河北省2020年八年级下学期期中考试数学试卷

河北省八年级下学期期中考试数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题；每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1
2．（3分）下列各式计算正确的是（）
A．B．
（a＞0）C．=×D．
3．（3分）与不是同类二次根式的是（）
A．B．C．D．
4．（3分）若平行四边形中两个内角的度数比为1：3，则其中较小的内角是（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
5．（3分）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）
A．4B．C．2D．3
6．（3分）若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）
A．13 B．13或C．13或15 D．15
7．（3分）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，F是AB的中点，AB=6，AD=4，则AE：EF：BE为（）
A．4：1：2 B．4：1：3 C．3：1：2 D．5：1：2
9．（3分）如图，△ABC中，点D，E，F分别在三边上，DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断不正确的是（）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形
D．如果AD⊥BC，且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形
10．（3分）如图，过平行四边形ABCD对角线交点O的直线交AD于E，交BC于F，若AB=5，BC=6，OE=2，那么四边形EFCD周长是（）
A．16 B．15 C．14 D．13
11．（3分）如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：
①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．
其中正确的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
12．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）
A．1B．C．4﹣2D．3﹣4
二、填空题（本大题共6小题；每小题3分，共18分，把答案写在题中横线上）
13．（3分）的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣b的值是．
14．（3分）如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是．
15．（3分）如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），则顶点C的坐标是．
16．（3分）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最大内角等于．
17．（3分）在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P是BD上的动点，则PE和PC的长度之和最小是．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为．
三、解答下列各题（本题有8个小题，共66分）
19．（8分）（1）÷﹣×+
（2）先化简，再求值：÷（﹣），其中a=+1，b=﹣1．
20．（7分）在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形．求证：AD=BF．
21．（7分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．
22．（8分）如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=6，求AE的长．
23．（8分）11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题
“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树根有多远？
24．（8分）如图所示，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E、F，∠ADC=60°，BE=2，CF=1，连接DE，求△DEC的面积．
25．（10分）如图，正方形ABCD中，点E，F是对角线BD上两点，DE=BF．
（1）判断四边形AECF是什么特殊四边形，并证明；
（2）若EF=4，DE=BF=2，求四边形AECF的周长．
26．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点．
（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．
八年级下学期期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题；每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞1 B．x≥1 C．x＜1 D．x≤1
考点：二次根式有意义的条件．
分析：根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解答：解：∵二次根式有意义，
∴x﹣1≥0，
∴x≥1．
故选B．
点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，根据题意列出关于x的不等式是解答此题的关键．
2．（3分）下列各式计算正确的是（）
A．B．
（a＞0）C．=×D．
考点：二次根式的加减法；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法．
分析：根据二次根式的化简，二次根式的乘除及加减运算，分别进行各选项的判断即可．解答：解：A、﹣2=﹣，运算正确，故本选项正确；
B、=2a，原式计算错误，故本选项错误；
C、=×=6，原式计算错误，故本选项错误；
D、÷=，原式计算错误，故本选项错误；
故选A．
点评：本题考查了二次根式的混合运算及二次根式的化简，属于基础题．
3．（3分）与不是同类二次根式的是（）
