2020-2021学年浙江省绍兴市某校高三(上)月考数学试卷(10月份)(有答案)

2020-2021学年浙江省绍兴市某校高三（上）月考数学试卷
（10月份）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数f(x)＝ln(x2)+的定义域是（）
A.(0, +∞)
B.[0, +∞)
C.(1, +∞)
D.[1, +∞)
2. 若z=1+2i，则4i
z⋅z¯−1
=( )
A.1
B.−1
C.i
D.−i
3. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，正视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为（）
A. B.1 C.2 D.4
4. 设x，y满足约束条件{2x+3y−3≤0，
2x−3y+3≥0，
y+3≥0，
则z=2x+y的最小值是( )
A. −15
B.−9
C.1
D.9
5. 已知a，b∈R，则“e a>e b”是“|a|>|b|”成立的（）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
6. 已知等比数列{a n}中a5＝1，若+++＝5，则a2+a4+a6+a8＝（）
A.4
B.5
C.16
D.25
7. 函数y＝sin x+e x ln|x|的图象可能是（）
A.
B.
C.
D.
8. 已知a，b∈R，不等式||<1在x∈R上恒成立，则（）
A.a<0
B.b<0
C.0<ab<2
D.0<ab<4
9. 将6个数2，0，1，9，20，19将任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数是（）
A.546
B.498
C.516
D.534
10. 如图所示，平面α∩平面β＝l，二面角α−l−β∈[，]，已知A∈α，B∈β，直线AB与平面α，平面β所成角均为θ，与l所成角为γ，若sin(γ+θ)＝1，则sin(γ−θ)的最大值是（）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
若log3m＝2，则m＝________；2log23+30+log39=________．
设等差数列{a n}的前n项和为，若a3＝5，a5＝3，则a n＝________，
S7＝________．
二项展开式(1+2x)5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝________，a1+a3+a5＝________．
在△ABC中，AC=3，3sin A=2sin B，且cos C=1
4
，则AB=________．
已知函数，则f（f(−5)）＝________；若实数a满足f （f(a)）≥a，则a的取值范围是________．
已知F为抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点，点A在抛物线上，点B在抛物线的准线上，
且A，B两点都在x轴的上方，若FA⊥FB，tan∠FAB＝，则直线FA的斜率为
________．
已知平面向量，，满足||＝1，||＝，•＝0，-与-的夹角是，则•（-）的最大值为________．
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知函数f(x)=cos2x+√3sin x cos x．
（1）求f(π
3
)的值；
（2）若f(α
2)=13
10
，α∈(0,π
3
)，求cosα的值．
如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120∘．E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中
点．
（1）求证：BF // 平面A′DE；
（2）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值．
如图所示，在f(x)＝的图象下有一系列正三角形△A n A n+1B n(n∈N∗)，记△
A n A n+1
B n的边长为a n，f（a n)＝b n．
(Ⅰ)求数列{a n}，{b n}的通项公式；
(Ⅱ)若数列{c n}满足c n＝，证明：c2+c3+……+c n<．
已知椭圆与直线有且只有一个交点，点P为椭圆C上任意一点，P1(−1, 0)，P2(1, 0)，且的最小值为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线l:y＝kx+m与椭圆C交于不同两点A，B，点O为坐标原点，且
，当△AOB的面积S最大时，判断T＝|MP1|+|MP2|是否为定值，若是求出其值并证明，若不是请说明理由．
已知实数a≠0，设函数f(x)＝e ax−ax．
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）当a>1
2时，若对任意的x∈[−1, +∞)，均有f(x)≥a
2
(x2+1)，求a的取值范围．
注：e＝2.71828…为自然对数的底数．
参考答案与试题解析
2020-2021学年浙江省绍兴市某校高三（上）月考数学试卷
（10月份）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
A
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】
函数f(x)＝ln (x 2)+中，
令，
解得x >0，
所以f(x)的定义域是(8, +∞)．
2.
【答案】
C
【考点】
共轭复数
复数代数形式的乘除运算
【解析】
利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．
【解答】
解：∵ z =1+2i ，∴ z ¯=1−2i ，
则4i
z⋅z ¯−1=4i (1+2i)(1−2i)−1=4i 5−1=i ． 故选C .
