山东省聊城市2019-2020学年中考数学考前模拟卷(4)含解析

山东省聊城市2019-2020学年中考数学考前模拟卷（4）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知x ﹣2y=3，那么代数式3﹣2x+4y 的值是（ ）
A ．﹣3
B ．0
C ．6
D ．9
2．如图，将△ABC 绕点C 旋转60°得到△A′B′C′，已知AC=6，BC=4，则线段AB 扫过的图形面积为（ ）
A ．32π
B ．83π
C ．6π
D ．以上答案都不对
3．如图是测量一物体体积的过程：
步骤一：将180 mL 的水装进一个容量为300 mL 的杯子中；
步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
步骤三：再将一个同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.
根据以上过程，推测一个玻璃球的体积在下列哪一范围内？(1 mL=1 cm 3)( ).
A ．10 cm 3以上，20 cm 3以下
B ．20 cm 3以上，30 cm 3以下
C ．30 cm 3以上，40 cm 3以下
D ．40 cm 3以上，50 cm 3以下
4．如图，AB//CD ，130∠=o ，则2∠的大小是( )
A ．30o
B ．120o
C ．130o
D ．150o
5．如图，由5个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（）
A．160米B．（60+1603）C．1603米D．360米
7．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别落在x、y轴上，点B坐标为（6，4），
反比例函数
6
y
x
=的图象与AB边交于点D，与BC边交于点E，连结DE，将△BDE沿DE翻折至△B'DE
处，点B'恰好落在正比例函数y=kx图象上，则k的值是（）
A．
2
5
-B．
1
21
-C．
1
5
-D．
1
24
-
8．将一副三角板和一张对边平行的纸条按如图摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是()
A．15°B．22.5°C．30°D．45°
9．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示互为倒数的点是（）
A．点A与点B B．点A与点D C．点B与点D D．点B与点C
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是¶CD上一点，且¶¶
DF BC
=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）
A ．45°
B ．50°
C ．55°
D ．60°
11．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直
角边长为b ，若
2)21a b +=（，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
12．如图，这是一个几何体的三视图，根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积为（ ）
A ．9π
B ．10π
C ．11π
D ．12π
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，点A 在反比例函数y=k x
（x ＞0）的图像上，过点A 作AD ⊥y 轴于点D ，延长AD 至点C ，使CD=2AD ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连结BC 交y 轴于点E ，若△ABC 的面积为6，则k 的值为________.
14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝16 cm ，AC ＝12 cm ，点P 从点B 出发，沿BC 以2 cm/s 的速度向点C 移动，点Q 从点C 出发，以1 cm/s 的速度向点A 移动，若点P 、Q 分别从点B 、C 同时出发，设运动时间为ts ，当t ＝__________时，△CPQ 与△CBA 相似．
15．如图，点A在反比例函数y=3
x
（x＞0）上，以OA为边作正方形OABC，边AB交y轴于点P，若
PA：PB=1：2，则正方形OABC的面积=_____．
16．下面是“利用直角三角形作矩形”尺规作图的过程．已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°．
求作：矩形ABCD．
小明的作法如下：
如图2，（1）分别以点A、C为圆心，大于1
2
AC同样长为半径作弧，两弧交于点E、F；
（2）作直线EF，直线EF交AC于点O；
（3）作射线BO，在BO上截取OD，使得OD=OB；
（4）连接AD，CD．
∴四边形ABCD就是所求作的矩形．
老师说，“小明的作法正确．”
请回答，小明作图的依据是：__________________________________________________.
17．如图，在△ABC 中，AB=AC，BC=8. O
e是△ABC的外接圆，其半径为5. 若点A在优弧BC上，则tan ABC
的值为_____________.
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，CD⊥AB于点D，点P在线段DB上，若AP2-PB2=48，
则△PCD 的面积为____.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4，点E 在边AD 上，连接CE ，以CE 为边向右上方作正方形CEFG ，作FH ⊥AD ，垂足为H ，连接AF.
