最新高二数学题库 2011中山市期末统考高二数学试卷及答案(文科)

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x 广东省中山市2010—2011学年度第一学期期末统一考试
高二数学试卷（文科）
本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共50分）
注意事项：
1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．不等式250x x -≥的解集是
A ．[0,5]
B ．[5,)+∞
C ．(,0]-∞
D ．(,0][5,)-∞+∞
2．已知一个数列的前四项为
2222
1357
,,,24816--
，则它的一个通项公式为 A ．221(1)(2)n
n n -- B ．1221(1)(2)n n n --- C ．221(1)2n n
n -- D ．1221(1)2
n n n --- 3．椭圆22
12516
x y +=的离心率为
A ．3
5
B ．
4
5
C ．
3
4
D ．
1625
4. 圆222()()x a y b r -+-=经过原点的一个充要条件是
A ．0ab =
B ．0a =且0b =
C ．222a b r +=
D ．0r =
5．函数f (x )的导函数'()f x 的图象如 右图所示，则下列说法正确的是 A ．函数()f x 在(2,3)-内单调递增 B ．函数()f x 在(4,0)-内单调递减 C ．函数()f x 在3x =处取极大值
D ．函数()f x 在4x =处取极小值 6．长为3.5m 的木棒斜靠在石堤旁，木棒的一端在离堤脚1.4m 的地面上，另一端在沿堤上2.8m 的地方，堤对地面的倾斜角为α，则坡度值tan α等于 A
B ．5
16 C
D ．
115
7．等差数列{}n a 的前n 项和12...n n S a a a =+++，若1031S =，20122S =，则30S = A ．153 B ．182
C ．242
D ．273
8．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线24y x =上，则这个正三角形的
边长为 A
．
B
．
C ．8
D ．16
9．已知0,0a b >>，且1a b +=，则11
a b
+的最小值是 A ．2
B
．
C ．4
D ． 8
10．已知p ：函数2()1f x x mx =++有两个零点， q ：x R ∀∈，244(2)10x m x +-+>．若若p q ⌝∧为真，则实数m 的取值范围为 A ．(2,3) B ．(,1](2,)-∞+∞ C ．(,2)[3,)-∞-+∞ D ．(,2)
(1,2]-∞-
第II 卷（非选择题共100分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上） 11．等差数列8，5，2，…的第20项是 .
12．经过点(3,1)A -，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 .
13．当x y 、满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪
≥-⎨⎪+≤⎩
时，目标函数2t x y =+的最小值是 .
14．物体沿直线运动过程中，位移s 与时间t 的关系式是2()3s t t t =+. 我们计算在2t =的
附近区间[2,2]t +∆内的平均速度(2)(2)
s t s v t
+∆-=
=∆ ，
当t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于确定的值，即瞬时速度，由此可得到2t =
时的瞬时速度大小
为 .
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
15．（13分）已知函数21
()(2)3f x x x =+.
（1）求()f x 的导数'()f x ；
（2）求()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值与最小值.
16．（13分）已知双曲线C 的方程为221515x y -=. （1）求其渐近线方程；
（2）求与双曲线C 焦点相同，且过点(0,3)的椭圆的标准方程.
17．（13分）已知某精密仪器生产总成本C （单位：万元）与月产量x （单位：台）的函数关系为1004C x =+，月最高产量为150台，出厂单价p （单位：万元）与月产量x 的函数关系为2
1125801800
p x x =+
-. （1）求月利润L 与产量x 的函数关系式()L x ； （2）求月产量x 为何值时，月利润()L x 最大?
18．（13分）等比数列{}n a 的公比为q ，第8项是第2项与第5项的等差中项. （1）求公比q ；
（2）若{}n a 的前n 项和为n S ，判断396,,S S S 是否成等差数列，并说明理由.
19. （14分）第四届中国国际航空航天博览会于2010年11月在珠海举行，一次飞行表演中，一架直升飞机在海拔800m 的高度飞行，从空中A 处测出前下方海岛两侧海岸P 、Q 处的俯角分别是45°和30°（如右图所示）. （1）试计算这个海岛的宽度PQ .
（2）若两观测者甲、乙分别在海岛两侧海岸P 、Q 处同时测得飞机的仰角为45°和30°，他们估计P 、Q 两处距离大约为600m ，由此试估算出观测者甲（在P 处）到飞机的直线距离.
20．（14分）过直角坐标平面xOy 中的抛物线()220y px p =>的焦点F 作一条倾斜角为4
π
的直线与抛物线相交于A 、B 两点.
（1）求直线AB 的方程；
（2）试用p 表示A 、B 之间的距离； （3）当2p =时，求AOB ∠的余弦值. 参考公式：()()()22
2
2224A A B
B A B A B A B x y x
y x x x x p x x p ⎡⎤++=+++⎣⎦.
中山市高二级2010—2011学年度第一学期期末统一考试
数学试卷（文科）答案
一、选择题：DDACB ADBCC
二、填空题：11. －49； 12. 22
188
x y -=； 13. －3； 14. 133,13t +∆.
