2017北京四中

B 1
C 1
A B
E
C
2017北京四中高二（上）期中
数 学（理）
（试卷满分为150分，考试时间为120分钟） 试卷分为两卷，卷（I ）100分，卷（II ）50分 （卷（．．I ．）和卷（．．．．II ．．）的所有题目都在答题纸上作答．．．．．．．．．．．．．．
） 卷（I ）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 下面四个条件中，能确定一个平面的条件是 ( )． A. 空间任意三点 B.空间两条直线 C.空间两条平行直线 D.一条直线和一个点
2．1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ( )．
A ．12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒
B ．12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥
C ．123////l l l ⇒1l ，2l ，3l 共面
D ．1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面
3. 已知m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，
下列命题中正确的是： ( )．
A ．若,αγβγ⊥⊥，则α∥β
B ．若,m n αα⊥⊥，则m ∥n
C ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n
D ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β 4. 在四面体ABC P -的四个面中，是直角三角形的面至多有 ( )． A.0 个 B.1个 C. 3个 D .4个 5. 下列命题中错误．．的是 ( ).
A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，l =βα ，那么l γ⊥平面
D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
6. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA 垂直底面111A B C ，
底面三角形111A B C 是正三角形，
E 是BC 中点，则下列叙述正 确的是 ( )．
A
A 1
B 1
B
C
C 1
P
A. 1CC 与1B E 是异面直线
B. AC ⊥平面11ABB A
C. AE ,11B C 为异面直线，且11AE BC ⊥
D. 11//AC 平面1AB
E 7. 把正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后，下列命题正确的是 ( )． A. BC AB ⊥ B. BD AC ⊥
C. ABC CD 平面⊥
D. ACD ABC 平面平面⊥ 8. 如图所示点P 为三棱柱111C B A ABC -侧棱1AA 上一动点， 若四棱锥11B BCC P -的体积为V ，则三棱柱111C B A ABC -的 体积为 ( )．
A .V 2 B. V 3 C. 34V D. 2
3V
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9. 已知平面βα,和直线m ，给出条件：
①α//m ；② α⊥m ；③ α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//
(1) 当满足条件________（填序号或序号组合）时，有β//m ； (2) 当满足条件________（填序号或序号组合）时，有β⊥m .
10．已知l m ,是直线，βα,是平面，给出下列命题正确的是________________. (1) 若l 垂直于α内的两条相交直线，则α⊥l ； (2) 若l 平行于α，则l 平行于α内所有直线；
(3) ；则且βαβα⊥⊥⊂⊂,,,m l l m (4) ；则且若βααβ⊥⊥⊂,,l l (5) αβα且,,⊂⊂l m //m ，则β//l .
11. 底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是___________.
12. 三棱锥P —ABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直，PA =1，2=
=PC PB ，已知空间中有一个点到这四个点距离相等，
则这个距离是 ___________.
13. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .
O B
P A C
E
F
14．如图，边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知
'A DE ∆是ADE ∆绕DE 旋转过程中的一个图形（不考点'A 和A 、F 重合的情况）， 给出下列命题:
①动点'A 在平面ABC 上的射影在线段AF 上； ②BC ∥平面'A DE ；
③三棱锥'A FED -的体积有最大值； 其中正确的命题的序号是___________. 三、解答题：本大题共3小题，共30分
15．如图，已知O PA 圆⊥所在的平面，AB 是O 圆的直径，2=AB ,O C 是圆上的一点，且
BC AC =,角所在的平面成与圆 45O PC ，PC E 是中点，PB F 为的中点.
(1) 求证：EF //面ABC ; (2) 求证：PAC EF 面⊥; (3) 求三棱锥PAC
B -的体积.
16.如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点. 求证：（1）平面//EFG 平面ABC ； （2）SA BC ⊥.
