人教A版高中必修二试题1-3-1-1柱体、锥体、台体的表面积与体积.docx

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第1章 1.3.1.1
一、选择题
1．将一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( ) A ．6a 2 B ．12a 2 C ．18a 2
D ．24a 2
[答案] B
[解析] 原来正方体表面积为S 1＝6a 2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为13a ，其表面积为6×⎝⎛⎭⎫13a 2＝23a 2，总表面积S 2＝27×2
3a 2＝18a 2，∴增加了S 2－S 1＝12a 2.
2．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的全面积为( )
A.3π
2 B ．2π C ．π
D ．4π
[答案] A
[解析] 由三视图可知，该几何体是底半径为1
2
，高为1的圆柱，故其全面积S ＝2π×⎝⎛⎭⎫12
2
＋2π×12×1＝3π2
.
3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ) A.1＋2π2π
B.1＋4π
4π
C.1＋2ππ
D.1＋4π2π
[答案] A
[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h ＝2πr ，∴S 全＝2πr 2＋2πr ·h ＝2πr 2(1
＋2π)
又S 侧＝h 2＝4π2r 2，∴S 全S 侧
＝1＋2π
2π.
[点评] 圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为圆锥的母线，弧长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台两底周长，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关问题，有时要通过侧面展开图来求解．
4．已知圆柱轴截面的周长l 为定值，则圆柱侧面积的最大值为( ) A.1
4πl 2 B.1
8πl 2 C.1
16πl 2
D ．πl 2
[答案] C
[解析] 设圆柱的底面半径为r ，高是h ，由其轴截面周长为l ，可得 4r ＋2h ＝l ，∴h ＝l －4r
2，S ＝2πrh ＝πr (l －4r )．
易得当r ＝l 8时，S 最大值为1
16
πl 2.
5．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面
积为( )
A ．81π
B ．100π
C ．14π
D ．169π
[答案] B
[解析]圆台的轴截面如图，设上底半径为r，则下底半径为4r，高为4r.
因为母线长为10，所以在轴截面等腰梯形中，有102＝(4r)2＋(4r－r)2.解得r＝2.所以S
圆台侧＝π(r＋4r)·10＝100π，故选B.
6．一个长方体的长、宽、高分别为3,8,9，若沿其一对面钻一个圆柱形孔后其表面积没
有变化，则孔的半径为()
A．3 B．8
C．9 D．3或8或9
[答案] A
[解析]要使几何体的表面积不发生变化，则圆柱的两底面面积之和等于圆柱的侧面
积．设圆柱的底面半径为r，则2πr2＝2πrh，即r＝h.还需检验：当h＝9时，在长为8，宽
为3的面上不可能截得半径为9的孔；当h＝8时，在长为9，宽为3的面上也不可能截得
半径为8的孔；当h＝3时，在长为9，宽为8的面上可以截得半径为3的孔．故正确答案
为A.
7．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积
．．．等于()
A. 3 B．2
C．2 3 D．6
[答案] D
[解析]原几何体是一个底面边长为2，高为1的正三棱柱，
则S侧＝3×2×1＝6.
8．棱锥的一个平行于底面的截面把棱锥的高分成1∶2(从顶点到截面与从截面到底面)
两部分，那么这个截面把棱锥的侧面分成两部分的面积之比等于()
A．1∶9 B．1∶8
C．1∶4 D．1∶3
[答案] B
[解析] 两个锥体的侧面积之比为1∶9，小锥体与台体的侧面积之比为1∶8，故选B. 9．一个圆台的上、下底面面积分别是π cm 2和49π cm 2，一个平行于底面的截面面积为25π cm 2，则这个截面与上、下底面的距离之比是( )
A ．2∶1
B ．3∶1 C. 2 ∶1
D. 3 ∶1
[答案] A
[解析] 将圆台补成圆锥形成三个小锥体，它们的底面积之比为1∶25∶49，因此高之比为1∶5∶7，所以截面与上、下底面的距离之比为4∶2即2∶1，故选A.