3.
【答案】
C
【考点】
由三视图求体积
【解析】
由三视图中的数据，得到原几何体中的数据，再利用棱柱的体积公式求解即可得到该“堑堵”的体积．
【解答】
由图可知，原几何体是：底面是一个等腰直角三角形，
直角边为，斜边为6，
所以该“堑堵”的体积为．
4.
【答案】
A
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
本题考查简单的线性规划求最值问题．
【解答】
解：画出可行域如图中阴影部分所示，
可知可行域为以A(0,1)，B(−6,−3)，C(6,−3)
为顶点的△ABC围成的区域（包括边界），
可知当目标函数z=2x+y经过点B(−6,−3)时取得最小值，
最小值为−15．
故选A．
5.
【答案】
D
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】
由e a>e b得a>b，当a＝1，则“|a|>|b|”不成立，
反之当a＝−2，b＝5时，但a>b不成立，
即“e a>e b”是“|a|>|b|”成立的既不充分也不必要条件，
6.
【答案】
B
【考点】
等比数列的性质
【解析】
利用等比数列的通项公式直接求解．
【解答】
∵等比数列{a n}中a5＝1，+++＝5，
∴++＝5，
∴a7+a4+a6+a2＝＝5．
7.
【答案】
B
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
根据函数值的变化趋势即可排除．
【解答】
当x<0时，e x<1，ln|x|∈(−∞，−3≤sin x≤1
∴sin x+e x ln|x|＝0，有很多解，
当x→+∞时，e x→+∞，ln|x|→+∞，则y→+∞；
8.
【答案】
D
【考点】
不等式恒成立的问题
【解析】
由题意可得−1<<1，化为2x2+(a+2)x+2+b>0，且(a−2)x+ b−2<0恒成立，结合判别式小于0和a−2＝0，b−2<0，可得所求结论．
【解答】
不等式||<1在x∈R上恒成立，
可得−8<<1，
由于x3+2x+2>3恒成立，
化为2x2+(a+2)x+2+b>0，且(a−3)x+b−2<0恒成立，
由8x2+(a+2)x+8+b>0恒成立，可得△＝(a+2)5−8(2+b)<3，
由(a−2)x+b−2<6恒成立，可得a−2＝0，
解得a＝7，0<b<2，
9.
【答案】
B
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
根据题意，用间接法分析：先计算全部8位数的数目，再分析其中“20”出现2次、“19”出现2次和“20”和“19”都出现2次的排法，分析可得答案．
【解答】
根据题意，将6个数2，8，1，9，19将任意次序排成一行，
由于3不能在首位，则有5×A58＝600个8位数，
其中“20”出现2次，即“2”与“0”相邻且“2”在“2”之前的排法有，
“19”出现2次，即“8”与“9”相邻且“1”在“6”之前的排法有，
“20”和“19”都出现7次的排法有＝6种，
则满足题意的8位数有600−60−48+5＝498个，
10.
