工程力学第2节 确定梁位移的积分法

例10-3 如图图示简支梁， l 4m ，弯曲刚度EI 1640N m2。在无限接近右支座 B 处受到矩为的集中 力偶 M e 120 N m 作用，试求 (1)转角方程和位移方 程；(2)梁的最大挠度。
解：(1)转角方程和 位移方程 x
Me FA FB l
梁的弯矩方程为
5
3
4
令 x 0，得B截面的挠度为
ql yB （ ） 30 EI
Me 2 x C (1) 将上式一次积分得转角 y' 2EIl
Me M ( x) x l
转角方程
Me 2 y' x C 2EIl
(1)
再次积分，可得挠度方程：
Me 3 y x Cx D (2) 6EIl 边界条件： x 0 时，y0 0 ； x l 时，yl 0 M el D0 C 6EI M e 2 M el 2 0 . 00915 x 0.0488 x 2EIl 6EI M e 3 M el 3 x 0.0488x y x x 0.00305 6EIl 6EI
再次积分，可得挠度方程：
1 1 1 3 4 y ( qlx qx ) Cx D EI 12 24
1 1 1 3 2 ( qlx qx ) C EI 4 6 1 1 1 3 4 y ( qlx qx ) Cx D EI 12 24 边界条件： x 0 时，y0 0 ； x l 时，yl 0
补充例 悬臂梁AB在三角形分布载荷作用下，跨 度为l，抗弯刚度为EI，如图所示。试求B截面的挠度。 解：与B截面距离为 x 的任一截面的载荷集度为
x q( x) q l
(0 x l )
将上式一次积分得转角方程
qx 4 1 x3 ( q)dx C C EI 6l 24 EIl
再次积分，即得挠度方程
qx qx 1 y ( )dx Cx D Cx D EI 24 EIl 120 EIl
4
5
A 0 ，y A 0 边界条件：x l 时，
ql C 24EI 4 ql D 30EI
3
梁的挠度方程
qx ql x ql y 120EIl 24EI 30EI
式中积分常数C、D由边界条件（梁中已知的截面 位移）确定：
简支梁： y A 悬臂梁： A
0, 0,
yB 0 yA 0
由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度， 这方法称积分法。
例10-1 如图所示车床上被加工圆轴， l 0.24 m ， ， d 22m m E 210 GPa 。已知切削力 F 240 N ，试 求自由端 B 的转角和挠度，并计算因弯曲变形而引起 的直径误差。
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
对梁的挠曲轴线近似微分方程式积分： 积分一次得转角方程：
M ( x) y dx C EI
积分二次得挠度方程：
M ( x) y dx dx Cx D EI
转角方程 挠度方程
M ( x) y dx C EI M ( x) y dx dx Cx D EI
(2) 梁的最大挠度 最大挠度点的条件
ymax
C
C 0
M e 2 M el 2 x 0.00915 x 0.0488 0 令 2EIl 6EI l xC 2.31 m 解得 3 M e 3 M el 3 ymax xC xC 0.00305 xC 0.0488xC 6EIl 6EI 2 M el 75.1 mm ( ) 9 3EI
例10-2 如图所示简支梁，跨度为 l ，受均布载荷 q 作用，梁的抗弯曲刚度 EI 已知，求跨中截面 C 的 挠度及截面 A 处的转角。 解：梁的弯矩方程为：
1 1 2 M ( x ) qlx qx 2 2
将上式一次积分得转角：
x
C
1 1 1 3 2 ( qlx qx ) C EI 4 6
ql C 24 EI
D0
4
3
1 1 1 3 ql 2 ( qlx qx ) EI 4 6 24 3 1 1 1 4 ql 3 y ( qlx qx x) EI 12 24 24
3
3
5ql ql 故有 yC ( ) A (顺时针转动) 384 EI 24 EI
解： 弯矩方程
M ( x) F (l x)
挠曲线微分方程
F (l x) y EI
一次积分得转角
x
1 1 2 ( Flx Fx ) C EI 2
Fl F 2 x x C (1) 转角方程 EI 2EI Fl 2 F 3 挠度方程 y x x Cx D (2) 2EI 6EI Fx 边界条件： x 0 时 (2l x) 2EI yA 0 ， A 0 2 Fx y (3l x ) C 0 D0 6 EI 2 Fl 3 o B yB 1 . 91 10 rad 0 . 109 2 EI 3 Fl 3.06104 m 0.306mm yB 3EI 因弯曲变形而引起圆轴直径误差 d 2 yB 0.612mm