为“友好”抛物线，一条抛物线的“友 好”抛物线可以有多条．
（1）如图2，抛物线 l 3：21
(2)12
y x =
-- 与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于抛物线的对称轴对称，则点 D 的坐标为 ；
（2）求以点 D 为顶点的 l 3 的“友好”抛物线 l 4 的表达式，并指出 l 3 与 l 4 中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；
（3）若抛物线 y ＝a 1(x －m)2＋n 的任意一条“友好”抛物线的表达式为 y ＝a 2(x －h)2＋k ， 写出 a 1 与a 2的关系式，并说明理由．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据角的度数推出弧的度数,再利用外角∠AOC的性质即可解题.【详解】
解：∵ ADC=110°,即优弧ABC的度数是220°,
∴劣弧ADC的度数是140°,
∴∠AOC=140°,
∵OC=OB,
∴∠OCB=1
2
∠AOC=70°,
故选D.
【点睛】
本题考查圆周角定理、外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
作辅助线，连接OA，根据垂径定理得出AE=BE=4，设圆的半径为r，再利用勾股定理求解即可.
【详解】
解：如图，连接OA，
设圆的半径为r ，则OE=r-2， ∵弦AB CD ⊥, ∴AE=BE=4，
由勾股定理得出：()2
2242r r =+-， 解得：r=5， 故答案为：A. 【点睛】
本题考查的知识点主要是垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用勾股定理等几何知识点来分析、判断或解答.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
先移项，然后利用因式分解法求解． 【详解】 解：（1）x 2=-3x ， x 2+3x=0， x （x+3）=0， 解得：x 1=0，x 2=-3． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数据越稳定．要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方差． 【详解】
平均数，众数，中位数都是反映数字集中趋势的数量，方差是反映数据离散水平的数据，也就会说反映数据稳定程度的数据是方差
故选A 考点：方差
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【详解】
解：A ． 2321x x =+是一元二次方程，故本选项符合题意； B ． 3230x x --是一元三次方程，故本选项不符合题意； C ． 221x y -=是二元二次方程，故本选项不符合题意； D ． 20x y +=是二元一次方程，故本选项不符合题意； 故选A ． 【点睛】
此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键．
6．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 如图所示：
在Rt △ACD 中，AD=3，DC=1， 根据勾股定理得：2210AD CD +=
又将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°， 则顶点A 所经过的路径长为601010
π⨯=．
故选C.
7．D
解析：D 【解析】
试题分析：∵2
2y x x c =-++，∴对称轴为x=1，P 2（3，2y ），P 3（5，3y ）在对称轴
的右侧，y 随x 的增大而减小，∵3＜5，∴23y y >，根据二次函数图象的对称性可知，P 1
（﹣1，1y ）与（3，2y ）关于对称轴对称，故123y y y =>，故选D ． 考点：二次函数图象上点的坐标特征．
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据正切函数的定义，可得BC ，AC 的关系，根据勾股定理，可得AB 的长，根据正弦函数的定义，可得答案． 【详解】 tan A ＝
BC
AC ＝13
，BC ＝x ，AC ＝3x ， 由勾股定理，得 AB ＝10x ， sin A ＝
BC AB ＝1010
， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了同角三角函数的关系，利用正切函数的定义得出BC=x ，AC=3x 是解题关键．
9．C
解析：C 【解析】 试题分析：由
得
，
，即是判断函数
与函数
的图象的交点情况.
因为函数与函数
的图象只有一个交点
所以方程只有一个实数根
故选C.
考点：函数的图象
点评：函数的图象问题是初中数学的重点和难点，是中考常见题，在压轴题中比较常见，
要特别注意.
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据抛物线的顶点式可直接得到顶点坐标.
【详解】
解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，顶点式y=（x-h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h，难度不大.
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．
【详解】
在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD．
∵∠D=180°﹣∠ACB=50°，
∴∠AOB=2∠D=100°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．12．D
解析：D
【解析】
【分析】
设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．
【详解】
设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（﹣1﹣x）＝a+1，
解得x＝﹣1
2
（a+3），
故选：D．
【点睛】
本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
二、填空题
13．【解析】
【分析】
用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率．
【详解】
解：因为蓝色区域的圆心角的度数为120°，
所以指针落在红色区域内的概率是=，
故答案为.
