2023-2024学年福建省龙岩市上杭四中九年级(上)开学数学试卷(含解析)

2023-2024学年福建省龙岩市上杭四中九年级（上）开学数学试
卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 一元二次方程3x2−2=4x可化成一般形式为( )
A. 3x2−4x+2=0
B. 3x2−4x−2=0
C. 3x2+4x+2=0
D. 3x2+4x−2=0
2. 抛物线y=2(x−3)2−4的顶点坐标为( )
A. (−3,4)
B. (−3,−4)
C. (3,4)
D. (3,4)
3. 方程x2−3x+2=0的根的情况是( )
A. 只有一个实数根
B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 有两个不相等的实数根
4. 把抛物线y=−x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为
( )
A. y=−(x−1)2+3
B. y=−(x+1)2+3
C. y=−(x+1)2−3
D. y=−(x−1)2−3
5. 若二次函数y=ax2的图象经过点P(−2,4)，则该图象必经过点( )
A. (2,4)
B. (−2,−4)
C. (−4,2)
D. (4,−2)
6. 用配方法解方程x2+4x=3，下列配方正确的是( )
A. (x−2)2=1
B. (x−2)2=7
C. (x+2)2=7
D. (x+2)2=1
7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几
个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是( )
A. (1+x)2=121
B. 1+x+x2=121
C. 1+x+(x+1)2=121
D. 1+x+2(x+1)=121
8. 若a，b是方程x2+2x−2024=0的两个实数根，则a2+3a+b的值是( )
A. 2021
B. 2022
C. 2023
D. 2024
9. 等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x的一元二次方程x2−6x+k=0的
两个实数根，则k的值是( )
A. 8
B. 9
C. 8或9
D. 12
10. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：
①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；
④存在实数m、n(m≠n)，使得am2+bm+c=an2+bn+c；
其中正确的( )
A. ①②③
B. ①②④
C. ②③④
D. ①③④
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 如果抛物线y=ax2的开口方向向下，那么a的取值范围是．
12. 一元二次方程x(x+2)=0的解是______．
13. 若x1，x2是一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，则x1+x2=______ ．
14. 如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的
部分种上草坪，要使草坪的面积为551m2，则道路的宽为______ m.
15. 已知关于x的一元二次方程(m−1)x2+4x−1=0有实数根，则m的取值范围是______ ．
16. 已知关于x的方程m(x+a)2+n=0的解是x1=−3，x2=1，则关于x的方程m(x+a−5 )2+n=0的解是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
解方程：
(1)x2+2x−1=0；
(2)(2x−1)2=4x−2．
18. (本小题8.0分)
若x1，x2是一元二次方程2x2+4x−1=0的两个根，求下列式子的值．
(1)x21+x22；
(2)1
x1+1
x2
．
19. (本小题8.0分)
已知二次函数y=(x−2)2−4．
(1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
(2)根据图象，直接写出当y<0时x的取值范围．
20. (本小题8.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−2x+m−2=0有两个不相等的实数根x1、x2．
(1)求m的取值范围；
(2)当x1=−1时，求另一个根x2的值．
21. (本小题8.0分)
已知：抛物线的顶点坐标为(1,−4)，且经过点(−2,5)．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)求此抛物线与x轴的交点坐标．
22. (本小题10.0分)
为满足师生阅读需求，某校图书馆的藏书量不断增加，2020年年底的藏书量为5万册，2022年年底的藏书量为9.8万册．
(1)求该校这两年藏书的年均增长率；
(2)假设2023年该校藏书的年均增长率与前两年相同，请你预测到2023年年底该校的藏书量是多少？
23. (本小题10.0分)
如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，BC =8cm ，点P 从点A 开始沿射线AC 向点C 以2c m /s 的速度移动，与此同时，点Q 从点C 开始沿边CB 向点B 以1cm /s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、C 同时出发，运动的时间为ts ，当点Q 运动到点B 时，两点停止运动．
(1)当点P 在线段AC 上运动时，P 、C 两点之间的距离______cm .(用含t 的代数式表示)
(2)在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC 的面积是△ABC 面积的16
.若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．
24. (本小题12.0分)
某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件.他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价1元，每天的销售量会减少4件．
(1)设销售单价提高x 元(x 为正整数)，写出每天销售量y (个)与x (元)之间的函数关系式；
(2)当售价定为多少元时，每天的利润为140元？