【答案】
B
【考点】
二面角的平面角及求法
【解析】
作出图形，找出对应得等量关系，化简目标三角函数式，结合二面角的范围求目标式的最值．
【解答】
∵θ∈[0，]，γ∈[3，]，∴γ+θ＝，
过A作AC⊥l，过B作BD⊥l，D，过A作AE // l，
设AA2⊥β，BB1⊥α，延长CA1交BF于F，延长DB3交AE于E，
则∠ACF和∠BDE为二面角α−l−β的平面角，∠ABA1为AB与平面β所成角，∠BAB1为AB与平面α所成角，∠ABF和∠EAB为AB与l所成角，
∴sinθ＝＝，cosγ＝＝，
∴AA1＝BB6＝BF＝AE，∴△AA1C≅△BB1D，
∴AC＝BD＝CF，即△ACF是等腰三角形，则α∈[，]，
∴sin(γ−θ)＝sin[γ−（−γ)]＝−cos7γ＝sin2γ−cos2γ＝＝1−
，
显然当tanγ取得最大值时，sin(γ−θ)取得最大值，
而tanγ＝＝，故当∠AFA1取得最小值时，tanγ取得最大值，
又△ACF是等腰三角形，故∠AFA4＝，
∴当α＝时，∠AFA8取得最小值，∴tanγ的最大值为，
∴sin(γ−θ)的最大值为1−＝，
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
【答案】
9,6
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
①利用指数为对数逆运算，a x＝y，则x＝log a y，从而得出答案．②利用对数运算公式
a log a N=N，求出答案．
【解答】
m＝2，则m＝9，2log23+30+log39=3+1+2=6．
解若log
3
【答案】
8−n,28
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
利用等差数列的通项公式、求和公式即可得出．
【解答】
设等差数列{a n}公差为d，∵a3＝5，a7＝3，
∴a1+7d＝5，a1+5d＝3，
解得：a1＝5，d＝−1，
则a n＝8−n，S5＝7×7+×(−5)＝28．
【答案】
80,122
【考点】
二项式定理及相关概念
【解析】
直接利用二项式定理的通项公式，求解即可．
【解答】
(1+2x)5＝0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4=C54⋅24=(80) a1+a3+a5=C51⋅2+C53⋅8+C55⋅32=1(22)
【答案】
√10
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵3sin A=2sin B，
∴由正弦定理可得：3BC=2AC，
∴由AC=3，可得：BC=2，
∵cos C=1
4
，
∴由余弦定理可得：1
4=32+22−AB2
2×3×2
，
∴解得：AB=√10．
故答案为：√10.
【答案】
2,(−∞, 1]
【考点】
求函数的值
分段函数的应用
函数的求值
【解析】
直接由已知函数解析式求得f（f(−5)），对a分类，分别求解f（f(a)）≥a，取并集得答案．
【解答】
∵，
∴f（f(−5)）＝f(4)＝；
当a>0时，f(a)＝≥a，则0<a≤8；
当a≤0时，f(a)＝|a+1|≥a，
∴a的取值范围是(−∞, 1]．
【答案】
【考点】
直线与抛物线的位置关系
【解析】
求得抛物线的焦点和准线方程，运用解直角三角形的正弦函数和正切函数的定义，求得A的坐标，由斜率公式计算可得所求值．
【解答】
y2＝2px(p>2)的焦点F（，0)，
如图，设A在x轴上的射影为N，
由FA⊥FB，tan∠FAB＝＝，
可设|AF|＝2t，|BF|＝t，
可得∠AFN＝∠FBM，
sin∠AFN＝＝sin∠FBM＝，
即有y A＝3p，x A＝p，
则直线AF的斜率为＝＝．
【答案】
5
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
建系，易知点C在两圆弧(x−）2+(y−2)2＝4或x2+(y+1)2＝4上，求出•
（-），设其为k，代入圆弧方程，由△＝0即可得解．
【解答】
设＝，＝，
由•＝0，以O为原点建立直角坐标系，
则A(1, 4)，），设＝＝(x，
∵-与-的夹角是，∴与，
∴点C在两圆弧(x−）2+(y−2)2＝4或x8+(y+1)2＝8上，
又•（-x−y x−y，
求•（-，
由图知，当直线k＝，k取最值，
代入上式两圆弧得4x2+3(1−k)x+(6−k)2−4＝2，
由△＝0可得，k＝5或k＝−4，
∴•（-．
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】