【
解析：2 3
【解析】
【分析】
用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率．【详解】
解：因为蓝色区域的圆心角的度数为120°，
所以指针落在红色区域内的概率是360120
360
=
2
3
，
故答案为2 3 .
【点睛】
本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．
14．【解析】
【分析】
根据弧长的公式列式计算即可．
【详解】
∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，∴此扇形的弧长为=π．
故答案为：π．
【点睛】
此题考查弧长公式，熟记公式是解题关键．解析：π
【解析】
【分析】
根据弧长的公式列式计算即可．
【详解】
∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，
∴此扇形的弧长为603 180
π⨯
=π．
故答案为：π．
【点睛】
此题考查弧长公式，熟记公式是解题关键．
15．2或﹣1
【解析】
【分析】
利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
当y=1时，有x
解析：2或﹣1
【解析】
【分析】
利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
当y=1时，有x2﹣2x+1=1，
解得：x1=0，x2=2．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a=2或a+1=0，
∴a=2或a=﹣1，
故答案为：2或﹣1．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x 的值是解题的关键．
16．【解析】
【分析】
根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k 的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.
【详解】
解：∵一元二次方程x2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根，
∴ 解析：72
【解析】
【分析】
根据题意可得一元二次方程根的判别式为0，列出含k 的等式，再将所求代数进行变形后整体代入求值即可.
【详解】 解：∵一元二次方程
12x 2﹣2kx+1-4k=0有两个相等的实数根， ∴2214241402b ac k k ,
整理得，2
2410k k ， ∴21+22
k k 2221k k k 224k k
224k k
当21+22
k k 时， 224k k
142
=-+ 72
= 故答案为：
72.
本题考查一元二次方程根的判别式与根个数之间的关系，根据根的个数确定根的判别式的符号是解答此题的关键.
17．【解析】
【分析】
在OA上取使，得，则，根据点到直线的距离垂线段最短可知当⊥AB时，CP最小，由相似求出的最小值即可.
【详解】
解：如图，在OA上取使，
∵，
∴，
在△和△QOC中，
，
解析：
4
5
5
【解析】
【分析】
在OA上取'
C使'
OC OC
=，得'
OPC OQC
≅，则CQ=C'P，根据点到直线的距离垂线段最短可知当'
PC⊥AB时，CP最小，由相似求出C'P的最小值即可.
【详解】
解：如图，在OA上取'
C使'
OC OC
=，
∵90
AOC POQ
∠=∠=︒，
∴'
POC QOC
∠=∠，
在△'
POC和△QOC中，
'
'
OP OQ
POC QOC
OC OC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△'
POC≌△QOC（SAS），
∴'
PC QC
=
∴当'PC 最小时，QC 最小，
过'C 点作''C P ⊥AB ，
∵直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，
∴A 坐标为：（0，8）；B 点（-4，0），
∵'4OC OC OB ===，
∴AB =''4AC OA OC =-=. ∵'''OB C P sin BAO AB AC ∠=
=， ''
4
C P =，
∴''C P =
∴线段CQ
【点睛】 本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点及三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．
18．.
【解析】
试题分析：由∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE 可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的对应边的比相等就可求出AD 的长．
试题解析：∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE
∴△AB 解析：
103
. 【解析】 试题分析：由∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE 可得△ABC ∽△ADE ，根据相似三角形的对应边的比相等就可求出AD 的长．
试题解析：∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE
∴△ABC ∽△ADE
∴AC ：AE=BC ：DE
∴DE=83
∴103AD =
考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理.
19．【解析】
【分析】
先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.
【详解】
令中y=0，得x1=
【解析】
【分析】
先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.
【详解】
令21115y x =-中y=0，得x 1
x 2
∴直线AC
的解析式为1y =-， 设P （x ，313
x ）， ∵过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，BQ=1
∴PQ 2=PB 2-BQ 2，
2+（313x ）2-1， =24283753x x ， ∵43
a =0<， ∴PQ 2有最小值24283475()332644
3， ∴
PQ
【点睛】
此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ 、BQ 、PB 之间的关系式是解题
20．【解析】
【分析】
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据解答即可．
【详解】
在数据：3，2，1，2，2，3中，2出现3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是2，
故答案为：2．
【点睛
解析：【解析】
【分析】
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据解答即可．
【详解】
在数据：3，2，1，2，2，3中，2出现3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是2，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查的是求一组数据的众数，掌握众数的定义是解决此题的关键．
21．80
【解析】
∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°−140°=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°.