(3)假设这种商品每天的销售利润为w 元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元．
25. (本小题14.0分)
如图，已知抛物线y =−12(x−k )2+ℎ图象经过点A (−1,0)，且对称轴为直线x =32
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若C (m ,m−1)是抛物线上位于第一象限内的点，D 是线段AB 上的一个动点(不与A 、B 重合)，过点D 分别作DE //BC 交AC 于E ，DF //AC 交BC 于F ．
①求C 点坐标；
②求证：四边形DECF 是矩形；
③连接EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：方程整理得：3x2−4x−2=0．
故选：B．
方程整理为一般形式即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c=0(a,b,c为常数且a≠0)．2.【答案】D
【解析】解：抛物线y=2(x−3)2−4的顶点坐标为(3,−4)；
故选：D．
直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
3.【答案】D
【解析】解：∵x2−3x+2=0，
∴Δ=(−3)2−4×1×2=1>0，
∴方程x2−3x+2=0有两个不相等的实数根，
故选：D．
根据一元二次方程根的判别式，可以判断该方程根的情况，从而可以解答本题．
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根．
4.【答案】B
【解析】解：抛物线y=−x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：y=−(x+1)2+3．
故选：B．
根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．
先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．
【解答】
解：∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P(−2,4)，
则该图象必经过点(2,4)．
故选：A．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．把方程两边都加上4，方程左边可写成完全平方式．
【解答】
解：x2+4x+4=7，
(x+2)2=7．
故选：C．
7.【答案】A
【解析】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，
∴第一轮传染中有x个人被传染，第二轮传染中有x(1+x)个人被传染，
又∵有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，
∴可列出方程1+x+x(1+x)=121，
整理得：(1+x)2=121．
故选：A．
由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中有x个人被传染，第二轮传染中有x(1 +x)个人被传染，结合“有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵a，b是方程x2+2x−2024=0的两个实数根，
∴a2+2a=2024，a+b=−2，
∴a2+3a+b=(a2+2a)+a+b=2024+(−2)=2022，
故选：B．
由a，b是方程x2+2x−2024=0的两个实数根，得a2+2a=2024，a+b=−2，将所求式子变形后整体代入即可．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的概念和程根与系数的关系．
9.【答案】B
【解析】解：当等腰三角形的底边为2时，
此时关于x的一元二次方程x2−6x+k=0有两个相等实数根，
∴Δ=36−4k=0，
∴k=9，
此时两腰长为3，
∵2+3>3，
∴k=9满足题意，
当等腰三角形的腰长为2时，
此时x=2是方程x2−6x+k=0的其中一根，
∴4−12+k=0，
∴k=8，
此时方程另外一根为：x=4，
∵2+2=4，
∴不能组成三角形，不合题意，
综上所述，k=9，
故选：B．
根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型．
10.【答案】B
【解析】解：①若a+b+c=0，则方程ax2+bx+c=0必有一个根为1，
∴b2−4ac≥0，正确；
②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则−4ac>0，可知b2−4ac>0，
∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，正确；
③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，
若c=0时，ac+b+1=0不成立，错误；
④am2+bm+c−(an2+bn+c)=a(m2−n2)+b(m−n)=a(m+n)(m−n)+b(m−n)=(m−n)[ a(m+n)+b]．
∵m≠n．
∴m−n≠0．
∴当a(m+n)+b=0时，am2+bm+c−(an2+bn+c)=0．
∴存在实数m、n(m≠n)，使得am2+bm+c=an2+bn+c.正确．
故选：B．
①a+b+c=0说明原方程有根是1，即可判断；
②判断方程的根的情况，根据根的判别式Δ=b2−4ac的值的符号即可判断；
③c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0，整理后即可判断；
④根据am2+bm+c−(an2+bn+c)=(m−n)[a(m+n)+b].得到当a(m+n)+b=0时，am2 +bm+c−(an2+bn+c)=0.于是得到结论．
本题考查一元二次方程根的判别式与方程系数的关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．
11.【答案】a<0
【解析】解：∵抛物线y=ax2的开口方向向下，
∴a<0，
故答案为：a<0．
由抛物线的开口方向与a的关系求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握抛物线开口方向与a的符号的关系．12.【答案】x1=0，x2=−2
【解析】解：x=0或x+2=0，
所以x1=0，x2=−2．