(1)求证：FH ＝ED ；
(2)当AE 为何值时，△AEF 的面积最大？
20．（6分）已知：如图，AB 为⊙O 的直径，C 是BA 延长线上一点，CP 切⊙O 于P ，弦PD ⊥AB 于E ，过点B 作BQ ⊥CP 于Q ，交⊙O 于H ，
（1）如图1，求证：PQ ＝PE ；
（2）如图2，G 是圆上一点，∠GAB ＝30°，连接AG 交PD 于F ，连接BF ，若tan ∠BFE ＝33，求∠C 的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，PD ＝63，连接QC 交BC 于点M ，求QM 的长．
21．（6分）已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ∥AB ，DE 与对角线AC 交于点F ，FG ∥AD ，且FG=EF.
（1）求证：四边形ABED 是菱形；
（2）联结AE ，又知AC ⊥ED ，求证：21·2
AE EF ED .
22．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC 的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC 平移，使点A 变换为点D ，点E 、F 分别是B 、C 的对应点．
请画出平移后的△DEF ．连接AD 、CF ，
则这两条线段之间的关系是________．
23．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，ABC ∆在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）直接写出ABC ∆关于原点O 的中心对称图形111A B C ∆各顶点坐标：
1A ________1B ________1C ________；
（2）将ABC ∆绕B 点逆时针旋转90︒，画出旋转后图形22A BC ∆.求ABC ∆在旋转过程中所扫过的图形的面积和点C 经过的路径长．
24．（10分）如图，已知∠A=∠B ，AE=BE ，点D 在AC 边上，∠1=∠2，AE 与BD 相交于点O ．求证：EC=ED ．
25．（10分）如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=1，3，DA=1，且∠B=90°，求：∠BAD 的度数；四边形ABCD 的面积(结果保留根号)．
26．（12分）计算：sin30°•tan60°+cos30cot45
cos60
︒-︒
︒
.．
27．（12分）如图，对称轴为直线x＝7
2
的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．A
【解析】
【详解】
解：∵x﹣2y=3，
∴3﹣2x+4y=3﹣2（x﹣2y）=3﹣2×3=﹣3；
故选A．
2．D
【解析】
【分析】
从图中可以看出，线段AB 扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是AC ，小圆半径是BC ，圆心角是60度，所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积．
【详解】
阴影面积=(
)603616103603π⨯-=π． 故选D ．
【点睛】
本题的关键是理解出，线段AB 扫过的图形面积为一个环形．
3．C
【解析】
分析：本题可设玻璃球的体积为x ，再根据题意列出不等式组求得解集得出答案即可．
详解：设玻璃球的体积为x ，则有33001804300180x x -⎧⎨
-⎩
＜＞ 解得30＜x ＜1．
故一颗玻璃球的体积在30cm 3以上，1cm 3以下．
故选C ．
点睛：此题考查一元一次不等式组的运用，解此类题目常常要根据题意列出不等式组，再化简计算得出x 的取值范围．
4．D
【解析】
【分析】
依据AB//CD ，即可得到1CEF 30∠∠==o ，再根据2CEF 180∠∠+=o ，即可得到218030150∠=-=o o o ．
【详解】
解：如图，AB//CD Q ，
1CEF 30∠∠∴==o ，
又2CEF 180∠∠+=o Q ，
218030150∠∴=-=o o o ，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等．
5．B
【解析】
试题分析：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形．故选B ．
考点：简单组合体的三视图．
6．C
【解析】
【分析】
过点A 作AD ⊥BC 于点D.根据三角函数关系求出BD 、CD 的长，进而可求出BC 的长.
【详解】
如图所示，过点A 作AD ⊥BC 于点D.
在Rt △ABD 中，∠BAD ＝30°，AD ＝120m ，BD ＝AD∙tan30°＝120×3403； 在Rt △ADC 中，∠DAC ＝60°，CD ＝AD∙tan60°＝120×3＝1203∴BC ＝BD ＋DC ＝40312031603＋＝m.
