2021年广东省惠州市罗中学高一数学理上学期期末试题含解析

2021年广东省惠州市罗中学高一数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的定义域为（）
A．{x|x＞－1且x≠1} B．{x|x＞1且x≠2}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|x≠－1且x≠1}
参考答案：
A
要使函数有意义，则有，可得函数的定义域为
，故选A.
2. 已知，向量在向量上的投影为，则与的夹角为（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
记向量与向量的夹角为，
在上的投影为．
在上的投影为，
，
，
．
故选：B．
3. 设函数表示自然数的数字和（如：，则，即），则方程的解集为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
D
略
4. （3分）函数的图象是（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
考点：指数函数的图像与性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据指数函数的图象和性质即可得到答案
解答：数过定点（0，1），且为减函数，
故选：B．
点评：本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题
5. 已知（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
6. 设，，，
则（）
A．B．
C．D．
参考答案：
D
7. 过点（0，3）且与直线y=﹣4x+1平行的直线方程为（）
A
8. 设α∈（，π），sinα=，则tan（π+α）等于（）
A．﹣B．﹣C．D．
参考答案：
A
【考点】GO：运用诱导公式化简求值．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解．
【解答】解：∵α∈（，π），sinα=，
∴cosα=﹣=﹣，
∴tan（π+α）=tanα===﹣．
故选：A．9. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．12+B．10+C．10D．11+
参考答案：
A
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】三视图复原的几何体是为一个三棱柱截去一个三棱锥，三棱柱的底面为边长是2的等边三角形，高为2，求出几何体的表面积即可．
【解答】解：由三视图知：原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥，三棱柱的底面为边长是2的等边三角形，高为2，所以该几何体的表面积为
S==12+．
故选A ．
10. 设全集
U=R
，M={x|x＜﹣2，或x＞2}，N={x|1＜x＜3}，则图中阴影部分所表示的集合是（）
A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}
参考答案：
C
【考点】1J：Venn图表达集合的关系及运算．
【分析】欲求出图中阴影部分所表示的集合，先要弄清楚它表示的集合是什么，由图知，阴影部分表示的集合中的元素是在集合N中的元素但不在集合M中的元素组成的，即N∩C U M．
【解答】解：由图可知，图中阴影部分所表示的集合是N∩C U M，
又C U M={x|﹣2≤x≤2}，
∴N∩C U M={x|1＜x≤2}．
故选：C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设各项都为正数的等比数列的前项和为，若，则
▲ .
参考答案：
9
12. 设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为________．
参考答案：
(－1,0)∪(0,1)
13. 设正项数列{a n}的前n项和是S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a1= ．
参考答案：
【考点】等差数列的性质．
【分析】设公差为d，首项a1，利用等差中项的概念列关系，通过两次平方运算及可求得答案．
【解答】设公差为d，首项a1
∵{a n}，{}都是等差数列，且公差相等，
∴2=+，
即2=+，
两端平方得：4（2a1+d）=a1+3a1+3d+2，
4a1+d=2，
两端再平方得：16+8a1d+d2=4a1（3a1+3d），
∴4﹣4a1d+d2=0，
d=2a1，又两数列公差相等，
∴﹣=a2﹣a1=d=2a1，
即﹣=2a1，
解得：
2=1，
∴a1=或a1=0（{a n}为正项数列，故舍）
∴a1=．
故答案为：．
14. 函数y=lg（3﹣x）（2x﹣1）的定义域为．
参考答案：
（0，3）
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】根据函数y的解析式，列出不等式（3﹣x）（2x﹣1）＞0，求出解集即可．
【解答】解：∵函数y=lg（3﹣x）（2x﹣1），
∴（3﹣x）（2x﹣1）＞0，
即，或；
解得0＜x＜3，
∴函数y的定义域为（0，3）．
故答案为：（0，3）．
【点评】本题考查了根据对数函数的解析式求定义域的应用问题，是基础题目．
15. 当时，函数的值域是.
参考答案：
[－1，2]
f（x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），
∵﹣≤x≤，
∴﹣≤x+≤，
∴﹣≤sin（x+）≤1，
∴函数f（x）的值域为[﹣1，2]，
故答案为：[﹣1，2]．
16. 若方程的解所在的区间是且，则▲.
参考答案：
2
略
17. ①函数在它的定义域内是增函数。

②若是第一象限角，且。

③函数一定是奇函数。

④函数的最小正周期为。

上述四个命题中，正确的命题是
参考答案：
④
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （10分）在平面直角坐标系中，已知三个点的坐标分别为：O（0，0），B（2，2），C（4，0）．（1）若过点C作一条直线l，使点O和点B到直线l的距离相等，求直线l的方程；
（2）求△OBC的外接圆的方程．
参考答案：考点：圆的一般方程．
专题：计算题；直线与圆．
分析：（1）由于直线过点C（4，0），故直线方程可表示为y=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0，利用点A（0，0），B（2，2）到直线的距离相等，求出k，即可求直线l的方程；
（2）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入A，B，C的坐标，求出D，E，F，即可求
△OBC的外接圆的方程．
解答：解：（1）依题意可知，直线斜率存在．故设直线的斜率为k，
由于直线过点C（4，0），故直线方程可表示为y=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0…（1分）
因为点A（0，0），B（2，2）到直线的距离相等，
所以…（3分）
解得k=1或…（5分）
故所求直线方程为y=x﹣4或…（7分）
（2）设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
代入A，B，C的坐标，得…（8分）
解得D=﹣4，E=0，F=0…（9分）
故所求△ABC的外接圆的方程为x2+y2﹣4x=0…（10分）
点评：本题考查直线与圆的方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．
19. （本题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，
在棱上．
（I）当时，求证平面
（II）当二面角的大小为时，求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案：
解：（Ⅰ）在平行四边形中，由，，，
易知，…………………2分
又平面，所以平面,∴，
在直角三角形中，易得，
在直角三角形中，，，又，∴，
可得
.
∴，……………………5分又∵，∴平面．……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,,，
可知为二面角的平面角，
，此时为的中点.……………8分
过作,连结,则平面平面,
作,则平面,连结,
可得为直线与平面所成的角．
因为,,
所以.……………10分
在中，，
直线与平面所成角的正弦值为.……………………12分
略
20. （12分）已知在△ABC中，点A（﹣1，0），B（0，），C（1，﹣2）．
（1）求AB边中线所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积．
参考答案：
【考点】直线的两点式方程．
【分析】（1）求出AB中点D的坐标，即可求AB边中线所在直线的方程；
（2）求出|AB|=2，C到直线AB的距离，即可求△ABC的面积．
【解答】解：（1）点A（﹣1，0），B（0，），中点D（﹣，）
∴AB边中线所在直线的方程；
（2）直线AB的方程为y=（x+1），
|AB|=2，C到直线AB的距离d==+1，
∴△ABC的面积S==+1．
【点评】本题考查直线方程，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．
21. （本小题满分14分）经市场调研，某超市一种玩具在过去一个月（按30天）的销售量（件）与价格（元）均为时间x（天）的函数，且销售量近似满足，价格近似满足。

（1）试写出该种玩具的日销售额y与时间x（，）的函数关系式；
（2）求该种玩具的日销售额y的最大值。

参考答案：
解：（1）由题意，得
……………………………………6分
（2）当，时，，而，又，所以当时，
；……………………10分
当，时，，则函数
在(20,30]上单调递增，所以当时，。

…………13分
综上所述，当时，该种玩具的日销售额的最大值为1408元。

……………………14分
22. 如图，△OAB中，，，AD与BC交于点M，
设，，试用，，表示。

参考答案：
∴，解得∴略。