10．四棱台的两底面分别是边长为x 和y 的正方形，各侧棱长都相等，高为z ，且侧面积等于两底面积之和，则下列关系式中正确的是( )
A.1x ＝1y ＋1
z B.1y ＝1x ＋1z C.1z ＝1x ＋1y
D.1z ＝1x ＋y
[答案] C
[解析] 由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为h ′，则根据条件得， ⎩⎨⎧
4·x ＋y
2
·h ′＝x 2
＋y 2
z 2
＋⎝⎛⎭⎫
y －x 22
＝h ′
2，
消去h ′得，4z 2(x ＋y )2＋(y －x )2(y ＋x )2＝(x 2＋y 2)2. ∴4z 2(x ＋y )2＝4x 2y 2， ∴z (x ＋y )＝xy ， ∴1z ＝1x ＋1y . 二、填空题
11．用一张4×8(cm 2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，接头忽略不计，则轴截面面积是________．
[答案]
32π
cm 2
[解析] 设卷成圆柱的底面半径r ，母线长为l ，则S 侧＝2πrl ＝32，S 轴＝2rl ＝32
π(cm 2)．
12．已知棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，O 为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，E 为棱A 1B 1上一点，则AE ＋EO 的长度的最小值是________．
[答案]
102
a [解析] 将正方体一部分展开如图， AE ＋EO 在A 、O 、E 三点共线时取最小值． AO ＝OE ′2＋AE ′2 ＝
⎝⎛⎭⎫12a 2＋⎝⎛⎭⎫32a 2＝102
a . 13．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为________．
[答案] 180°
[解析] 由题意知，πrl ＝2πr 2 ∴l ＝2r ， ∴θ＝r
l
×360°＝180°.
14．面积为2的菱形，绕其一边旋转一周，所得几何体的表面积是________． [答案] 8π
[解析] 如图，设菱形ABCD 边长为m ，AD 边上高BE ＝h ，则mh ＝2，其表面积S ＝2πh ·m ＋2(πh ·m )＝8π.
三、解答题
15．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝2，CC 1＝1，一条绳子从A 沿着表面拉到点C 1，求绳子的最短长度．
[解析] 绳子的最短长度有三种情况，如下图：
图(1)是将面ABB 1A 1与A 1B 1C 1D 1展开，AC ′1＝32；图(2)是由A 经过面ABB 1A 1和BCC 1B 1到C 1，AC ′1＝26；图(3)是由A 经过面ABCD 和BCC 1B 1到C 1，AC ′1＝2 5.
比较上述三种情况知，AC ′1最小为3 2.
[点评] (1)防止只画出一个图形就下结论，或者以为长方体的对角线AC 1＝a 2＋b 2＋c 2
是最短线路．
(2)解答多面体表面上两点间最短线路问题，一般地都是将多面体表面展开，转化为求平面内两点间线段长．
16．底面为正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心的棱锥称作正棱锥，其侧面等腰三角形的高称作棱锥的斜高，已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm ，高与斜高的夹角为30°，如图所示，求正四棱锥的侧面积和表面积．
[解析] 正四棱锥的高PO ，斜高PE ，底面边心距OE 组成Rt △POE . ∵OE ＝2cm ，∠OPE ＝30°，∴h ′＝PE ＝
OE
sin30°
＝4cm ， 因此S 侧＝12ch ′＝1
2×(4×4)×4＝32(cm 2)，
S 表面积＝S 侧＋S 底＝32＋16＝48(cm 2)．
17．如图，一直角梯形ABCD 的上、下底分别为CD ＝3，AB ＝33，高AD ＝2，求以腰BC 所在直线为轴旋转一周所形成的旋转体的表面积．
[解析] 由题设∠ABC ＝30°，BC ＝4，分别过A 、D 作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足为M 、N ，
则AM ＝332，DN ＝3
2，所求旋转体的表面积由三部分构成
①圆锥B －AM 的侧面积S 1＝π·AM ·AB ＝27π
2.
②圆台MN 的侧面积S 2＝π(AM ＋DN )·AD ＝43π. ③圆锥C －DN 的侧面积S 3＝π·DN ·CD ＝32π
∴S 表＝S 1＋S 2＋S 3＝(15＋43)π.
18．已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：cm)
[解析] 几何体的直观图如图．
这是底面边长为4，高为2的同底的正四棱柱与正四棱锥的组合体，易求棱锥的斜高h ′＝22，其表面积S ＝42＋4×4×2＋⎝⎛⎭⎫12×4×22×4
＝48＋16 2 cm 2.。