函数f(x)=cos2x+√3sin x cos x=1+cos2x
2+√3sin2x
2
=sin(2x+π
6
)+1
2
，
所以f(π
3)=sin5π
6
+1
2
=1．
f(α
2)=13
10
，所以sin(α+π
6
)+1
2
=13
10
，整理得sin(α+π
6
)=4
5
，由于α∈(0,π
3
)，cos(α+
π6)=3
5
．
则cosα=cos[(α+π
6)−π
6
]=cos(α+π
6
)cosπ
6
+sin(α+π
6
)sinπ
6
=3
5
⋅√3
2
+4
5
⋅1
2
=4+3√3
10
．
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的关系式求出结果．（2）利用三角函数关系式的变换中的角的变换的应用求出结果．
【解答】
函数f(x)=cos2x+√3sin x cos x=1+cos2x
2+√3sin2x
2
=sin(2x+π
6
)+1
2
，
所以f(π
3)=sin5π
6
+1
2
=1．
f(α
2)=13
10
，所以sin(α+π
6
)+1
2
=13
10
，整理得sin(α+π
6
)=4
5
，由于α∈(0,π
3
)，cos(α+
π6)=3
5
．
则cosα=cos[(α+π
6)−π
6
]=cos(α+π
6
)cosπ
6
+sin(α+π
6
)sinπ
6
=3
5
⋅√3
2
+4
5
⋅1
2
=4+3√3
10
．
【答案】
（1）证明：取A′D的中点G，
连接GF，GE，由条件易知
FG // CD，FG=1
2
CD．
BE // CD，BE=1
2
CD．
所以FG // BE，FG=BE．
故所以BF // EG．
又EG⊂平面A′DE，BF⊄平面A′DE
所以BF // 平面A′DE．
（2）解：在平行四边形ABCD中，设BC=a，
则AB=CD=2a，AD=AE=EB=a，
连接A′M，CE
因为∠ABC=120∘
在△BCE中，可得CE=√3a，
在△ADE中，可得DE=a，
在△CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CE⊥DE，在正三角形A′DE中，M为DE中点，所以A′M⊥DE．由平面A′DE⊥平面BCD，
可知A′M⊥平面BCD，A′M⊥CE．
取A′E的中点N，连线NM、NF，
所以NF⊥DE，NF⊥A′M．
因为DE交A′M于M，
所以NF⊥平面A′DE，
则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角．
在Rt△FMN中，NF=√3
2a，MN=1
2
a，FM=a，
则cos∠FMN=1
2
．
所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为1
2
．【考点】
直线与平面所成的角
直线与平面平行的判定
【解析】
（1）欲证BF // 平面A′DE，只需在平面A′DE中找到一条线平行于BF即可；而取A′D的中点G，并连接GF、GE，易证四边形BEGF为平行四边形，则BF // EG，即问题得证．（2）欲求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值，需先找到直线FM与平面A′DE所成的角；而连接A′M，CE，由平面A′DE⊥平面BCD易证CE⊥A′M，且由勾股定理的逆定理
可证CE⊥DE；再取A′E的中点N，连线NM、NF，则NF⊥平面A′DE，即∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角；最后在Rt△FMN中，易得cos∠FMN的值．
【解答】
（1）证明：取A′D的中点G，
连接GF，GE，由条件易知
FG // CD，FG=1
2
CD．
BE // CD，BE=1
2
CD．
所以FG // BE，FG=BE．
故所以BF // EG．
又EG⊂平面A′DE，BF⊄平面A′DE
所以BF // 平面A′DE．
（2）解：在平行四边形ABCD中，设BC=a，
则AB=CD=2a，AD=AE=EB=a，
连接A′M，CE
因为∠ABC=120∘
在△BCE中，可得CE=√3a，
在△ADE中，可得DE=a，
在△CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CE⊥DE，
在正三角形A′DE中，M为DE中点，所以A′M⊥DE．
由平面A′DE⊥平面BCD，
可知A′M⊥平面BCD，A′M⊥CE．
取A′E的中点N，连线NM、NF，
