浙江省普通高中数学学业水平考试试卷有答案

2016年4月浙江省普通高中学业水平考试
数学试卷
选择题
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分.）
1. 已知集合{}1,2A =，{}(1)()0,B x x x a a R =--=∈.若A B =，则a 的值为（ ） A.2 B.1 C.1- D.2-
2. 已知角α的终边经过点(3,4)P ，则sin α=（ ）
A.35
B.34
C.45
D.43
3. 函数2()log (1)f x x =-的定义域为（ ） A.(,1)-∞- B.(,1)-∞ C.(0,1) D.(1,)+∞
4. 下列图象中，不可能成为函数()y f x =图象的是（ ）
5.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的方程为2y x =+，则一点O 到直线l 的距离是
A.1
2
2
6. tan 20tan 251tan 20tan 25
+=-⋅o o
o o
（ ）
1- D.1
7. 如图，某简单组合体由半个球和一个圆台组成，则该几何体的侧视图为（ ） 8. 已知圆221:1C x y +=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ） A.内含 B.外离 C.相交 D.相切
9. 对任意的正实数a 及,m n Q ∈，下列运算正确的是（ ） A.()m n m n a a += B.()n
m n m a a = C.()m n m n a a -= D.()m n mn a a =
10. 已知空间向量(2,1,5)a =-r ，(4,2,)b x =-r
()x R ∈.若a r ⊥b r ，则x =（ ） A.10- B.2- C.2 D.10
11. 在平面直角坐标系xOy 中，设a R ∈.若不等式组1010y a x y x y ⎧⎪
-+⎨⎪+-⎩≤≤≥，所表示平面区域的边界
为三角形，则a 的取值范围为（ ）
A.(1,)+∞
B.(0,1)
C.(,0)-∞
D.(,1)(1,)-∞+∞U
12. 已知数列{}*
()n a n N ∈满足12,1,n n n
a a a +⎧=⎨+⎩n n 为奇数
为偶数，设n S 是数列{}n a 的前n 项和.
若520S =-，则1a 的值为（ ） A.239
-
B.20
31
- C.6- D.2- 13. 在空间中，设,,a b c 为三条不同的直线，α为一平面.现有： 命题:p 若a α⊄，b α⊂，且a ∥b ，则a ∥α
命题:q 若a α⊂，b α⊂，且c ⊥a ，c ⊥b ，则c ⊥α.则下列判断正确的是（ ） A.p ，q 都是真命题 B.p ，q 都是假命题
C.p 是真命题，q 是假命题
D.p 是假命题，q 是真命题
14. 设*n N ∈，则“数列{}n a 为等比数列”是“数列21n a ⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
为等比数列”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 15. 在△ABC 中，已知∠A ＝30°，AB ＝3，BC ＝2，则△ABC 的形状是（ ）
A.钝角三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.不能确定
16. 如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，P 是棱BC 上的动点.记直线A 1P 与平面ABC 所成的角为1θ，与直线BC 所成的角为2θ，则12,θθ的大小关系是（ ） A.12θθ= B.12θθ> C.12θθ< D.不能确定
17. 已知平面向量,a b r r 满足3
a =r ，12()
b e e R λλ=+∈r u r u u r ，其中12,e e u r u u r 为不共线的单位向量.若
对符合上述条件的任意向量,a b r r
恒有a b -r r ≥3，则12,e e u r u u r 夹角的最小值为（ ）
A.
6π B. 3π C. 23π D. 56
π
18. 设函数2()(,)f x ax b a b R x
=--∈.若对任意的正实数a 和实数b ，总存在0[1,2]x ∈，使得
0()f x ≥m ，则实数m 的取值范围是（ ）
A.(,0]-∞
B.1(,]2
-∞ C.(,1]-∞ D.(,2]-∞
非选择题
二、填空题（本题有四小题，每空3分，共15分）
19. 已知函数()2sin()32f x x π
=++，x R ∈，则()f x 的最小正周期是 ，而最小值为_____.
20. 设函数()2()x f x a a R =+∈.若函数()f x 的图象过点(3,18)，则a 的值为_______.
21. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>.若存在圆心在双曲线的一条
渐近线上的圆，与另一条渐近线及x 轴均相切，则双曲线的离心率为 .
22. 将棱长为1的正方体ABCD EFGH -任意平移至
11111111A B C D E FG H -，连接GH 1，CB 1.设M ，N 分别为GH 1，CB 1的中点，则MN 的长
为 .