A．B．C．D．
考点：同类二次根式．
分析：根据同类二次根式的意义，将题中的根式化简，找到被开方数相同者即可．
解答：解：=
A、=与被开方数不同，不是同类二次根式；
B、=与被开方数相同，是同类二次根式；
C、=与被开方数相同，是同类二次根式；
D、=与被开方数相同，是同类二次根式．
故选：A．
点评：此题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
4．（3分）若平行四边形中两个内角的度数比为1：3，则其中较小的内角是（）
A．30°B．45°C．60°D．75°
考点：平行四边形的性质．
分析：首先设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°，由平行四边形的邻角互补，即可得x+3x=180，继而求得答案．
解答：解：设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°，
则x+3x=180，
解得：x=45°，
∴其中较小的内角是45°．
故选B．
点评：此题考查了平行四边形的性质．注意平行四边形的邻角互补．
5．（3分）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（）
A．4B．C．2D．3
考点：等边三角形的性质．
分析：根据等边三角形三线合一的性质可得D为BC的中点，即BD=CD，在直角三角形ABD中，已知AB、BD，根据勾股定理即可求得AD的长，即可求三角形ABC的面积，即可解题．
解答：解：∵等边三角形高线即中点，AB=2，
∴BD=CD=1，
在Rt△ABD中，AB=2，BD=1，
∴AD=，
∴S△ABC=BC•AD=×2×=，
故选B．
点评：本题考查的是等边三角形的性质，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
6．（3分）若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（）
A．13 B．13或C．13或15 D．15
考点：勾股定理．
分析：本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边12既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12
是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
解答：解：当12是斜边时，第三边是=；
当12是直角边时，第三边是=13．
故选B．
点评：如果给的数据没有明确，此类题一定要分情况求解．
7．（3分）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
考点：勾股定理．
分析：根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．
解答：解：根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=．
∵（）2+（）2=（）2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故选C．
点评：本题考查了勾股定理，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
8．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，DE是∠ADC的平分线，F是AB的中点，AB=6，AD=4，则AE：EF：BE为（）
A．4：1：2 B．4：1：3 C．3：1：2 D．5：1：2
考点：平行四边形的性质．
专题：计算题．
分析：根据平行四边形的性质和已知条件进行求解．
解答：解：∵平行四边形
∴∠CDE=∠DEA
∵DE是∠ADC的平分线
∴∠CDE=∠ADE
∴∠DEA=∠ADE
∴AE=AD=4
∵F是AB的中点
∴AF=AB=3
∴EF=AE﹣AF=1，BE=AB﹣AE=2
∴AE：EF：BE=4：1：2．
故选A．
点评：本题直接通过平行四边形性质的应用以及角的等量代换、线段之间的关系解题．
9．（3分）如图，△ABC中，点D，E，F分别在三边上，DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断不正确的是（）
A．四边形AEDF是平行四边形
B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形
C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形
D．如果AD⊥BC，且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形
考点：矩形的判定；平行四边形的判定．
分析：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；
又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形；
如果AD平分∠BAC，那么∠EAD=∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠ADF，
∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形；
如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．
故以上答案都正确．
解答：解：由DE∥CA，DF∥BA，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AEDF是平行四边形；
又有∠BAC=90°，根据有一角是直角的平行四边形是矩形，可得四边形AEDF是矩形．故A、B正确；
如果AD平分∠BAC，那么∠EAD=∠FAD，又有DF∥BA，可得∠EAD=∠ADF，
∴∠FAD=∠ADF，
∴AF=FD，那么根据邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形AEDF是菱形，而不一定是矩形．故C错误；
如果AD⊥BC且AB=AC，那么AD平分∠BAC，同上可得四边形AEDF是菱形．故D正确．
故选C
点评：本题考查平行四边形、矩形及菱形的判定，具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
10．（3分）如图，过平行四边形ABCD对角线交点O的直线交AD于E，交BC于F，若AB=5，BC=6，OE=2，那么四边形EFCD周长是（）
