人教版同步教参数学八年级-三角形：三角形的角

三角形
第2节三角形的角
【知识梳理】
1．三角形内角和定理
(1)定理：三角形三个内角的和等于180°.
(2)证明方法：证法多样，主要是运用平行线知识把三个角转移成一个平角，从而得到内角和是180°.如图所示，过C作CM∥AB，将求∠A＋∠B＋∠ACB转化为求∠1＋∠2＋∠ACB，或过A点作DE∥BC，把求∠BAC＋∠B＋∠C转化为求∠BAC＋∠DAB＋∠EAC.
备注：因为三角形内角和为180°，所以延伸出三角形中很多的角的特定关系如：①一个三角形中最多只有一个钝角或直角；②一个三角形中最少有一个角不小于60°；③直角三角形两锐角互余；④等边三角形每个角都是60°等．
2．三角形的外角
(1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图，∠ACD就是△ABC其中的一个外角．
(2)特点：①三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角，这是内、外角联系的纽带．
②一个三角形有6个外角，其中两两互为对顶角，如图所示．
备注：外角是相对于内角而言的，也是三角形中重要的角，一个角对一个三角形来说是外角，而对于另一个三角形来说可能是内角；三角形的角是指的三角形的内角，这点要注意．（3）外角的性质
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，且大于任意一个与其不相邻的内角．如图所示：∠1＝∠B＋∠C(或∠B＝∠1－∠C，∠C＝∠1－∠B)．
4、三角形外角和
(1)定义(规定)：如图所示，在每一个顶点上取一个外角，如∠1，∠2，∠3，它们的和叫做三角形的外角和．
(2)三角形外角和定理：三角形的外角和等于360°.
注意：三角形的外角和不是所有外角的和，是每个顶点处取一个外角，是一半数目外角的和．5．直角三角形的性质与判定
(1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．
如图所示，在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，那么∠A＋∠B＝90°.
(2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形．
如图所示，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么∠C=90°，即△ABC是直角三角形．提示：由三角形的内角和定理可知，三角形的三个内角之和为180°，如果有两个角的和为90°，那么第三个角自然是直角．由直角三角形定义可知，该三角形为直角三角形．
【诊断自测】
1、三角形内角和性质是____________________
2、三角形的一边与______________叫做三角形的外角。

因此，三角形的任意一个外角与和它相邻的三角形的一个内角互为________
3、在△ABC 中，∠ACB=90°，D 是AB 边上一点，∠BCD=35°，∠BDC=80°。

求∠A 的度数
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或者数学式子） 解：∵∠BCD+∠BDC+∠B=180°（ ） ∴∠B=180°-∠BCD-∠BDC =180°-35°-（）=（） 在△ABC 中，∵∠ACB=90°（已知） ∴∠A+（）=90°（ ） ∴∠A=90°-（）=（ ）
【考点突破】
类型一：三角形的内角和
例1、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，则∠C 等于（ ） A ．45° B ．60° C ．75° D ．90°
例2：如图所示，把一个三角形纸片ABC 的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（ ）
A ．180°
B ．270°
C ．360°
D ．540°
A
例3：如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（ ）
A ．118°
B ．119°
C ．120°
D ．121°
类型二：三角形的外角
例4、如图所示，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，∠B=40°∠ACD=120°，则∠A 等于（ ） A 60° B 70° C 80° D 90°
例5、如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数是（ ）
A ．180°
B ．360°
C ．540°
D ．720°
例6：在三角形的三个外角中，锐角最多只有（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个
B D
类型三：直角三角形的性质
例7：在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B﹣∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例8：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）
