2019高二数学能力训练(培优卷)
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）
3. [ 难度系数：4] 已知 f (x) = x 2 − 2 x + a (e x−1 + e −x +1) 有唯一的零点，则 a =（ A. 0 B.1
x2 y2 + = 1 上，点 H 在线段 PQ 上，且满足 4. [ 难度系数：2 ] 已知动点 P, Q 在椭圆 16 9 OP ⃗ ⋅ OQ ⃗ = 0， OH ⃗ ⋅ PQ ⃗ = 0，则 | OH ⃗ | = （ 2 3 A. 6 B. 5 3 4
η (Q, M, N )，则 η (P, A , B ) 的最小值为（
）；
二、解答题 本题共2小题，每小题25分，共50分。根据题目要求，写出文字说明，证明或演算步骤。 11. [ 难度系数：7 ] 已知数列 {an}，{bn} 满足 a1 = 2 3 ，b1 = 3，an+1 =
bn+1 =
an+1bn ，求：数列 {an}，{bn} 的通项公式。
2 an bn ， an + bn
12. [ 难度系数：6 ] 已知一椭圆
x 2 y2 + = 1 (a > b) 上有一点 P ，过 P 作 PM ⊥ l，（l 为椭圆准 a2 b2 1 的值。 e2
线，并与 x 轴交与 N ）且 PN 平分∠ FPM，椭圆的离心率为 e，且四边形 OFMP 为平行四边 形， 求 (e 2 + 1)(1 + e) −
1 t (n ∈ N *)，若对任意 n ∈ N *，Cn < 恒成立，则 n 2 5
10. [ 难度系数：3 ] 已知圆 C : (x − 3)2 + ( y + 2)2 = 9，点 A (− 2,0)，B (0,2)，设 P 为圆 C 上一动点， 定义：一动点 Q 到两定点 M, N 的距离的平方和叫作“Q 到 M, N 的离差平方和”，记做：
） C. 2
2 5
D.
4 15
5. [ 难度系数：3 ] 若函数 f (x) = 实数 a 的取值范围是（ A. (2 + l n 2,e] ）
| l n x | + 2 x>0 ，方程 f [ f (x)] = a 有且仅有 5 个不同实根，则 {3 − x 2 x≤0
C. (2 + l n 2,3] D. (3,2 + l n 3]
B. (e,2 + l n 3]
二、填空题 本题共5小题，每小题10分，共50分。根据题目要求，填入正确答案。 6. [ 难度系数：3 ] 已知函数 f (x) = l n （ ）；
2012 ex ie f( ) = 503(a + b)，则 a 2 + b 2 的最小值为 ，若 ∑ e −x 2013 i =1
y
x
2019 高二数学能力训练（一）（培优卷）
一、选择题 本题共5小题，每小题10分，共50分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求，请 选择正确的选项。 1. [ 难度系数：4 ] 若 x 2 + y 2 − x y = 1，则 u = x 2 − y 2 的取值范围是（ A. [− ） D.[−
2 3 2 3 , ] 3 3
B. [−
3 2
,
3 2 ∑
i =0 n
]
C. [0,
3 2
]
3 3
,
3 3
]
2. [ 难度系数：3 ] 设 a 0 + a1 x + a 2 x 2 = A. n
(1 + i x)2，则
2 a0 =（ a1
）
B.
n +1 n2
C.
n +1 n
D.
(n + 1)2 n−1
7. [ 难度系数：5 ] 若 x , y > 0，且 x 2 + y 2 +
1 1 27 15 3 ，则 的最小值为（ + = − x y 4 x 4y x ) 的最小正周期为（ 2
）；
）；
8. [ 易错 ][ 难度系数：1 ] 函数 y = si n x (1 + t a n x t a n 9. [ 难度系数：2 ] 已知{Cn}，Cn = (n 2 − n) ⋅ 最小正整数 t =（ ）；
3. [ 难度系数：4] 已知 f (x) = x 2 − 2 x + a (e x−1 + e −x +1) 有唯一的零点，则 a =（ A. 0 B.1
x2 y2 + = 1 上，点 H 在线段 PQ 上，且满足 4. [ 难度系数：2 ] 已知动点 P, Q 在椭圆 16 9 OP ⃗ ⋅ OQ ⃗ = 0， OH ⃗ ⋅ PQ ⃗ = 0，则 | OH ⃗ | = （ 2 3 A. 6 B. 5 3 4
η (Q, M, N )，则 η (P, A , B ) 的最小值为（
）；
二、解答题 本题共2小题，每小题25分，共50分。根据题目要求，写出文字说明，证明或演算步骤。 11. [ 难度系数：7 ] 已知数列 {an}，{bn} 满足 a1 = 2 3 ，b1 = 3，an+1 =
bn+1 =
an+1bn ，求：数列 {an}，{bn} 的通项公式。
2 an bn ， an + bn
12. [ 难度系数：6 ] 已知一椭圆
x 2 y2 + = 1 (a > b) 上有一点 P ，过 P 作 PM ⊥ l，（l 为椭圆准 a2 b2 1 的值。 e2
线，并与 x 轴交与 N ）且 PN 平分∠ FPM，椭圆的离心率为 e，且四边形 OFMP 为平行四边 形， 求 (e 2 + 1)(1 + e) −
1 t (n ∈ N *)，若对任意 n ∈ N *，Cn < 恒成立，则 n 2 5
10. [ 难度系数：3 ] 已知圆 C : (x − 3)2 + ( y + 2)2 = 9，点 A (− 2,0)，B (0,2)，设 P 为圆 C 上一动点， 定义：一动点 Q 到两定点 M, N 的距离的平方和叫作“Q 到 M, N 的离差平方和”，记做：
） C. 2
2 5
D.
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5. [ 难度系数：3 ] 若函数 f (x) = 实数 a 的取值范围是（ A. (2 + l n 2,e] ）
| l n x | + 2 x>0 ，方程 f [ f (x)] = a 有且仅有 5 个不同实根，则 {3 − x 2 x≤0
C. (2 + l n 2,3] D. (3,2 + l n 3]
B. (e,2 + l n 3]
二、填空题 本题共5小题，每小题10分，共50分。根据题目要求，填入正确答案。 6. [ 难度系数：3 ] 已知函数 f (x) = l n （ ）；
2012 ex ie f( ) = 503(a + b)，则 a 2 + b 2 的最小值为 ，若 ∑ e −x 2013 i =1
y
x
2019 高二数学能力训练（一）（培优卷）
一、选择题 本题共5小题，每小题10分，共50分，在每小题给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求，请 选择正确的选项。 1. [ 难度系数：4 ] 若 x 2 + y 2 − x y = 1，则 u = x 2 − y 2 的取值范围是（ A. [− ） D.[−
2 3 2 3 , ] 3 3
B. [−
3 2
,
3 2 ∑
i =0 n
]
C. [0,
3 2
]
3 3
,
3 3
]
2. [ 难度系数：3 ] 设 a 0 + a1 x + a 2 x 2 = A. n
(1 + i x)2，则
2 a0 =（ a1
）
B.
n +1 n2
C.
n +1 n
D.
(n + 1)2 n−1
7. [ 难度系数：5 ] 若 x , y > 0，且 x 2 + y 2 +
1 1 27 15 3 ，则 的最小值为（ + = − x y 4 x 4y x ) 的最小正周期为（ 2
）；
）；
8. [ 易错 ][ 难度系数：1 ] 函数 y = si n x (1 + t a n x t a n 9. [ 难度系数：2 ] 已知{Cn}，Cn = (n 2 − n) ⋅ 最小正整数 t =（ ）；