故选C.
【点睛】
本题主要考查三角函数，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的有关知识，并牢记特殊角的三角函数值. 7．B
【解析】
【分析】
根据矩形的性质得到，CB ∥x 轴，AB ∥y 轴，于是得到D 、E 坐标，根据勾股定理得到ED ，连接BB′，交ED 于F ，过B′作B′G ⊥BC 于G ，根据轴对称的性质得到BF=B′F ，BB′⊥ED 求得BB′，设EG=x ，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
解：∵矩形OABC ，
∴CB ∥x 轴，AB ∥y 轴．
∵点B 坐标为（6，1），
∴D 的横坐标为6，E 的纵坐标为1．
∵D ，E 在反比例函数6y x =
的图象上， ∴D （6，1），E （32
，1）， ∴BE=6﹣32=92
，BD=1﹣1=3， ∴22BE BD +3132．连接BB′，交ED 于F ，过B′作B′G ⊥BC 于G ． ∵B ，B′关于ED 对称，
∴BF=B′F ，BB′⊥ED ，
∴BF•ED=BE•BD 3132BF=3×92
， ∴13
∴13
． 设EG=x ，则BG=92
﹣x ． ∵BB′2﹣BG 2=B′G 2=EB′2﹣GE 2， ∴222299()()()2213x x --=-，
∴x=45 26
，
∴EG=45 26
，
∴CG=42 13
，
∴B′G=54 13
，
∴B′（42
13
，﹣
2
13
），
∴k=
1 21 ．
故选B．
【点睛】
本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
8．A
【解析】
试题分析：如图，过A点作AB∥a，∴∠1=∠2，∵a∥b，∴AB∥b，∴∠3=∠4=30°，而∠2+∠3=45°，∴∠2=15°，∴∠1=15°．故选A．
考点：平行线的性质．
9．A
【解析】
【详解】
试题分析：主要考查倒数的定义和数轴，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
根据倒数定义可知，-2的倒数是-1
2
，有数轴可知A对应的数为-2，B对应的数为-
1
2
，所以A与B是互
为倒数．
故选A．
考点：1．倒数的定义；2．数轴．10．B
【解析】
【分析】
先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵»»
，∠BAC=25°，
DF BC
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
【点睛】
本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
11．C
【解析】
【详解】
如图所示，∵（a+b）2=21
∴a2+2ab+b2=21，
∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，
∴小正方形的面积为13﹣8=1．
故选C．
考点：勾股定理的证明．
12．B
【解析】
【分析】由三视图可判断出几何体的形状，进而利用圆锥的侧面积公式求出答案．
【详解】由题意可得此几何体是圆锥，
底面圆的半径为：2，母线长为：5，
故这个几何体的侧面积为：π×2×5=10π，
故选B．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的形状以及圆锥侧面积求法，正确得出几何体的形状是解题关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．1
【解析】
【分析】
连结BD，利用三角形面积公式得到S△ADB=1
3
S△ABC=2，则S矩形OBAD=2S△ADB=1，于是可根据反比例函数
的比例系数k的几何意义得到k的值．【详解】
连结BD，如图，
∵DC=2AD，
∴S△ADB=1
2
S△BDC=
1
3
S△BAC=
1
3
×6=2，
∵AD⊥y轴于点D，AB⊥x轴，∴四边形OBAD为矩形，
∴S矩形OBAD=2S△ADB=2×2=1，
∴k=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数y=k
x
图象中任取一点，过这一个点向x
轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
14．4.8或64 11
【解析】
【分析】
根据题意可分两种情况，①当CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA与②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，根据相似三角形的性质分别求出时间t即可.
【详解】
①CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以CP
CB
＝
CQ
CA
，
即162
16
t
＝
12
t
，
解得t＝4.8；
②CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以CP
CA
＝
CQ
CB
，
即162
12
t
＝
16
t
，
解得t＝64 11
.