A．40° B．30° C．20° D．10°
例9：在△ABC中，∠ACB=90°，E是BC边上的一点，过C作CF⊥AE，垂足为F，过点B作BD⊥BC，交CF的延长线于点D，若∠D=65°，求∠EAC的度数．
例10：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分线交AD于E，交AB于F，请猜测∠AEF与∠AFE之间有怎样的数量关系，并说明理由．
类型四：常见几何模型
例10：已知：如图，∠A=33°，∠B=83°，∠ADC=146°，求∠C的度数．
例11：已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系；
（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，利用（1）的结论，试求∠P的度数；
（3）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系？并说明理由．
例12：如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC 等于（）
A．110°B．115°C．120°D．130°
变式：如图BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，请你探索∠A和∠P的数量关系．
解：∵BP平分∠ABC（已知）
∴∠PBC=∠ABC （）．
同理可得∠PCB=∠ACB
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB=180°（）
∴∠BPC=180°﹣∠PBC﹣∠PCB （等式的性质）
=180°﹣（∠ABC+∠ACB ）（）
=180°﹣（180°﹣∠）
=90°+∠．
例13：已知△ABC中，∠A=α．在图（1）中∠B、∠C的角平分线交于点O1，则可计算得∠BO1C=90°+；在图（2）中，设∠B、∠C的两条三等分角线分别对应交于O1、O2，则∠BO2C=；请你猜想，当∠B、∠C同时n等分时，（n﹣1）条等分角线分别对应交于O1、O2，…，O n﹣1，如图（3），则∠BO n﹣1C=（用含n和α的代数式表示）．
例14：如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠A n﹣1BC的平分线与∠A n﹣1CD的平分线交于点A n．设∠A=θ．则：
（1）∠A1=；
（2）∠A n=．
例15、在△ABC中，∠B=58°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=．
【易错精选】
1、如图，在△ABC中，∠ACB=68°，若P为△ABC内一点，且∠1=∠2，则∠BPC=°．
2、如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF=°．
3．如图，已知∠CDF=∠OEF=90°，CE与OA相交于点F，若∠C=20°，求∠O的大小．
【精华提炼】
【本节训练】
训练【1】在△ABC中，已知∠A=4∠B=104°，则∠C的度数是（）A．50°B．45°C．40°D．30°
训练【2】具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（）A．∠A+∠B=∠C B．∠A﹣∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
训练【3】如图，在△ABC 中，∠B=46°，∠ADE=40°，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，DE ∥AB ，交AC 于E ，则∠C 的大小是（ ）
A ．46°
B ．66°
C ．54°
D ．80°
训练【4】已知：如图，∠DFE=∠C ，∠1+∠2=180°．试判断∠CAB 与∠DFB 的大小关系，并对结论进行说明．
基础巩固
一、选择题
1、三角形的三个外角之比为2:3:4，则与之相应的三个内角之比为（ ）
Ａ．2:3:4 Ｂ．4:3:2 Ｃ．5:3:1 Ｄ．1:3:5
2、如图5，1∠，2∠，3∠，4∠恒满足的关系式是（ ）
Ａ．1234+=+∠∠∠∠
Ｂ．1243+=-∠∠∠∠ Ｃ．1423+=+∠∠∠∠
Ｄ．1423+=-∠∠∠∠
3．如图，123456+++++∠∠∠∠∠∠等于（ ）
A 90°
B 180°
C 270°
D 360°
4．如图，在ABC △中，D 是AB 上的一点，E 是AC 上一点，BE CD ，相交于F ，70A =∠，20ACD =∠，28ABE =∠，则CFE ∠的度数为（ ）
Ａ．62
Ｂ．68 Ｃ．78 Ｄ．90
二、填空题
5．如图1，ABC ∠的平分线交ACB ∠的平分线于l ，若60A =∠，则BIC =∠_____．
6．三角形两个外角的和等于第三个内角的4倍，则第三个内角等于_____．
7．如图2，A B C D E ++++=∠∠∠∠∠_____．