三、解答题（本大题共3小题，共31分）
23.（本题10分）如图，将数列{}*2()n n N ∈依次从左到 右，从上到下排成三角形数阵，其中第n 行有n 个数. （Ⅰ）求第5行的第2个数； （Ⅱ）问数32在第几行第几个；
（Ⅲ）记第i 行的第j 个数为,i j a （如3,2a 表示第3行第2个数，即3,210a =），
求
1,12,23,34,45,56,6
111111
a a a a a a +++++
的值. 24. (本题10分)已知椭圆2
214
x y +=，P 是椭圆的上顶点.
过P 作 斜率为k （k ≠0）的直线l 交椭圆于另一点A ，设点A 关于原点的对称点为B . （Ⅰ）求△PAB 面积的最大值；
（Ⅱ）设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ，若点N 在椭圆内 部，求斜率k 的取值范围. 25.（本题11分）已知函数11
()f x x a x b
=-
--（,a b 为实常数且a b <）. （Ⅰ）当1a =，3b =时，
（i ）设()(2)g x f x =+，判断函数()y g x =的奇偶性，并说明理由； （ii ）求证：函数()f x 在[2,3)上是增函数.
（Ⅱ）设集合{}(,)()M x y y f x ==，2(,)(),2
a b N x y y x R λλ⎧+⎫==-∈⎨⎬
⎩
⎭
.若M N φ=I ， 求λ的取值范围.
答案
一、
选择题
二、填空题
19. π2，
1 20. 10 21.
2 22. 2
三、解答题
23.解：（Ⅰ）记n a n =2，由数阵可知，第5行的第2个数为a 12，
因为n a n =2，所以第5行的第2个数为24.
（Ⅱ）因为n a =32，所以n =16.由数阵可知，32在第6行第1个数. （Ⅲ）由数阵可知,,,,,,,,,,,a a a a a a ======1122334455662612203042.所以，
,,,,,,...()()...()a a a a a a +++++=+++=-+-++-=-=⨯⨯⨯1122334455661111111111111116
111223672236777
24.解：（Ⅰ）由题意得椭圆的上顶点(),P 01，设点A 为(),x y 00.因为B 是A 关于原点
O 的对称点，所以点B 为(),x y --00.
设PAB ∆的面积为S ，则PAO PB PAO S S S S PO x x ∆∆∆=+==⨯=0001
222
. 因为x -≤≤022，所以当x =±02时，S 有最大值2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知()(),,,(,P B x y x --≠000010且)y ≠-01.
所以，直线PB 的斜率为
y x +001，线段PB 的中点为,x y -⎛⎫
- ⎪⎝⎭
00122，
于是PB 的中垂线方程为y x x y x y -⎛⎫
-
=-+ ⎪+⎝⎭
00001212. 令x =0，得N 的纵坐标()
N x y y y --=+22
000121.
又直线l 的方程为y kx =+1，将方程代入x y +=2
214
并化简得
()k x kx ++=221480.
由题意，,,k k x y k k -=-
=++2
0022
8141414 所以，()()()N k k k k k y k k k ----++==--+++22222222
2
814112141414142114. 因为点N 在椭圆内部，所以k k
-<-<+2
2
121114.
解得k -
<<44
. 又由已知k ≠0，所以斜率k
的取值范围是(,)(,-
0044
U . 25.解：（Ⅰ）因为,a b ==13，所以()f x x x =
-
--1113
. （ⅰ）所以()()g x f x x x =+=-
+-11
211
. 因为()()g x g x x x x x -=
-=-=-+--+-1111
1111
, 又因为()g x 的定义域为{|,x x ≠-1且}x ≠1，所以()y g x =是偶函数. （ⅱ）设,[,)x x ∈1223且x x <12，
()()()()(
)()()()()()
x x x x f x f x x x x x x x x x -+--=---=--------12121212121122241111
13131313 因为,[,)x x ∈1223且x x <12，所以,,()()()()x x x x x x x x -<+->---->1212112204013130
综上得()(),f x f x -<120即()()f x f x <12. 所以，函数()f x 在[,)23上是增函数.
（Ⅱ）因为M N =∅I ，所以函数()y f x =与()a b y x λ+=-
2
2
的图像无公共点， 即方程
()a b x x a x b λ+-=---2
112
无实数解，也即方程 ()()()(,a b a b x a x b x x a λ+-=---
≠2
2
且)x b ≠（﹡）无实数解. ①当λ=0时（﹡）无解，显然符合题意. ②当λ≠0时，令()()()a b y x a x b x +=---
2
2
， 变形得()[()]()a b a b a b y x x +-+=---222
242
. 又令(),a b t x +=-2
2得()()()[][]a b a b a b y t t t ---=-=--22424864.
于是当()a b t -=28，即)a b a b x +-=±24时，有min ()a b y -=-464
. 所以，要使（﹡）无实数解，只要
(),a b
a b λ
--<-464
，解得
()
b a λ<<
-3
64
0.。