综上所述，当t＝4.8或64
11
时，△CPQ与△CBA相似．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是分情况讨论.
15．1.
【解析】
【分析】
根据题意作出合适的辅助线，然后根据正方形的性质和反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理可以求得AB的长．
【详解】
解：由题意可得：OA=AB，设AP=a，则BP=2a，OA=3a，设点A的坐标为（m，3
m
），作AE⊥x轴于
点E．
∵∠PAO=∠OEA=90°，∠POA+∠AOE=90°，∠AOE+∠OAE=90°，∴∠POA=∠OAE，
∴△POA∽△OAE，∴AP
AO
=
OE
EA
，即
3
a
a
=3
m
m
，解得：m=1或m=﹣1（舍去），∴点A的坐标为（1，3），
∴OA=10，∴正方形OABC的面积=OA2=1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
16．到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个角为90°的平行四边形为矩形
【解析】
【分析】
先利用作法判定OA=OC，OD=OB，则根据平行四边形的判定方法判断四边形ABCD为平行四边形，然后根据矩形的判定方法判断四边形ABCD为矩形．
解：由作法得EF垂直平分AC，则OA=OC，
而OD=OB，
所以四边形ABCD为平行四边形，
而∠ABC=90°，
所以四边形ABCD为矩形．
故答案为到线段两段点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；对角线互相平分的四边形为平行四边形；有一个内角为90°的平行四边形为矩形．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
17．2
【解析】
【分析】作高线AD，由等腰三角形的性质可知D为BC的中点，即AD为BC的垂直平分线，根据垂径定理，AD过圆心O，由BC的长可得出BD的长，根据勾股定理求出半径，继而可得AD的长，在直角三角形ABD中根据正切的定义求解即可.
试题解析：如图，作AD⊥BC，垂足为D，连接OB，
∵AB=AC，∴BD=CD=1
2
BC=
1
2
×8=4，
∴AD垂直平分BC，
∴AD过圆心O，
在Rt△OBD中，OD=2222
54
OB BD
-=-=3，∴AD=AO+OD=8，
在Rt△ABD中，tan∠ABC=
8
4
AD
BD
==2，
故答案为2.
【点睛】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、正切的定义等知识，综合性较强，正确添加辅助线构造直角三角形进行解题是关键.
18．6
【分析】
根据等角对等边，可得AC=BC，由等腰三角形的“三线合一”可得AD=BD=1
2
AB，利用直角三角形斜边
的中线等于斜边的一半，可得CD=1
2
AB，由AP2-PB2=48 ，利用平方差公式及线段的和差公式将其变形
可得CD·PD=12,利用△PCD的面积=1
2
CD·PD可得.
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠B=45°，
∴AC=BC，
∵CD⊥AB ，
∴AD=BD=CD=1
2 AB，
∵AP2-PB2=48 ，
∴(AP+PB)(AP-PB)=48，∴AB(AD+PD-BD+DP)=48, ∴AB·2PD=48，
∴2CD·2PD=48，
∴CD·PD=12，
∴△PCD的面积=1
2
CD·PD=6.
故答案为6.
【点睛】
此题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题关键在于利用等腰三角形的“三线合一
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）证明见解析；（2）AE＝2时，△AEF的面积最大．
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质，可得EF=CE，再根据∠CEF=∠90°，进而可得∠FEH=∠DCE，结合已知条件∠FHE=∠D=90°，利用“AAS”即可证明△FEH≌△ECD，由全等三角形的性质可得FH=ED；
（2）设AE=a，用含a的函数表示△AEF的面积，再利用函数的最值求面积最大值即可．
【详解】
(1)证明：∵四边形CEFG是正方形，∴CE＝EF.
∵∠FEC＝∠FEH＋∠CED＝90°，∠DCE＋∠CED＝90°，
∴∠FEH＝∠DCE.
在△FEH和△ECD中，
,
∴△FEH≌△ECD，
∴FH＝ED.