故答案为80.
解析：80
【解析】
∵∠A+∠C=180°，
∴∠A=180°−140°=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°.
故答案为80.
22．乙
【解析】
【分析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
∴队员身
解析：乙
【解析】
【分析】
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】
解：∵22S S >甲乙，
∴队员身高比较整齐的球队是乙，
故答案为：乙．
【点睛】
本题考查方差．解题关键在于知道方差是用来衡量一组数据波动大小的量
23．或
【解析】
【分析】
过A 作AD 垂直于x 轴，设A 点坐标为（m ，n ），则根据A 在y=x 上得m=n ，由AC 长的最大值为，可知AC 过圆心B 交⊙B 于C ，进而可知AB=5，在Rt△ADB 中，AD=m ，BD= 解析：9y x =或16y x
= 【解析】
【分析】
过A 作AD 垂直于x 轴，设A 点坐标为（m ，n ），则根据A 在y=x 上得m=n ，由AC 长的最大值为7，可知AC 过圆心B 交⊙B 于C ，进而可知AB=5，在Rt △ADB 中，
AD=m ，BD=7-m ，根据勾股定理列方程即可求出m 的值，进而可得A 点坐标，即可求出该反比例函数的表达式.
【详解】
过A 作AD 垂直于x 轴，设A 点坐标为（m ，n ），
∵A 在直线y=x 上，
∴m=n ，
∵AC 长的最大值为7，
∴AC 过圆心B 交⊙B 于C ，
∴AB=7-2=5，
在Rt △ADB 中，AD=m ，BD=7-m ，AB=5，
∴m 2+(7-m)2=52，
解得：m=3或m=4，
∵A 点在反比例函数y ＝
k x
（k ＞0）的图像上， ∴当m=3时，k=9；当m=4时，k=16， ∴该反比例函数的表达式为：9y x = 或16y x
= ，
故答案为9y x =
或16y x
= 【点睛】 本题考查一次函数与反比例函数的性质，理解题意找出AC 的最长值是通过圆心的直线是解题关键.
24．【解析】
【分析】
x （x ﹣3）＝0得A1（3，0），再根据旋转的性质得OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A673A674＝3，所以抛物线C764的解析式为y ＝﹣（x ﹣2019）（x ﹣2022），然 解析：【解析】
【分析】
x （x ﹣3）＝0得A 1（3，0），再根据旋转的性质得OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 673A 674＝3，所以抛物线C 764的解析式为y ＝﹣（x ﹣2019）（x ﹣2022），然后计算自变量为2020对应的函数值即可．
【详解】
当y ＝0时，x （x ﹣3）＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，则A 1（3，0），
∵将C 1点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；……
∴OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 673A 674＝3，
∴抛物线C 764的解析式为y ＝﹣（x ﹣2019）（x ﹣2022），
把P （2020，m ）代入得m ＝﹣（2020﹣2019）（2020﹣2022）＝2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查图形类规律，解题的关键是掌握图形类规律的基本解题方法.
三、解答题
25．（1）17x =-，21x =；（2）313
-
【解析】 【分析】 (1)利用求根公式法解方程即可 (2)第一、四项利用特殊角的三角函数值计算，第二项化为最简二次根式，第三项利用零指数幂法则计算，
【详解】
解：(1)()2
641764=-⨯⨯-= ∴66468x 342
-±-±===-± ∴17x =-，21x =
(2)原式23342211=⨯
-+-=- 【点睛】
本题考查的知识点有解一元二次方程和实数的运算，熟记求根公式和特殊角的三角函数值是解此题的关键.
26．（1）4；（2）y=2x ＋83π－43 (0＜x≤23＋4)
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理得到△AOB 是等边三角形，求出⊙O 的半径；
（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H,先求出AH=BH=
12
AB=2，再利用勾股定理得出OH 的值，进而求解.