A．16 B．15 C．14 D．13
考点：平行四边形的性质．
分析：根据平行四边形性质得出AD=BC=6，AB=CD=5，OA=OC，AD∥BC，推出
∠EAO=∠FCO，证△AEO≌△CFO，推出AE=CF，OE=OF=2，求出DE+CF=DE+AE=AD=6，即可求出答案．
解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，AB=CD=5，OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴AE=CF，OE=OF=2，
∴DE+CF=DE+AE=AD=6，
∴四边形EFCD的周长是EF+FC+CD+DE=2+2+6+5=15，
故选B．
点评：本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出DE+CF 的长和求出OF长．
11．（3分）如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：
①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．
其中正确的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
考点：平移的性质；等边三角形的性质；菱形的判定与性质．
分析：先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断④正确．
解答：解：△ABC、△DCE是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD，
∴∠ACD=180°﹣∠ACB﹣∠DCE=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∴AD=AC=BC，故①正确；
由①可得AD=BC，
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BD、AC互相平分，故②正确；
由①可得AD=AC=CE=DE，
故四边形ACED是菱形，即③正确．
综上可得①②③正确，共3个．
故选D．
点评：本题考查了平移的性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质及菱形的判定，解答本题的关键是先判断出△ACD是等边三角形，难度一般．
12．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）
A．1B．C．4﹣2D．3﹣4
考点：正方形的性质．
专题：压轴题．
分析：根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE=∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD=DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直
角边等于斜边的倍计算即可得解．
解答：解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，
∵∠BAE=22.5°，
∴∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣22.5°=67.5°，
在△ADE中，∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，
∴∠DAE=∠AED，
∴AD=DE=4，
∵正方形的边长为4，
∴BD=4，
∴BE=BD﹣DE=4﹣4，
∵EF⊥AB，∠ABD=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BE=×（4﹣4）=4﹣2．
故选：C．
点评：本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的难点．
二、填空题（本大题共6小题；每小题3分，共18分，把答案写在题中横线上）13．（3分）的整数部分是a，小数部分是b，则a﹣b的值是4﹣．
考点：估算无理数的大小．
分析：只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，再进一步表示出其小数部分即可解决问题．
解答：解：∵＜，
∴2＜3，
所以a=2，b=﹣2；
故a﹣b=2﹣（﹣2）=4﹣．
故答案为：4﹣．
点评：此题主要考查了无理数的估算能力，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键．
14．（3分）如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是﹣．
考点：勾股定理；实数与数轴．
专题：压轴题．
分析：在直角三角形中根据勾股定理求得OB的值，即OA的值，进而求出数轴上点A 表示的数
解答：解：∵OB==，
∴OA=OB=，
∵点A在数轴上原点的左边，
∴点A表示的数是﹣，
故答案为：﹣．
点评：本题考查了实数与数轴、勾股定理的综合运用．
15．（3分）如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），则顶点C的坐标是（7，3）．
考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质．
分析：首先过点D作DE⊥OB于点E，过点C作CF⊥OB于点F，易证得△ODE≌△CBF，则可得CF=DE=3，BF=OE=2，继而求得OF的长，则可求得顶点C的坐标．
解答：解：过点D作DE⊥OB于点E，过点C作CF⊥OB于点F，
∴∠OED=∠BFC=90°，
∵平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），
∴OB∥CD，OD∥BC，
∴DE=CF=3，∠DOE=∠CBF，
在△ODE和△CBF中，
，
∴△ODE≌△CBF（AAS），
∴BF=OE=2，
∴OF=OB+BF=7，
∴点C的坐标为：（7，3）．
故答案为：（7，3）．
点评：此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得
△ODE≌△CBF是关键．
16．（3分）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最大内角等于150°．
考点：平行四边形的性质；矩形的性质．