故答案为：x1=0，x2=−2．
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
13.【答案】−2
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x−5=0的两个根，
∴x1+x2=−2，
故答案为：−2．
根据根与系数的关系可得出x1+x2=−2．
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于−b
a 、两根之积等于c
a
是解题的关键．
14.【答案】1
【解析】解：设道路的宽为x m，
根据题意得(30−x)(20−x)=551，
整理得x2−50x+49=0，
解得x1=1，x2=49(不符合题意，舍去)，
∴道路的宽为1m，
故答案为：1．
设道路的宽为x m，根据题意，草坪的面积等于长为(30−x)m、宽为(20−x)m的矩形的面积，于是列方程得(30−x)(20−x)=551，解方程求出符合题意的x值即得到问题的答案．
此题重点考查一元二次方程的解法、列一元二次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示草坪的面积是解题的关键．
15.【答案】m≥−3且m≠1
【解析】解：∵方程((m−1)x2+4x−1=0是一元二次方程，
∴m−1≠0，则m≠1，
∵该方程有实数根，
∴Δ=b2−4ac=42−4×(m−1)×(−1)=4m+12≥0，
解得m≥−3，
综上：m的取值范围是m≥−3且m≠1．
故答案为：m ≥−3且m ≠1．
根据一元二次方程的定义可得m ≠1，结合根的判别式即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根据判别式，解题的关键是掌握当b 2−4ac >0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2−4ac =0时，方程有两个相等的实数根；当b 2−4ac <0时，方程没有实数根．
16.【答案】x 1=2，x 2=6
【解析】解：∵关于x 的方程m (x +a )2+n =0的解是x 1=−3，x 2=1，∴关于(x−5)的方程m (x +a−5)2+n =0的解满足x−5=−3或x−5=1，解得x 1=2，x 2=6．故答案为：x 1=2，x 2=6．
把关于x 的方程m (x +a−5)2+n =0看作关于(x−5)的一元二次方程，则x−5=−3或x−5=1，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x 2=p 或(nx +m )2=p (p ≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．整体的思想的应用是解决问题的关键．
17.【答案】解：(1)x 2+2x−1=0，
x 2+2x +1=2，(x +1)2=2，x +1=± 2，
x 1=−1− 2，x 2=−1+ 2；(2)(2x−1)2=4x−2，(2x−1)2−2(2x−1)=0，(2x−1)(2x−1−2)=0，(2x−1)(2x−3)=0，2x−1=0或2x−3=0，x 1=1
2，x 2=3
2
． 【解析】(1)根据配方法解方程即可求解；(2)先移项，再因式分解法解方程即可求解．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18.【答案】解：∵x1，x2是一元二次方程2x2+4x−1=0的两个根，
∴x1+x2=−4
2=−2，x1x2=−1
2
，
(1)x21+x22
=(x1+x2)2−2x1x2
=4−2×(−1
2
)
=5；
(2)1
x1+1
x2
=x1+x2
x1x2
=−2−1
2
=4．
【解析】根据根与系数的关系可得x1+x2=−4
2=−2，x1x2=−1
2
，再进一步求解(1)(2)即可．
本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．19.【答案】解：(1)列表：
x…01234…
y…0−3−4−30…
描点、连线如图；
(2)由图象可知：当y<0时x的取值范围是0<x<4．
【解析】(1)利用列表，描点，连线作出图形即可；
(2)写出函数图象在x轴下方的部分的x的取值范围即可．
本题考查了二次函数图象，注意：二次函数的解析式的三种形式：
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；
(2)顶点式：y=a(x−ℎ)2+k；
(3)交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2).
20.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2−2x+m−2=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−2)2−4×1×(m−2)>0，
解得：m<3，
∴m的取值范围为m<3；
(2)∵关于x的一元二次方程x2−2x+m−2=0有两个不相等的实数根x1、x2，
∴x1+x2=2，
又∵x1=−1，
∴−1+x2=2，
∴x2=3．
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2−4ac>0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
(2)利用两根之和等于−b
a
，即可得出x1+x2=2，代入x1=−1，即可求出x2=3．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)牢记“当Δ>0时，方程有两个
不相等的实数根”；(2)牢记“两根之和等于−b
a ，两根之积等于c
a
”.
21.【答案】解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(1,−4)，
∴设二次函数表达式为y=a(x−1)2−4，
∵图象经过(−2,5)，
∴5=9a−4，
∴a=1．
则该二次函数表达式为：y=(x−1)2−4=x2−2x−3；
(2)由y=x2−2x−3得到：y=(x−3)(x+1)，
故此抛物线与x轴的交点坐标为(3,0)，(−1,0)．
【解析】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的表达式，在利用待定系数法求二次函数表达式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出表达式．