【详解】
（1）解：（1）∵∠APB=30°，
∴∠AOB=60°，又OA=OB ，
∴△AOB 是等边三角形，
∴⊙O 的半径是4；
（2）解：过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H
则∠OHA ＝∠OHB ＝90°
∵∠APB ＝30°
∴∠AOB ＝2∠APB ＝60°
∵OA=OB ，OH ⊥AB
∴AH=BH=12
AB=2 在Rt △AHO 中，∠AHO ＝90°，AO ＝4，AH ＝2
∴OH
∴y ＝16×16 π－12＋12
×4×x
=2x ＋83
π－＜4). 【点睛】
本题考查了圆周角定理，勾股定理、掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
27．（1）8.6；（2）300；（3）不同意，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据加权平均数的计算公式求平均数；（2）根据表中数据求出这10名同学中优秀所占的比例，然后再求500名学生中对“八礼四仪”掌握情况优秀的人数；（3）根据平均数和中位数的意义进行分析说明即可.
【详解】
解：（1）103938271618.633211
x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=
=++++ ∴这10名同学这次测试的平均得分为8.6分； （2）3350030010
+⨯=（人） ∴这 500名学生对“八礼四仪”掌握情况优秀的人数为300人；
（3）不同意
平均数容易受极端值的影响，所以小明的测试成绩为8分，并不一定代表他的成绩在班级中等偏上，要想知道自己的成绩是否处于中等偏上，需要了解班内学生成绩的中位数.
【点睛】
本题考查加权平均数的计算，用样本估计总体以及平均数及中位数的意义，了解相关概念准确计算是本题的解题关键.
28．（1）2
44y x x =++；（2）①点P 的坐标为()13,1P -，()24,4P -；②()27DN DM DB +=，是定值.
【解析】
【分析】
（1）设函数为()()220y a x a =+≠，把()5,9B -代入即可求解；
（2）①先求出直线AB 解析式，求出C’点，得到ABC S ∆，再求出PAB S ∆，设点
()2,44P x x x ++，过P 作y 轴的平行线交AB 于点P'，得到()',36P x x --，根据三角形面积公式得()()213644332
x x x ⎡⎤⨯---++⨯=⎣⎦，解出x 即可求解； ②过P 作x 轴的垂线，垂足为点E ，设AE t =，表示出()22,P t t --，故2PE t =，根据//PE BD ，得APE AMD ∆∆，故PE DM AE DA =，即23
t DM t =，得到3DM t =.再过P 作BD 的垂线，垂足为点F ，根据 相似三角形的性质得到93DN t =
+，可得()DN DM DB +的值即为定值.
【详解】
（1）解：设()
()220y a x a =+≠，把点()5,9B -代入，
得()2952a =-+，解得1a =， ∴该抛物线对应的函数表达式为()22244y x x x =+=++.
（2）①设直线AB 的函数表达式为y kx b =+，
把()2,0A -，()5,9B -代入，得0295k b k b =-+⎧⎨=-+⎩，解得36k b =-⎧⎨=-⎩
. ∴直线AB 的函数表达式为36AB y x =--.
设直线AB 与y 轴交于点'C ，则点()'0,6C -，∴'10CC =.
()15210152ABC S ∆=⨯-⨯=，1115355
PAB ABC S S ∆∆==⨯=. 设点()
2,44P x x x ++，过P 作y 轴的平行线交AB 于点P'，则()',36P x x --， ∴()()213644332
x x x ⎡⎤⨯---++⨯=⎣⎦， 13x =-，24x =-，
所以点P 的坐标为()13,1P -，()24,4P -.
②过P 作x 轴的垂线，垂足为点E ，设AE t =，则()22,P t t
--，2PE t =， 由//PE BD ，得APE AMD ∆∆，PE DM AE DA =，即23
t DM t =，故3DM t =. 过P 作BD 的垂线，垂足为点F ，
由//PF ND ，得BPF
BND ∆∆，BF DB PF DN =，即2993t t DN -=-，故93DN t =+. 所以()()939273DN DM DB t t
+=+=+，是定值.
【点睛】
此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质.