(2)解：设AE＝a，则ED＝FH＝4－a，
∴S△AEF＝AE·FH＝a(4－a)＝－(a－2)2＋2，
∴当AE＝2时，△AEF的面积最大．
【点睛】
本题考查了正方形性质、矩形性质以及全等三角形的判断和性质和三角形面积有关的知识点，熟记全等三角形的各种判断方法是解题的关键．
20．（1）证明见解析（2）30°
919
【解析】
试题分析：
（1）连接OP，PB，由已知易证∠OBP=∠OPB=∠QBP，从而可得BP平分∠OBQ，结合BQ⊥CP于点Q，PE⊥AB于点E即可由角平分线的性质得到PQ=PE；
（2）如下图2，连接OP，则由已知易得∠CPO=∠PEC=90°，由此可得∠C=∠OPE，设EF=x，则由∠GAB=30°，∠AEF=90°可得3x，在Rt△BEF中，由tan∠BFE=33BE=33x，从而可
得AB=43x，则OP=OA=23x，结合3x可得3x，这样即可得到sin∠OPE=
1
2 OE
OP
，
由此可得∠OPE=30°，则∠C=30°；
（3）如下图3，连接BG，过点O作OK⊥HB于点K，结合BQ⊥CP，∠OPQ=90°，可得四边形POKQ 为矩形．由此可得QK=PO，OK∥CQ从而可得∠KOB=∠C=30°；由已知易证PE=33Rt△EPO 中结合（2）可解得PO=6，由此可得OB=QK=6；在Rt△KOB中可解得KB=3，由此可得QB=9；在△ABG 中由已知条件可得BG=6，∠ABG=60°；过点G作GN⊥QB交QB的延长线于点N，由∠ABG=∠CBQ=60°，可得∠GBN=60°，从而可得解得GN=33BN=3，由此可得QN=12，则在Rt△BGN中可解得QG=319，由∠ABG=∠CBQ=60°可知△BQG中BM是角平分线，由此可得QM：GM=QB：GB=9：6由此即可求得QM的长了.
试题解析：
（1）如下图1，连接OP，PB，∵CP切⊙O于P，
∴OP ⊥CP 于点P ，
又∵BQ ⊥CP 于点Q ，
∴OP ∥BQ ，
∴∠OPB=∠QBP ，
∵OP=OB ，
∴∠OPB=∠OBP ，
∴∠QBP=∠OBP ，
又∵PE ⊥AB 于点E ，
∴PQ=PE ；
（2）如下图2，连接OP ，∵CP 切⊙O 于P ，
∴90OPC OPQ ∠=∠=︒
∴90C COP ∠+∠=︒
∵PD ⊥AB
∴ 90PEO AEF BEF ∠=∠=∠=︒
∴90EPO COP ∠+∠=︒
∴C EPO ∠=∠
在Rt FEA ∆中,∠GAB=30°
∴设EF=x ，则tan303AE EF x =÷︒=
在Rt FEB ∆中,tan ∠3∴·tan 33BE EF BFE x =∠= ∴43AB AE BE x =+= ∴23AO PO x == ∴3EO AO AE x =-=
∴在Rt ∆PEO 中, 1sin 2
EO EPO PO ∠=
= ∴C EPO ∠=∠=30°；
(3)如下图3，连接BG ，过点O 作OK HB ⊥于K ，又BQ ⊥CP ，
∴90OPQ Q OKQ ∠=∠=∠=︒，
∴四边形POKQ 为矩形，
∴QK=PO,OK//CQ ，
∴C KOB ∠=∠=30°，
∵⊙O 中PD ⊥AB 于E ，3，AB 为⊙O 的直径，
∴PE= 123 根据(2)得30EPO ∠=︒，在Rt ∆EPO 中，cos PE EPO PO ∠=
， ∴cos 33cos306PO PE EPO =÷∠=︒=，
∴OB=QK=PO=6，
∴在Rt KOB ∆中，sin KB KOB OB ∠=
， ∴01sin30632
KB OB =⋅=⨯
=， ∴QB=9，
在△ABG 中，AB 为⊙O 的直径，
∴∠AGB=90°，
∵∠BAG=30°，
∴BG=6，∠ABG=60°， 过点G 作GN ⊥QB 交QB 的延长线于点N ，则∠N=90°，∠GBN=180°-∠CBQ-∠ABG=60°，
∴BN=BQ·cos ∠GBQ=3，GN=BQ·sin ∠GBQ=3
3
∴QN=QB+BN=12，
∴在Rt △QGN 中，2212(33)319+=，
∵∠ABG=∠CBQ=60°，
∴BM 是△BQG 的角平分线，
∴QM ：GM=QB ：GB=9：6，
∴QM=9919319155
⨯=.