(1)设顶点式y =a (x−1)2−4，然后把(−2,5)代入求出a 即可得到二次函数的表达式；(2)将(1)中的函数表达式转化为交点式，可以直接得到答案．
22.【答案】解：(1)设该校这两年藏书的年平均增长率为x ．
由题意得：5(1+x )2=9.8，
解得：x 1=0.4=40%，x 2=−2.4(不合题意，舍去)，答：这两年藏书的年平均增长率为40%；(2)9.8×(1+40%)=13.72(万册)．
答：预测到2023年年底该校的藏书量是13.72万册．
【解析】(1)设该校这两年藏书的年平均增长率为x ，利用该校图书馆2021年底的藏书量=该校图书馆2020年底的藏书量×(1+这两年藏书的年平均增长率)2，列出一元二次方程，解之取其正值即可；
(2)利用该校图书馆2023年底的藏书量=该校图书馆2022年底的藏书量×(1+藏书的年平均增长率)，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)(6−2t )
(2)△ABC 的面积为S △A B C =12
×6×8=24，①当0<t <3时，PC =6−2t ，QC =t ，∴S △P C Q =12
PC ×QC =12
t (6−2t )，∴12
t (6−2t )=4，即t 2−3t +4=0，∵△=b 2−4ac =−7<0，∴该一元二次方程无实数根，∴该范围下不存在；
②当3<t ≤8时，PC =2t−6，QC =t ，∴S △P C Q =12
PC ×QC =12
t (2t−6)，∴12
t (2t−6)=4，即t 2−3t−4=0，
解得t=4或−1(舍去)，
．
综上所述，存在，当t=4时，△PQC的面积是△ABC面积的1
6
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答时利用三角形的面积公式建立一元二次方程是关键．
(1)依据AC=6cm，AP=2t，即可得到：当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离(6−2t) cm；
(2)分两种情况：当0<t<3时，当3<t≤8时，分别依据△PQC的面积是△ABC面积的1
，列方
6
程求解即可．
【解答】
解：(1)∵△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，
∴Rt△ABC中，AC=6cm，
又∵点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，
∴AP=2t，
∴当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离(6−2t)cm；
故答案为：(6−2t)；
(2)见答案
24.【答案】解：(1)设售价单价提高x元，则y=32−4x；
(2)由题可知售价为(9+x)元，(9+x−5)(32−4x)=140即(x+4)(32−4x)=140，
解得x1=1，x2=3，
故售价为：9+1=10或9+3=12，∵需要减少库存，并且每提高1元，销售量会减少4件，
故售价定为10元，
当售价定为10元时，每天的利润为140元；
(3)w=(9+x−5)(32−4x)=−4x2+16x+128=−4(x−2)2+144，∴当x=2时，w最大值为144，
故售价为9+2=11，
当售价为11元时，利润最大为144．
【解析】(1)设售价单价提高x 元时，利用每天的销售量会减少4件即可列出函数关系式；(2)售价为(9+x )元，每天的利润为140元，根据题意列方程即可得到结论；
(3)根据题中等量关系为：利润=(售价−进价)×售出件数，根据等量关系列出函数关系式，将函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出w 的最大值．
本题考查的是二次函数的应用，熟知利润=(售价−进价)×售出件数是解答此题的关键．
25.【答案】(1)解：∵抛物线y =−12(x−k )2+ℎ图象经过点A (−1,0)，且对称轴为直线x =3
2，
∴{
0=−12
(−1−k )2+ℎ
k =32
，
解得{
k =3
2
ℎ=258
，
∴y =−1
2(x−32)2+
25
8
=−12x 2+32x +2；
∴抛物线的解析式为y =−12
x 2+32
x +2；
(2)①解：把C (m ,m−1)代入y =−12
x 2+32
x +2得：m−1=−12
m 2+32
m +2，解得m =3或m =−2，∵C 是位于第一象限内的点，∴C (3,2)；
②证明：在y =−12
x 2+32
x +2中，令y =0，得0=−12
x 2+32
x +2，解得x =−1或x =4，∴A (−1,0)、B (4,0)，又∵C (3,2)，
∴AB 2=(−1−4 )2=25；AC 2=(−1−3 )2+(0−2 )2=20；BC 2=(4−3 )2+(0−2 )2=5；∴AC 2+BC 2=AB 2；
∴△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，∵DE //BC ，DF //AC ，∴四边形DECF 是平行四边形，∴四边形DECF 是矩形；
③解：线段EF 的长存在最小值，理由如下：
连接CD ，过C 点作CH ⊥AB ，垂足为H ，如图：
∵四边形DECF 是矩形，∴EF =CD ，
当CD ⊥AB 时，CD 的值最小，∵C (3,2)，
∴DC 的最小值等于CH =2，∴EF 的最小值是2．
【解析】(1)根据抛物线y =−12
(x−k )2+ℎ图象经过点A (−1,0)，且对称轴为直线x =32
，用待定系数法可得抛物线的解析式为y =−12
x 2+32
x +2；
(2)①把C (m ,m−1)代入y =−1
2
x 2+32
x +2得：m−1=−12
m 2+32
m +2，m =3或m =−2，而C 是位于第一象限内的点，故C (3,2)；
②求出A (−1,0)、B (4,0)，AB 2=(−1−4 )2=25；AC 2=(−1−3 )2+(0−2 )2=20；BC 2=(4−3 )2+(0−2 )2=5；可得AC 2+BC 2=AB 2，∠ACB =90°，又DE //BC ，DF //AC ，从而四边形D ECF 是矩形；
③连接CD ，过C 点作CH ⊥AB ，垂足为H ，由四边形DECF 是矩形，知EF =CD ，故当CD ⊥AB 时，CD 的值最小，又C (3,2)，可得EF 的最小值是2．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，矩形的判定，最短路径等知识，解题的关键是掌握勾股定理逆定理，证明∠ACB =90°．。