8．如图3，1234+++=∠∠∠∠_____．
9、直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，则这两个锐角的度数为 ．
三．解答题
11、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=42°，∠DAE=18°，求∠C的度数．
12、如图所示，已知∠A=48°，∠D=25°，FD⊥BC于E，求∠B的度数．
13、阅读下列材料，并解答下列问题：
（1）如图①，∠ACD是△ABC的一个外角，我们知道：∠A+∠B+∠ACB=180°，试猜想∠A、∠B与∠ACD的数量关系，你的结论是（不用说明理由）
（2）利用上述结论，解答下列问题：
如图2，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E，∠A=35°，∠BDF=42°，求∠ACB的度数．
14、求如图星形中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
15、如图，∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°，求∠BDC的度数．
巅峰突破
1、如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=98°，则∠C的度数为（）
A．40°B．41°C．42°D．43°
2、生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：
（1）图1中的∠ABC的度数为．
（2）图2中已知AE∥BC，则∠AFD的度数为．
3、如图，∠AOB=90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．
（1）当∠OCD=50°（图1），试求∠F．
（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．
4、如图（1），在△OBC中，点A是BO延长线上的一点．
（1）∠B=32°，∠C=46°，则∠AOC=°，Q是BC边上一点，连结AQ交OC边于点P，如图（2），若∠A=18°，则∠OPQ=°，猜测：∠A+∠B+∠C与∠OPQ的大小关系是；（2）将图（2）中的CO延长到点D，AQ延长到点E，连结DE，得到图（3），则∠AQB 等于图中哪三个角的和？并说明理由；
（3）求图（3）中∠A+∠D+∠B+∠E+∠C的度数．
参考答案
【诊断自测】
1、内角和为180°
2、另一边的延长线组成、补角
3、解：∵∠BCD+∠BDC+∠B=180°（三角形的内角和）∴∠B=180°-∠BCD-∠BDC
=180°-35°-（80°）=（65°）
在△ABC中，∵∠ACB=90°（已知）
∴∠A+（∠B）=90°（直角三角形的锐角互余）
∴∠A=90°-（65°）=（ 25°）
【易错精选】
1、解：∵∠1+∠PCB=∠ACB=68°，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠PCB=68°，
∵∠BPC+∠2+∠PCB=180°，
∴∠BPC=180°﹣68°=112°．
故答案为112°．
2、解：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠A=30°，∠B=70°，
∴∠ACB=80°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=∠ACB=×80°=40°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵∠B=70°，
∴∠BCD=90°﹣70°=20°，
∴∠FCD=∠BCE﹣∠BCD=20°，
∵DF⊥CE，
∴∠CFD=90°，
∴∠CDF=90°﹣∠FCD=70°．
故答案为：70．
3、解：∵∠CDF=∠OEF=90°，
∴∠C+∠AFD=90°，
∠O+∠OFE=90°，
∵∠OFE=∠CFD（对顶角相等），
∴∠O=∠C=20°．
【本节训练】
训练【1】解：∵4∠B=104°，
∴∠B=26°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣104°﹣26°=50°．
故选A．
训练【2】解：A中∠A+∠B=∠C，即2∠C=180°，∠C=90°，为直角三角形，
同理，B，C均为直角三角形，
D选项中∠A=∠B=3∠C，即7∠C=180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，故选：D．
训练【3】解：∵∠ADE=40°，DE∥AB，
∴∠BAD=40°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD=80°．
∵∠B=46°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=180°﹣46°﹣80°=54°．
故选C．
训练【4】答：∠CAB=∠DFB，
证明：∵∠1+∠2=180°（已知），∠2+∠DEF=180°（邻补角定义），
