11离散数学a卷答案

上海海洋大学试卷答案
姓名： 学号： 专业班名：
一、选择填空题（每空3分，共42分） 1、C 2、B
3、00，10 ， ()()p q p q ∨⌝∧⌝∨⌝
4、 令F(x):x 是运动员，G(x):x 是强壮的 (()())(()(x F x G x x F x G x ∀→⌝∃∧⌝或
5、(()())x y P x Q y ∃∀→
6、A
7、 (1,2)
[3,⋃
8、 13,f f 9、{1,1,2,2}<><> 答案不唯一 11、 n 为奇数 。

12、6
12、 90 ， {000，001，01，10，11}
三、（8分）设计一盏电灯的开关电路，要求受3个开关A 、B 、C 的控制：当且仅当A 和C 同时关闭或B 和C 同时关闭时灯亮。

设p ：开关A 关闭，q ：开关B 关闭，r ：开关C 关闭，G 表示灯亮。

求G 的主析取和主合取范式。

解：由题意可知()()G p r q r ⇔∧∨∧
()()()(p q r p q r p q r p
q r
⇔∧∧∨∧⌝∧∨∧∧∨
⌝∧
∧ ()()(
)p q r p q r p
q r
⇔∧∧∨∧⌝∧∨⌝∧∧ 主析取范式 故G 的成真赋值为 111，101，011 G 的成假赋值为 000，001，010，100，110 主合取范式为
()()()()()G p q r p q r p q r p q r p q r ⇔∨∨∧∨∨⌝∧∨⌝∨∧⌝∨∨∧⌝∨⌝∨
四、（8分）在自然推理系统中，构造并证明下列推理。

（命题逻辑推理证明） 若小张喜欢数学，则小李或小赵也喜欢数学。

若小李喜欢数学，则他也喜欢物理。

小张确实喜欢数学，但小李不喜欢物理。

所以，小赵喜欢数学。

证明：设p:小张喜欢数学，q:小李喜欢数学，r:小赵喜欢数学，s:小李喜欢物理 上述符号化为：
前提：,,p q r q s p s →∨→∧⌝；结论：r
证明：（1）p s ∧⌝ 前提 （7）q ⌝ （3）（6）拒取式 （2）p （1）化简 （8）r (5)(7)析取三段论 （3）s ⌝ （1）化简 （4）p q r →∨ 前提
（5）q r ∨ （2）（4）假言推理 （6）q s → 前提
五、设集合{,,,}A a b c d =，R 为A 上的二元关系，且{(,),(,),(,),(,)}R a b b c c a d d =， （1）求R 的关系矩阵；（3分） （2）求R 的性质；（3分）
（3）求R 的传递闭包t （R ）；（4分）
（4）设{(,),(,),(,)}S a c c b d c =，求1S R - ；（4分）
（5）在关系R 中添加最少的有序对使其成为A 上的等价关系，不妨令该等价关系为*R ，求*R 及商集*/A R 。

（4分）
解：（1）01000010
10000001R
M ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
（2）R 具反对称性。

（3）2{(,),(,),(,),(,)}R a c b a c b d d =，3{(,),(,),(,),(,)}R a a b b c c d d =
4{(,),(,),(,),(,)}
R a b b
c c a
d d = 所以
234
(){(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}
t R R R R R
a b b c c a d d a c b a c b a a b b c c ==
（4）1{(,),(,),(,)}S c a b c c d -=
1{(,),(
,),(,)}
S R a c b a b d -= （5）*{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}R a b b c c a d d a c b a c b a a b b c c =
*
/{{,,},{}}A R a b c d =
六、（10分）设集合{1,2,3,4,6,8,12,24}A =， R 为A 上的整除关系，则R 为偏序关系。

（1）求该关系的哈斯图； （2）令{2,3,6}B =，求B 的最大元、最小元、极大元、极小元。

解
最大元：6 最小元：无 极大元：6 极小元：2，3
八、（5分）已知,,,,,,a b c d e f g 七人中，会讲的语言分别为：
:a 英语、德语，:b 英语、汉语，:c 英语、意大利语、俄语，:d 汉语、日语， :e 意大利语、德语，:f 俄语、日语、法语，:g 德语、法语
问能否将他们的座位安排在圆桌旁，使得每个人都能和身边的人交谈？ 解：令V={,,,,,,a b c d e f g }，{(,)|}E u v u v =与可交谈 则可得图G=<V ,E>,
由题意即判断右图是否为哈密顿图。

显然右图为哈密顿图，且有哈密顿回路 Abdfgeca(或abdfcega)
按上述方式安排圆桌会议可使每人都和 身边的人交谈。

九、（6分）已知无向赋权图G=<V ,E,W>,
（1）该图是否为欧拉图，如果不是， 最少添加几条边可以将其变为欧拉图？ 请在上图中画出。

（2）求该图的最小生成树。

解：（1）该图不是欧拉图，有4个奇度顶点。

最少添加2条边使其变为欧拉图。

1
2
3
4
6 8 12
24
a b c d
e f g
（2）最小生成树为：权为15.
1v 3v 2v
4v
5v
7v
8v
6v
3
2
2
1
1
3
3。