三、解答题：
15. 解：（1）23211
()(2)233
f x x x x x =+=+. ……（1分）
求导得2()4f x x x '=+. ……（4分）
（2）令2()4(4)0f x x x x x '=+=+=，解得：4x =-或0x =． ……（6分） 列表如下：
……（10分）
所以，()f x 在闭区间[]1,1-上的最大值是7
3
，最小值是0． ……（13分）
16. 解：（1）双曲线方程化为2
2115
x y -=， ……（1分）
由此得1,a b == ……（3分）
所以渐近线方程为
y x =，即y x =. ……（5分）
（2）双曲线中，4c ===，焦点为(4,0),(4,0)-. ……（7分）
椭圆中，210a =， ……（9分） 则5a =，22222549b a c =-=-=. ……（11分）
所以，所求椭圆的标准方程为22
1259
x y +=. ……（13分）
17．解：（1）232
1111()(25)(1004)21100801800180080
L x px C x x x x x x x =-=+--+=-++-，
其中0150x <≤. ……（5分）
（2）221111
'()21(1512600)(120)(105)60040600600
L x x x x x x x =-
++=---=--+.…
（8分） 令'()0L x =，解得120x = （105x =-舍）. ……（9分） 当(0,120)x ∈时，'()0L x >；当(120,150]x ∈时，'()0L x <. ……（11分） 因此，当120x =时，()L x 取最大值.
所以，月产量为120台时，月利润()L x 最大. ……（13分）
18. 解：（1）由题可知，8252a a a =+， ……（1分）
即741112a q a q a q =+， ……（3分）
由于10a q ≠，化简得6321q q =+，即63210q q --=， ……（4分）
解得3
1q =或3
1
2
q =-. 所以1q =
或q =. ……（6分）
（2）当1q =时，3191613,9,6S a S a S a ===.
易知396,,S S S 不能构成等差数列. ……（8分）
当2q =即3
12
q =-时，31113(1)13(1)11221a q a a S q q q -==+=---，
93111
9(1)19[1()]11281a q a a S q q q
-==--=---，
62111
6(1)13[1()]11241a q a a S q q q
-==--=---. ……（11分）
易知3692S S S +=，所以396,,S S S 能构成等差数列. ……（13分）
19. 解：（1）在Rt ACP ∆中，
tan PC
CAP AC
=∠，
则800tan45800PC =⨯︒=. ……（3分）
在Rt ACQ ∆中，tan
QC
CAQ AC =∠，则800tan 60QC =⨯︒= ……（5分）
所以，800PQ QC PC =-=（m ）. ……（7分）
（2）在APQ ∆中，600PQ =，30AQP ∠=︒，453015PAQ ∠=︒-︒=︒. ……（8
分） 根据正弦定理，得
600
sin30sin15PA =
︒
︒
， ……（10分） 则600sin30600sin30sin(4530)sin 45cos30cos45sin30PA ︒︒
=
==︒-︒︒︒-︒︒
.
……（14分）
20. 解：（1）焦点(,0)2p F ，过抛物线焦点且倾斜角为4π的直线方程是2p
y x =-. …（3分）
（2）由222
y p x
p y x ⎧=⎪⎨=-⎪
⎩22
304p x px ⇒-+
=23,4A B A B p x x p x x ⇒+==4A B AB x x p p ⇒=++=. ……（8分）
（3）由241
y x
y x ⎧=⎨=-⎩2610x x ⇒-+=6,1A B A B x x x x ⇒+==.
222
22
2222cos 2AO BO AB
x y x y x x y y AOB AO BO
+-+++----∠=
=
()
2
241A B A B p p x x x x -++
=
=
=- ……（13分） ∴AOB ∠的大小是与p 无关的定值. ……（14分）
1题：教材《必修⑤》 P76 预备题 改编，考查一元二次不等式求解.
2题：教材《必修⑤》 P67 2（2）改编，考查写数列通项公式. 3题：教材《选修1-1》 P40 例4 改编，考查椭圆几何性质. 4题：教材《选修1-1》 P12 第4题改编，考查充要条件.
5题：教材《选修1-1》 P98 第4题改编，考查利用导数研究函数性质. 6题：教材《必修⑤》 P16 习题改编，考查利用余弦定理解三角形 7题：教材《必修⑤》 P44 例2改编，考查等差数列性质及前n 项和 8题：教材《选修1-1》 P64 B 组第2题改编，考查抛物线方程及性质 11题：教材《必修⑤》 P38 例1（1）改编，考查等差数列通项公式 12题：教材《选修1-1》 P54 A 组第6题改编，考查双曲线方程与性质 13题：教材《必修⑤》 P91 第1(1)题改编，考查线性规划问题
14题：教材《选修1-1》 P74 导数概念的预备题 改编，考查导数概念
16题：教材《选修1-1》 P48 第2题 改编，考查双曲线、椭圆的标准方程与几何性质. 17题：教材《选修1-1》 P104 第6题 改编，考查导数的应用.
18题：教材《必修⑤》 P61 第6题 改编，考查等差数列、等比数列的通项与前n 项和. 19题：教材《必修⑤》 P19 第4题 改编，考查解三角形.。