17. 如图1，在R
t A B C ∆中，90C ∠=，,D E 分别为,AC AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE
折起到1A DE ∆的位置，使1A F CD ⊥，如图2。

（1）求证：//DE 平面1ACB ； （2）求证：1A F BE ⊥； （3）线段1A B 上是否存在点Q ，
使1
AC ⊥平面DEQ ？说明理由.
卷（Ⅱ）
一、选填题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
1．已知a ＋b ＝(2，－1，0)，a －b ＝(0，3，－2)，则cos<a ，b >的值为( )．
A B
C
S G
F
E
图2
图1
F
E
B
E
D C
B C
D A 1
A
F
A ．3
1
B ．－
3
2
C ．
3
3 D ．
3
7 2．若P 是平面外一点，A 为平面内一点，n 为平面的一个法向量，且<PA ，n >＝40º，则直线PA 与平面所成的角为( )． A ．40º
B ．50º
C ．40º或50º
D ．不确定
3．若A ，B ，C ，D 四点共面，且0 ＝ ＋ 3＋ 2＋ OD x OC OB OA ，则x 的值是( )．
A ．4
B ．2
C ．6
D ．－6
4. 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为________.
A.6
3 B.255 C.155
D.105
5. 如图，在四棱锥S ­ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A ，B ，C ，D 的距离都等于2.给出以下结论：
①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0；
②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →；
⑤SA →·SC →
＝0，其中正确结论的序号是________. 二．解答题：本大题共2小题，第6题10分,第7题15分.
6. 如图所示，已知四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形，且AB ∥CD ，O 是AB 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝CD ＝DA ＝1
2AB ＝4，M 是PA 的中点．
(1) 证明：平面PBC ∥平面ODM ；
(2) 求平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值．
7. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=6，AB=4．
（1）求证：M为PB的中点；
（2）求二面角B-PD-A的大小；
（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．
数学试题答案
卷（I ）
一、1-5; CBBDD 6-8;CBD
二、9.（1） ③ ⑤（2）② ⑤； 10.（1）（4）； 11.160； 12.
2
5
； 13.
3
20
； 14. ①②③ 15.
(1)//.,,//.(2)
;,,;,,//,
.
(3),
2,13B PAC PAC PBC EF EF BC EF ABC BC ABC EF ABC AB O BC CA PA ACB BC ACB PA BC BC CA C BC PAC BC EF EF PAC BC PAC BC B PAC AC BC PA V S -∆∆∴⊄⊂∴⊥⊥⊂∴⊥=∴⊥∴⊥⊥∴-===∴=证明：在中，为中位线，平面平面所以平面是圆的直径，面面面又面由第(2)问知面是三棱锥的高；112
(22)2.
323
BC ⨯=⨯⨯⨯=
16．证：（1）
SA BA =，AF SB ⊥，SF BF ∴=，
由题SE EA =，//EF AB ∴，
EF ⊄平面ABC AB ⊂平面ABC ， //EF ∴平面ABC ，同理//EG 平面ABC ，
EF 与EG 为平面EFG 内的两条相交直线，
∴平面//EFG 平面ABC ，
（2）
平面⊥SAB 平面SBC 于SB ，AF ⊂平面SAB ，
AF ∴⊥平面SBC ，AF BC ∴⊥，
又BC AB ⊥且AB 与AF 为平面SAB 内的两条相交直线，
BC SA ∴⊥.
17．（1）∵D,E 分别为AC,AB 的中点，
∴DE∥BC.又∵DE ⊄平面A 1CB, ∴DE∥平面A 1CB.
（2）由已知得AC⊥BC 且DE∥BC,∴DE⊥AC.
∴DE⊥A 1D,DE⊥CD.∴DE⊥平面A 1DC. 而A 1F ⊂平面A 1DC,∴DE⊥A 1
F.
又∵A 1F⊥CD,∴A 1F⊥平面BCDE. ∴A 1F⊥BE .
（3）线段A 1B 上存在点Q,使A 1C⊥平面DEQ.