所以NF⊥DE，NF⊥A′M．
因为DE交A′M于M，
所以NF⊥平面A′DE，
则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角．
在Rt△FMN中，NF=√3
2a，MN=1
2
a，FM=a，
则cos∠FMN=1
2
．
所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为1
．
2
【答案】
（1）设数列{a n}的前n项和S n，则当n≥2时，A n(S n−1, 5)，B n（，
），
又由题意可知：＝a n⇒4(S n−1+S n)＝3a n3①，
2②，
又2(S n+S n+1)＝8a n+1
由②-①可得：3(a n+1+a n)(a n+1−a n)＝3(a n+1+a n)⇒a n+1−a n＝，易知a1＝，
∴数列{a n}是首项、公差均为，
∴a n＝n，b n＝f（a n)＝f(n)＝；
（2）证明：由(Ⅰ)可知：c n＝
＝×＝（-），∴c2+c3+……+c n＝（-+-+…+
-）
＝（-）<×＝．
【考点】
数列的求和
【解析】
(Ⅰ)设数列{a n}的前n项和S n，先由题设写出点A n和B n的坐标，再根据正三角形的性质，可进一步求得数列{a n}，{b n}的通项公式；
(Ⅱ)先由(Ⅰ)求得c n，再利用裂项相消法求得c2+c3+……+c n，进而证明结论．
【解答】
（1）设数列{a n}的前n项和S n，则当n≥2时，A n(S n−1, 5)，B n（，），
又由题意可知：＝a n⇒4(S n−1+S n)＝3a n3①，
2②，
又2(S n+S n+1)＝8a n+1
由②-①可得：3(a n+1+a n)(a n+1−a n)＝3(a n+1+a n)⇒a n+1−a n＝，易知a1＝，
∴数列{a n}是首项、公差均为，
∴a n＝n，b n＝f（a n)＝f(n)＝；
（2）证明：由(Ⅰ)可知：c n＝
＝×＝（-），∴c2+c3+……+c n＝（-+-+…+
-）
＝（-）<×＝．
【答案】
设点P(x, y)，故椭圆C:x2+6y2＝a2，
则＝x2+y5−1＝−y2+a7−1，
当y＝±b时，取得最小值，即，即，则
，
故椭圆C的标准方程为；
设A(x2, y1)，B(x2, y8)，M(x0, y0)，
联立方程，解得(2k2+8)x2+4mkx+6m2−4＝6，
所以，，
则点O到直线l:y＝kx+m的距离，
所以
＝≤，
故S取得最大值，当且仅当m2＝4k7+2−m2，即m5＝2k2+4时取等号，
此时，，即，代入m2＝2k5+1中，整理可得
，
故点M的轨迹为椭圆C1：，且点P1，P2为椭圆C7的左、右焦点1|+|MP2|＝，
故T＝|MP1|+|MP7|为定值为．
【考点】
椭圆的应用
椭圆的标准方程
直线与椭圆的位置关系
【解析】
（1）设点P(x, y)，由题意得到，根据数量积的坐标表示，再利用其最小值得到a和b的关系，求出a和b，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(x0, y0)，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，由弦长公式以及点到直线的距离公式求出△AOB的面积S的最值，得到m和k的关系，从而得到点M的轨迹是椭圆，利用椭圆的定义求出|MP1|+|MP2|为定值．
【解答】
设点P(x, y)，故椭圆C:x2+6y2＝a2，
则＝x2+y5−1＝−y2+a7−1，
当y＝±b时，取得最小值，即，即，则，
故椭圆C的标准方程为；
设A(x2, y1)，B(x2, y8)，M(x0, y0)，
联立方程，解得(2k2+8)x2+4mkx+6m2−4＝6，
所以，，
则点O到直线l:y＝kx+m的距离，
所以
＝≤，
故S取得最大值，当且仅当m2＝4k7+2−m2，即m5＝2k2+4时取等号，
此时，，即，代入m2＝2k5+1中，整理可得
，
故点M的轨迹为椭圆C1：，且点P1，P2为椭圆C7的左、右焦点1|+|MP2|＝，
故T＝|MP1|+|MP7|为定值为．
【答案】
由f′(x)＝ae ax−a＝a(e ax−1)＝0，解得x＝0，
①若a>0，则当x∈(0, +∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0, +∞)内单调递增；
当x∈(−∞, 0)时，f′(x)<0，故f(x)在(−∞, 0)内单调递减．
②若a<0，则当x∈(0, +∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0, +∞)内单调递增；