∴∠1=∠DEF（同角的补角相等），
∴CB∥EF（内错角相等两直线平行），
∴∠BDF=∠EFD（两直线平行，内错角相等），
∵∠DFE=∠C（已知），
∴∠BDF=∠C（等量代换），
∴DF∥AC（同位角相等两直线平行），
∴∠CAB=∠DFB（两直线平行，同位角相等）．
基础巩固
一、选择题
1、C
2、D
3、D
4、A
二、填空题
5、120°
6、60°
7、180
8、360°
9、解：设一个角为x，则另一个角为2x，
根据题意得，x+2x=90°，
解得x=30°，
2x=60°．
所以这两个锐角分别为30°，60°．
故答案为：30°，60°．
三、解答题
11、【解答】解：∵AD是BC边上的高，∠B=42°，∴∠BAD=48°，
∵∠DAE=18°，
∴∠BAE=∠BAD﹣∠DAE=30°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠BAE=60°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=78°．
12、【解答】解：∵∠A=48°，∠D=25°，
∴∠BFE=∠A+∠D=73°（三角形外角定理）；
又∵FD⊥BC于E，
∴∠BEF=90°；
∴Rt△BFE中，∠B=180°﹣∠BEF﹣∠BFE=17°，即∠B=17°．13、【解答】解：（1）∠A+∠B=∠ACD，
证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠ACD；
（2）∵DF⊥AB，
∴∠AFE=90°，又∠A=35°，
∴∠AEF=55°，
则∠DEC=∠AEF=55°，
∴∠ACB=∠BDF+∠DEC=97°．
14、【解答】解：如图连接CD，
根据三角形的外角性质得∠1=∠B+∠E=∠2+∠3，
在△ACD中有，∠A+∠2+∠ACE+∠3+∠ADB=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
15、【解答】解：如图，连接AD并延长AD至点E，
∵∠BDE=∠BAE+∠B，∠CDE=∠CAD+∠C
∴∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠CAD+∠C+∠BAD+∠B=∠BAC+∠B+∠C ∵∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°，
∴∠BDC=90°+21°+32°=143°．
巅峰突破1、如图，连接AO、BO．
由题意EA=EB=EO，
∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°，
∵DO=DA，FO=FB，
∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO，
∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO，
∵∠CDO+∠CFO=98°，
∴2∠DAO+2∠FBO=98°，
∴∠DAO+∠FBO=49°，
∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=139°，
∴∠C=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣139°=41°，故选B．
2、解：（1）∵∠F=30°，∠EAC=45°，
∴∠ABF=∠EAC﹣∠F=45°﹣30°=15°，
∵∠FBC=90°，
∴∠ABC=∠FBC﹣∠ABF=90°﹣15°=75°；
（2）∵∠B=60°，∠BAC=90°，
∴∠C=30°，
∵AE∥BC，
∴∠CAE=∠C=30°，
∴∠AFD=∠CAE+∠E=30°+45°=75°．
故答案为：75°，75°．
3、解：（1）∵∠AOB=90°∠OCD=50°，
∴∠CDO=40°．
∵CE是∠ACD的平分线DF是∠CDO的平分线，∴∠ECD=65°∠CDF=20°．
∵∠ECD=∠F+∠CDF，
∴∠F=45°．
（2）不变化，∠F=45°．
∵∠AOB=90°，
∴∠CDO=90°﹣∠OCD∠ACD=180°﹣∠OCD．
∵CE是∠ACD的平分线DF是∠CDO的平分线，∴∠ECD=90°﹣∠OCD∠CDF=45°﹣∠OCD．∵∠ECD=∠F+∠CDF，
∴∠F=45°．
4、解：（1）∵∠B=32°，∠C=46°，
∴∠AOC=∠B+∠C=32°+46°=78°，
∵∠A=18°，
∴∠OPQ=∠A+∠AOC=18°+78°=96°，
∵∠A+∠B+∠C=18°+32°+46°=96°，
∴∠A+∠B+∠C=∠OPQ；
故答案为：78；96；∠A+∠B+∠C=∠OPQ；（2）∠AQB=∠C+∠D+∠E，理由是：
∵∠EPC=∠D+∠E，∠AQB=∠C+∠EPC，
∴∠AQB=∠C+∠D+∠E；
（3）∵∠AQC=∠A+∠B，∠QPC=∠D+∠E，
又∵∠AQC+∠QPC+∠C=180°，∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C=180°，即∠A+∠D+∠B+∠E+∠C=180°．。