29．(1)每件玩具的售价为80元；(2)每件玩具的售价为85元时，每天盈利最多，最多盈利1250元.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可以得到关于x 的一元二次方程，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到利润与售价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【详解】
解：(1)设每件玩具的售价为x 元，
()()602021001200x x -+-=⎡⎤⎣⎦，解得：190x =，280x =，
∵扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，∴80x =，
答：每件玩具的售价为80元；
(2)设每件玩具的售价为a 元时，利润为w 元，
()()()2602021002851250w a a a =-+-=--+⎡⎤⎣⎦，
即当85a 时，w 有最大值为1250元，
答：当每件玩具的售价为85元时，商店每天盈利最多，最多盈利1250元.
【点睛】
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
30．（1）b =2，c =3；（2）（0，3），（1，4）（3）见解析；（4）－12＜y ≤4
【解析】
【分析】
（1）将点（2，3），（3，0）的坐标直接代入y ＝－x 2＋bx ＋c 即可；
（2）由（1）可得解析式，将二次函数的解析式华为顶点式即可;
（3）根据二次函数的定点、对称轴及所过的点画出图象即可;
（4）直接由图象可得出y 的取值范围.
【详解】
（1）解：把点（2，3），（3，0）的坐标直接代入y ＝－x 2＋bx ＋c 得
3=-4+2b+c 0=-9+3b+c ⎧⎨⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩
， 故答案为:b=2，c=3;
（2）解：令x=0,c=3, 二次函数图像与y 轴的交点坐标为则（0，3），
二次函数解析式为y=y ＝-x 2＋2x ＋3=-(x-1)²+4,则顶点坐标为(1,4).
（3）解：如图所示
…
（4）解：根据图像，当－3＜x ＜2时，y 的取值范围是:－12＜y ≤4.
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的图象与性质．
31．一条直角边的长为 6cm ，则另一条直角边的长为8cm ．
【解析】
【分析】
可设较短的直角边为未知数x ，表示出较长的边，根据直角三角形的面积为24列出方程求正数解即可．
【详解】
解：设一条直角边的长为xcm ，则另一条直角边的长为（x+2）cm ．
根据题意列方程，得
1(2)242
x x •+=． 解方程，得：x 1=6，x 2=8-（不合题意，舍去）．
∴一条直角边的长为 6cm ，则另一条直角边的长为8cm ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：直角三角形的面积等于两直角边积的一
半．
32．（1）()4,1；（2）4l 的函数表达式为()21412
y x =--+，24x ≤≤；（3）120a a +=，理由详见解析
【解析】
【分析】
（1）设x=0，求出y 的值，即可得到C 的坐标，根据抛物线L 3：21(2)12
y x =--得到抛物线的对称轴，由此可求出点C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D 的坐标； （2）由（1）可知点D 的坐标为（4，1），再由条件以点D 为顶点的L 3的“友好”抛物线L 4的解析式，可求出L 4的解析式，进而可求出L 3与L 4中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围；
（3）根据：抛物线L 1的顶点A 在抛物线L 2上，抛物线L 2的顶点B 也在抛物线L 1上，可以列出两个方程，相加可得（a 1+a 2）（h-m ）2=0．可得120a a +=．
【详解】
解：（1）∵抛物线l 3：21(2)12
y x =
--， ∴顶点为（2，-1），对称轴为x=2，
设x=0，则y=1，
∴C （0，1）， ∴点C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D 的坐标为：（4，1）；
（2）解：设4l 的函数表达式为()2
41y a x =-+
由“友好”抛物线的定义，过点()2,1- ()21241a ∴-=-+
12
a ∴=- 4l 的函数表达式为()21412
y x =--+ 3l ∴与4l 中y 同时随x 增大而增大的自变量的取值范围是24x ≤≤
（3）120a a +=
理由如下：
∵ 抛物线()21y a x m n =-+与抛物线()2
2y a x h k =+－互为“友好”抛物线，
()()2122k a h m n n a m h k ⎧=-+⎪∴⎨=-+⎪⎩①② ①+②得：()()2
210+-=a a m h
m h ≠
120
a a
∴+=
【点睛】
本题属于二次函数的综合题，涉及了抛物线的对称变换、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，解答本题的关键是数形结合，特别是（3）问根据已知条件得出方程组求解，有一定难度．。