当x∈(−∞, 0)时，f′(x)<0，故f(x)在(−∞, 0)内单调递减．
综上所述，f(x)在(−∞, 0)内单调递减，在(0, +∞)内单调递增；
因为f(x)≥a
2(x2+1)，即e ax≥a
2
(x+1)2 (﹡)．
令x＝0，得1≥a
2，则1
2
<a≤2，
当x＝−1时，不等式(﹡)显然成立，
当x∈(−1, +∞)时，两边取对数，即ax≥21n(x+1)+ln a
2
恒成立，
令函数F(x)＝2ln(x+1)−ax+ln a
2
，即F(x)≤0在(−1, +∞)内恒成立，
由F′(x)=2
x+1−a=2−a(x+1)
x+1
=0，得x=2
a
−1>−1，
故当x∈(−1, 2
a −1)时，F′(X)>0，F(x)单调递增；当x∈(2
a
−1, +∞)时，F′(X)<0，
F(x)单调递减，
因此F(x)≤F(2
a −1)＝2ln2
a
−2+a+ln a
2
=a−2−ln a
2
，
令函数g(a)＝a−2−ln a
2，其中1
2
<a≤2，
则g′(a)＝1−1
a =a−1
a
=0，得a＝1，
故当a ∈(12,1) 时，g ′(a)<0，g(a) 单调递减；当a ∈(1, 2]时，g ′(a)>0，g(a)单调递增，
又g(12)＝ln 4−32<0，g(2)＝0，
故当12<a ≤2时，g(a)≤0恒成立，因此F(x)≤0 恒成立，
即当12<a ≤2 时，对任意的x ∈[−1, +∞)，均有f(x)≥a 2(x 2+1) 成立．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
（1）先求出导函数f ′(x)，对a 分情况讨论，分别求出函数f(x)的单调区间；
（2）因为f(x)≥a 2(x 2+1)，即e ax ≥a 2(x +1)2 (﹡)．令x ＝0，得1≥a 2，则12<a ≤2，当x ＝−1时，不等式(﹡)显然成立，当x ∈(−1, +∞)时，两边取对数，即ax ≥21n(x +1)+ln a 2 恒成立，令函数F(x)＝2ln (x +1)−ax +ln a 2，即F(x)≤0 在(−1, +∞) 内恒成立，利用导数得到F(x)≤F(2a −1)＝2ln 2a −2+a +ln a 2=a −2−ln a 2，令函数g(a)＝a −2−ln a 2，其中12<a ≤2，利用导数研究出函数g(x)的单调性，当12<a ≤2时，g(a)≤0恒成立，因此F(x)≤0 恒成立，即当12<a ≤2 时，对任意的x ∈[−1, +∞)，均有f(x)≥a 2(x 2+1) 成立．
【解答】
由f ′(x)＝ae ax −a ＝a(e ax −1)＝0，解得x ＝0，
①若a >0，则当x ∈(0, +∞) 时，f ′(x)>0，故f(x) 在(0, +∞) 内单调递增； 当x ∈(−∞, 0)时，f ′(x)<0，故f(x) 在(−∞, 0)内单调递减．
②若a <0，则当x ∈(0, +∞) 时，f ′(x)>0，故f(x) 在(0, +∞)内单调递增； 当x ∈(−∞, 0)时，f ′(x)<0，故f(x)在(−∞, 0)内单调递减．
综上所述，f(x)在(−∞, 0)内单调递减，在(0, +∞) 内单调递增；
因为f(x)≥a 2(x 2+1)，即e ax ≥a 2(x +1)2 (﹡)．
令x ＝0，得1≥a 2，则12<a ≤2， 当x ＝−1时，不等式(﹡)显然成立，
当x ∈(−1, +∞)时，两边取对数，即ax ≥21n(x +1)+ln a 2 恒成立， 令函数F(x)＝2ln (x +1)−ax +ln a 2，即F(x)≤0 在(−1, +∞) 内恒成立， 由F ′(x)=2x+1−a =
2−a(x+1)x+1=0，得x =2a −1>−1， 故当x ∈(−1, 2a −1)时，F ′(X)>0，F(x)单调递增；当x ∈(2a −1, +∞) 时，F ′(X)<0，
F(x) 单调递减，
因此F(x)≤F(2a −1)＝2ln 2a −2+a +ln a 2=a −2−ln a 2， 令函数g(a)＝a −2−ln a 2，其中12<a ≤2，
则g ′(a)＝1−1a
=a−1a =0，得a ＝1， 故当a ∈(12,1) 时，g ′(a)<0，g(a) 单调递减；当a ∈(1, 2]时，g ′(a)>0，g(a)单调递增，
又g(12)＝ln 4−32<0，g(2)＝0，
故当12<a ≤2时，g(a)≤0恒成立，因此F(x)≤0 恒成立， 即当12<a ≤2 时，对任意的x ∈[−1, +∞)，均有f(x)≥a 2(x 2+1) 成立．。