理由如下：如图,分别取A 1C,A 1B 的中点P,Q,则PQ∥BC. 又∵DE∥BC,∴DE∥PQ.∴平面DEQ 即为平面DEP. 由（2）知DE⊥平面A 1DC,∴DE⊥A 1C. 又∵P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点， ∴A 1C⊥DP,∴A 1C⊥平面DEP,从而A 1C⊥平面DEQ. 故线段A 1B 上存在点Q,使得A 1C⊥平面DEQ.
卷（Ⅱ）
1.B 2．B 3．D
4.D
5. ③④
6．(1)证明 ∵O ，M 分别为AB ，AP 的中点，∴OM ∥PB .
又∵PB ⊄平面ODM ，OM ⊂平面ODM ，∴PB ∥平面ODM
∵CD ＝1
2AB ，O 为AB 的中点，∴CD ＝BO ，
又∵CD ∥AB ，∴四边形OBCD 为平行四边形， ∴BC ∥OD .
又∵BC ⊄平面ODM ，OD ⊂平面ODM ， ∴BC ∥平面ODM .
∵BC ∩PB ＝B ，DO ∩OM ＝O ， ∴平面PBC ∥平面ODM .
(2) 方法一 延长AD ，BC 交于点E ，连接PE ，则平面PBC ∩平面PAD ＝PE .
易知PB ＝PA ，EB ＝EA ，PE ＝PE ，∴△PBE 与△PAE 全等． 过点A 作AQ ⊥PE 于点Q ，连接BQ ，则BQ ⊥PE ， 由二面角定义可知，∠AQB 为所求角或其补角． 易求得PE ＝8，AE ＝8，PA ＝42， 由等积法求得AQ ＝27＝BQ ，
∴cos∠AQB ＝AQ 2＋BQ 2－AB 22AQ ·BQ ＝28＋28－642×27×27
＝－1
7<0，
∴所求角为π－∠AQB ，∴cos(π－∠AQB )＝1
7，
因此平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值为1
7
.
方法二 以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则P (0,0,4)，B (－4,0,0)，A (4,0,0)，C (－2，－23，0)，
D (2，－23，0)．
∵PB →＝(－4,0，－4)，BC →
＝(2，－23，0)，
∴易求得平面PBC 的一个法向量n 1＝(3，1，－3)． 又PA →＝(4,0，－4)，AD →
＝(－2，－23，0)， ∴易求得平面PAD 的一个法向量n 2＝(3，－1，3)． 设θ为平面PBC 与平面PAD 所成的锐二面角， 则cos θ＝|3×3＋1×(－1)＋(－3)×3|3＋1＋3×3＋1＋3＝1
7，
∴平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值为1
7
.
7.解：（I ）设,AC BD 交点为E ，连接ME .
∵PD ∥平面MAC ，平面MAC 平面PBD ME =，
∴PD ME ∥.
∵ABCD 是正方形，∴E 为BD 的中点， ∴M 为PB 的中点.
（II ）取AD 的中点O ，连接OP ，OE .
∵PA PD =，∴OP AD ⊥.
又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面PAD ，
∴OP ⊥平面ABCD .
∵OE ⊂平面ABCD ，∴OP OE ⊥. ∵ABCD 是正方形，∴OE AD ⊥.
如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,2)P ，(2,0,0)D ，(2,4,0)B -，
(4,4,0)BD =-，(2,0,2)PD =-.
设平面B D P 的法向量为(,,)x y z =n ，则
00
BD PD ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩n n ，即440
220x y x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩. 令1x =，则1y =，2z =
.于是(1,1,2)=n .
平面PAD 的法向量为
(0,1,0)=p ，
∴1
cos ,||||2
⋅=
=<>n p n p n p .
由题知二面角B PD A --为锐角，∴它的大小为
3
π.
（III ）由题意知2
(1,2,
)2
M -，(2,4,0)D ，2(3,2,)2MC =-.
设直线MC与平面BDP所成角为α，则
||26 sin|cos,|
9
||||
MC
MC
MC
α
⋅
===
<>
n
n
n
.
∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为26
9
.。