分析：首先过点A作AE⊥BC于点E，由将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，可得AE=AB，即可求得∠ABC的度数，
继而求得各内角度数．
解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，
∴AE=AB，
∴∠ABC=30°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD=180°﹣∠ABC=150°，
∴这个平行四边形的最大内角等于150°．
故答案为：150°．
点评：此题考查了平行四边形的性质以及矩形的性质．注意根据题意求得AE=AB是关键．
17．（3分）在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P是BD上的动点，则PE和PC的长度之和最小是．
考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
分析：连接AC、AE，由正方形的性质可知A、C关于直线BD对称，故AE的长即为PE+PC 的最小值，再根据勾股定理求出AE的长即可．
解答：解：如图所示：连接AC、AE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于直线BD对称，
∴AE的长即为PE+PC的最小值，
∵BE=2，CE=1，
∴BC=AB=2+1=3，
在Rt△ABE中，
∵AE===，
∴PE与PC的和的最小值为．
故答案为：．
点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及正方形的性质，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（2，4）或（3，4）或（8，4）．
考点：矩形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
专题：动点型．
分析：当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论．
解答：解：由题意，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，有三种情况：
（1）如答图①所示，PD=OD=5，点P在点D的左侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，
∴OE=OD﹣DE=5﹣3=2，
∴此时点P坐标为（2，4）；
（2）如答图②所示，OP=OD=5．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△POE中，由勾股定理得：OE===3，
∴此时点P坐标为（3，4）；
（3）如答图③所示，PD=OD=5，点P在点D的右侧．
过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=4．
在Rt△PDE中，由勾股定理得：DE===3，
∴OE=OD+DE=5+3=8，
∴此时点P坐标为（8，4）．
综上所述，点P的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．
故答案为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．
点评：本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用，符合题意的等腰三角形有三种情形，注意不要遗漏．
三、解答下列各题（本题有8个小题，共66分）
19．（8分）（1）÷﹣×+
（2）先化简，再求值：÷（﹣），其中a=+1，b=﹣1．
考点：分式的化简求值；二次根式的混合运算．
分析：（1）先将二次根式化简，然后进行加减；
（2）先将括号内的部分相减，因式分解后约分即可．
解答：（1）解：原式=4﹣+2=4+；
（2）解：原式=÷
=•
=﹣，
当a=+1，b=﹣1时，原式=﹣．
点评：（1）本题考查了二次根式的混合运算，熟悉二次根式的化简是解题的关键；（2）本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解是解题的关键．
20．（7分）在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形．求证：AD=BF．
考点：平行四边形的性质．
专题：证明题．
分析：根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=EF，AD∥EF，再根据两直线平行，同位角相等可得∠ACB=∠FEB，根据等边对等角求出∠ACB=∠B，从而得到∠FEB=∠B，然后根据等角对等边证明即可．
解答：证明：∵四边形ADEF为平行四边形，
∴AD=EF，AD∥EF，
∴∠ACB=∠FEB，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B，
∴∠FEB=∠B，
∴EF=BF，
∴AD=BF．
点评：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质，平行线的性质，等角对等边的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．
21．（7分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，
连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．
考点：菱形的性质．
专题：证明题．
分析：根据菱形的对角线互相平分可得OD=OB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=OB，然后根据等边对等角求出∠OHB=∠OBH，根据两直线平行，内错角相等求出∠OBH=∠ODC，然后根据等角的余角相等证明即可．
解答：证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠COD=90°，
∵DH⊥AB，
∴OH=BD=OB，
∴∠OHB=∠OBH，
又∵AB∥CD，
∴∠OBH=∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，
∴∠DHO=∠DCO．
点评：本题考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等角的余角相等，熟记各性质并理清图中角度的关系是解题的关键．