点睛：解本题第3小题的要点是：（1）作出如图所示的辅助线，结合已知条件和（2）先求得BQ 、BG 的长及∠CBQ=∠ABG=60°；（2）再过点G 作GN ⊥QB 并交QB 的延长线于点N ，解出BN 和GN 的长，这样即可在Rt △QGN 中求得QG 的长，最后在△BQG 中“由角平分线分线段成比例定理”即可列出比例式求得QM 的长了.
21． (1)见解析;(2)见解析
【解析】
分析：（1）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，得到ABED 是平行四边形．
再由平行线分线段成比例定理得到：
FG CF AD CA =， EF CF AB CA = ，FG AD ＝EF AB
，即可得到结论； （2）连接BD ，与AE 交于点H ．由菱形的性质得到12EH AE BD =，⊥AE ，进而得到90DHE ∠=o ，90AFE o ∠=，即有DHE AFE ∠∠＝，得到△DHE ∽△AFE ，由相似三角形的性质即可得到结论． 详解：（1）∵ AD ∥BC DE ，∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形．
∵FG ∥AD ，∴
FG CF AD CA =． 同理 EF CF AB CA
= ． 得：FG AD ＝EF AB
∵FG EF =，∴AD AB =．
∴四边形ABED 是菱形．
（2）连接BD ，与AE 交于点H ．
∵四边形ABED 是菱形，∴12
EH AE BD =，⊥AE ． 得90DHE ∠=o ．同理90AFE o ∠=．
∴DHE AFE ∠∠＝．
又∵AED ∠是公共角，∴△DHE ∽△AFE ．
∴EH DE EF AE =． ∴21·2
AE EF ED =．
点睛：本题主要考查了菱形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质．灵活运用菱形的判定与性质是解题的关键．
22．见解析
【解析】
(1)如图：
(2)连接AD 、CF ，则这两条线段之间的关系是AD ＝CF ，且AD ∥CF ．
23．（1）1(3,3)A -，1(4,1)B -，1(0,2)C -；（2）作图见解析，面积71724π=
+，172
l =． 【解析】
【分析】
（1）由ABC ∆在平面直角坐标系中的位置可得A 、B 、C 的坐标，根据关于原点对称的点的坐标特点即可得1A 、1B 、1C 的坐标；
（2）由旋转的性质可画出旋转后图形22A BC ∆，利用面积的和差计算出22∆A BC S ，然后根据扇形的面积公
式求出2扇形CBC S ，利用ABC ∆旋转过程中扫过的面积222S A BC CBC S S ∆+=扇形进行计算即可．再利用弧长公
式求出点C 所经过的路径长．
【详解】
解：（1）由ABC ∆在平面直角坐标系中的位置可得： (3,3)-A ，(4,1)B -，(0,2)C ，
∵111A B C ∆与ABC ∆关于原点对称，
∴1(3,3)A -，1(4,1)B -，1(0,2)C -
（2）如图所示，22A BC ∆即为所求，
∵(4,1)B -，(0,2)C ， ∴22(40)(12)17=--+-=BC
∴2扇形CBC S 2290(17)1734604
πππ⋅⨯===BC ， ∵22∆A BC S 1117421213142222
=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=， ∴ABC ∆在旋转过程中所扫过的面积： 222扇形∆+=A BC CBC S S S 71724π=
+ 点C 所经过的路径：
9017171802
π==l ． 【点睛】
本题考查的是图形的旋转、及扇形面积和扇形弧长的计算，根据已知得出对应点位置，作出图形是解题的关键．
24．见解析
【解析】
【分析】
由∠1=∠2，可得∠BED=∠AEC ，根据利用ASA 可判定△BED ≌△AEC ，然后根据全等三角形的性质即可得证.
【详解】
解：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠AED=∠2+∠AED ，
即∠BED=∠AEC ，
在△BED 和△AEC 中，
，
∴△BED ≌△AEC （ASA ），
∴ED=EC ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
25．（1）135BAD ∠=︒;
（2）212
ABC ADC ABCD S S S ∆∆+=+=
四边形 【解析】
【分析】
（1）连接AC ，由勾股定理求出AC 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD 的形状，进而可求出∠BAD 的度数；
（2）由（1）可知△ABC 和△ADC 是Rt △，再根据S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC 即可得出结论．
【详解】
解：（1）连接AC ，如图所示：
∵AB=BC=1，∠B=90°
∴
=
又∵AD=1，
∴ AD 2＋AC 2=3 CD 2
2=3
即CD 2=AD 2+AC 2
∴∠DAC=90°
∵AB=BC=1
∴∠BAC=∠BCA=45°
∴∠BAD=135°；
（2）由（1）可知△ABC 和△ADC 是Rt △，
∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =1×1×12
×12
=
122+ . 【点睛】
考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
26
2- 【解析】
试题分析：把相关的特殊三角形函数值代入进行计算即可.
试题解析：原式
=1122122
--. 27．（1）抛物线解析式为22725()326y x =--，顶点为；（2）274()252
S x =--+，1＜x ＜1；（3）①四边形OEAF 是菱形；②不存在，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）已知了抛物线的对称轴解析式，可用顶点式二次函数通式来设抛物线，然后将A 、B 两点坐标代入求解即可．
（2）平行四边形的面积为三角形OEA 面积的2倍，因此可根据E 点的横坐标，用抛物线的解析式求出E 点的纵坐标，那么E 点纵坐标的绝对值即为△OAE 的高，由此可根据三角形的面积公式得出△AOE 的面积与x 的函数关系式进而可得出S 与x 的函数关系式．
（3）①将S=24代入S ，x 的函数关系式中求出x 的值，即可得出E 点的坐标和OE ，OA 的长；如果平行四边形OEAF 是菱形，则需满足平行四边形相邻两边的长相等，据此可判断出四边形OEAF 是否为菱
形．
②如果四边形OEAF 是正方形，那么三角形OEA 应该是等腰直角三角形，即E 点的坐标为（3，﹣3）将其代入抛物线的解析式中即可判断出是否存在符合条件的E 点．
【详解】
（1）由抛物线的对称轴是72
x =，可设解析式为27()2y a x k =-+． 把A 、B 两点坐标代入上式，得
227(6)0,2{7(0) 4.2
a k a k -+=-+=解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()326y x =--，顶点为725(,).26
- （2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
22725()326
y x =--， ∴y<0，即－y>0,－y 表示点E 到OA 的距离．
∵OA 是OEAF Y 的对角线， ∴2172264()2522
OAE S S OA y y x ==⨯⨯⋅=-=--+V ． 因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（1，0），所以，自变量x 的 取值范围是1＜x ＜1．
（3）①根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=． 化简，得27
1().24
x -=解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）．
点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF Y 是菱形；
点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF Y 不是菱形．
②当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF Y 是正方形，
此时点E 的坐标只能是（3，－3）．
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，
故不存在这样的点E ，使OEAF Y 为正方形．。