22．（8分）如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD=8，AB=6，求AE的长．
考点：翻折变换（折叠问题）．
专题：计算题．
分析：先根据折叠的性质得到∠DBC=∠DBE，再由AD∥BC得到∠DBC=∠BDE，则∠DBE=∠BDE，于是可判断BE=DE设AE=x，则DE=BE=8﹣x，然后在Rt△ABE中利用勾股定理得到x2+62=（8﹣x）2，再解方程即可．
解答：解：∵△BDC′是由△BDC折叠得到，
∴∠DBC=∠DBE，
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠BDE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE
设AE=x，则DE=AD﹣AE=8﹣x，BE=8﹣x，
在Rt△ABE中，∵AE2+AB2=BE2，
∴x2+62=（8﹣x）2，解得x=，
即AE的长为．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．
23．（8分）11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题
“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标．问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树根有多远？
考点：勾股定理的应用．
分析：根据题意画出图形，利用勾股定理建立方程，求出x的值即可．
解答：解：画图解决，通过建模把距离转化为线段的长度．
由题意得：AB=20，DC=30，BC=50，
设EC为x肘尺，BE为（50﹣x）肘尺，
在Rt△ABE和Rt△DEC中，AE2=AB2+BE2=202+（50﹣x）2，DE2=DC2+EC2=302+x2，
又∵AE=DE，
∴x2+302=（50﹣x）2+202，
x=20，
答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根20肘尺
另解：设：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根肘尺，则这条鱼出现的地方离比较低的棕榈树的树根（50﹣x）肘尺．
得方程：x2+302=（50﹣x）2+202
可解的：x=20；
答：这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的树根20肘尺．
点评：本题考查勾股定理的正确运用；善于挖掘题目的隐含信息是解决本题的关键．
24．（8分）如图所示，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E、F，∠ADC=60°，BE=2，CF=1，连接DE，求△DEC的面积．
考点：平行四边形的性质．
分析：根据平行四边形中对角、对边分别相等，∠B=∠ADC=60°，再根据已知边长，由勾股定理可求出AE、AD的长，则EC的长可求，△DEC的面积可求．
解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=60°，AB=CD，AD=BC．
∵AE⊥BC，
∴在Rt△ABE中，BE=2，AB=4，AE=2，
∴CD=AB=4，
∵CF=1，∴DF=3，
∵AF⊥DC，∠D=60°
∴在Rt△ADF中，AD=6
∴EC=BC﹣BE=AD﹣BE=6﹣2=4．
S△DEC=EC×AE=×4×2=4．
点评：运用平行四边形的性质解决以下问题，如求角的度数、线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．
25．（10分）如图，正方形ABCD中，点E，F是对角线BD上两点，DE=BF．
（1）判断四边形AECF是什么特殊四边形，并证明；
（2）若EF=4，DE=BF=2，求四边形AECF的周长．
考点：正方形的性质；勾股定理；菱形的判定．
分析：（1）连接AC，交BD于点O．利用正方形的性质得出AC⊥BD，OA=OC=OB=OD，进一步得出OE=OF，证得四边形AECF是菱形；
（2）利用菱形的性质和勾股定理求得即可．
解答：解：（1）四边形AECF是菱形，理由如下：
连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OC=OB=OD
∴DE=BF
∴OE=OF
∴四边形AECF是菱形；
（2）∵EF=4，DE=BF=2，
∴AC=BD=8，
∴AE=，
∴四边形AECF的周长为8．
点评：此题考查正方形的性质，菱形的判定，勾股定理等知识点，注意结合已知条件合理作出辅助线解决问题．
26．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点．
（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．
考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
专题：几何综合题；压轴题．
分析：（1）连接AD，根据直角三角形的性质可得AD=BD=DC，从而证明
△BPD≌△AQD，得到PD=QD，∠ADQ=∠BDP，则△PDQ是等腰三角形；由
∠BDP+∠ADP=90°，得出∠ADP+∠ADQ=90°，得到△PDQ是直角三角形，从而证出△PDQ 是等腰直角三角形；
（2）若四边形APDQ是正方形，则DP⊥AP，得到P点是AB的中点．
解答：（1）证明：连接AD
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，
在△BPD和△AQD中，
，
∴△BPD≌△AQD（SAS），
∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP，
∵∠BDP+∠ADP=90°
∴∠ADP+∠ADQ=90°，即∠PDQ=90°，
∴△PDQ为等腰直角三角形；
（2）解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠B=∠C=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°，
又∵∠A=90°，∠PDQ=90°，
∴四边形APDQ为矩形，
又∵DP=AP=AB，
∴矩形APDQ为正方形（邻边相等的矩形为正方形）．
点评：本题考查正方形的判定：邻边相等的矩形为正方形．也考查了等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．。