2020年高中必修一数学上期中试卷及答案(1)

2020年高中必修一数学上期中试卷及答案(1)
一、选择题
1．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）
B ．（﹣∞，2]
C ．（2，+∞）
D ．[2，+∞）
2．设集合{}1,2,4A =，{}
2
40B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =
( ) A ．{}1,3-
B ．{}1,0
C ．{}1,3
D ．{}1,5
3．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：
①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2
π
,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 A ．①②④
B ．②④
C ．①④
D ．①③
4．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则
(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）
A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50
5．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．已知函数22
21,2,
()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩
且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）
A ．(4,5)
B ．[4,5)
C ．(4,5]
D ．[4,5]
7．若0.2
3log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为
A ．c b a <<
B ． b a c <<
C ． a b c <<
D ．b c a <<
8．函数()f x 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )
A ．()21
2
x
x f x -= B ．()()2
1x
f x x =-
C ．()ln f x x =
D ．()1x
f x xe =-
9．已知函数2
()log (23)(01)a f x x x a a =--+>≠,，若(0)0f <，则此函数的单调减区
间是（） A ．(,1]-∞-
B ．[1)-+∞，
C ．[1,1)-
D ．(3,1]--
10．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞-
B ．[2,)+∞
C ．(,2]-∞
D ．[2,)-+∞
11．函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为1
4
-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ） A ．
52
B
．
522
+
C ．
32
D ．2
12．
若函数()sin ln(f x x ax =⋅的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．2
B ．2±
C ．4
D ．4±
二、填空题
13．设函数()21
2
log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪
=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是
__________． 14．已知函数2
1,1()()
1
a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨
->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()
y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______． 15．函数(
)
2
2()log 23f x x x =+-的单调递减区间是______． 16．如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于1
2
的正根，则实数m 的取值范围为____________.
17．若幂函数()a
f x x =的图象经过点1(3)9
，，则2a -=__________.
18．已知函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是_________．
19．某企业去年的年产量为a ，计划从今年起，每年的年产量比上年增加b ﹪，则第
x ()x N *∈年的年产量为y =______.
20．某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6
人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人．
三、解答题
21．已知函数()()
log 1x
a f x a =-（0a >，1a ≠）
（1）当1
2
a =
时，求函数()f x 的定义域； （2）当1a >时，求关于x 的不等式
()()1f x f <的解集；
（3）当2a =时，若不等式()(
)2log 12
x
f x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，求实数
m 的取值范围.
22．已知函数()()2
21+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.
(1)求a 、b 的值； (2)设()()
2
g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．
23．如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4
θ=
.
（1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？
（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）
24．已知函数()()()
sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12
x π
=时，()f x 取得最大值4：当712
x π
=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 25．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =++-. （1）求函数()y f x =的定义域；
（2）判断函数()y f x =的奇偶性； （3）若(2)()f m f m -<，求m 的取值范围. 26．函数是奇函数．
求的解析式；
当
时，
恒成立，求m 的取值范围．
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 试题分析：当
时，，此时
成立，当
时，，当时，，即
，当
时，
，当
时，
恒成立，所以a 的取值范围为
，故选B.
考点：集合的关系
2．C
解析：C 【解析】
∵ 集合{}1
24A ，，=，{}
2
|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =
∴{}{}
{}2
2
|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】
()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当
2x π
π<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫
π ⎪⎝⎭
单调递减，故②错误．当0x π≤≤
时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，
()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零
点：0-π,,π，故③错误．当[](
)2,2x k k k *
∈ππ+π∈N
时，()2sin f x x =；当
[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，
()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．
【点睛】
画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．
4．C
解析：C 【解析】
分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,
因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，
(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，
选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】
如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .
【点睛】
本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.
6．A
解析：A 【解析】
不妨设123x x x <<，当2x <时，()()2
12f x x =--+，此时二次函数的对称轴为
1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且
12
12
x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.
7．B
解析：B 【解析】 【分析】
由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】
由指数函数与对数函数的性质可知，
a =()3log 20,1,
b ∈=lg0.20,
c <=0.221>，所以b a c <<，
故选：B.
【点睛】
本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据定义域排除C ，求出()1f 的值，可以排除D ，考虑()100f -排除A . 【详解】
根据函数图象得定义域为R ，所以C 不合题意；
D 选项，计算()11f e =-，不符合函数图象；
对于A 选项， ()100
10099992
f -=⨯与函数图象不一致；
B 选项符合函数图象特征.
故选：B 【点睛】
此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
求得函数()f x 的定义域为(3,1)-，根据二次函数的性质，求得()2
23g x x x =--+在
(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，再由(0)0f <，得到01a <<，利用复合函数的
单调性，即可求解. 【详解】
由题意，函数2
()log (23)a f x x x =--+满足2230x x --+>，
解得31x -<<，即函数()f x 的定义域为(3,1)-，
又由函数()2
23g x x x =--+在(3,1]--单调递增，在(1,1)-单调递减，
因为(0)0f <，即(0)log 30a f =<，所以01a <<，
根据复合函数的单调性可得，函数()f x 的单调递减区间为(3,1]--， 故选D. 【点睛】
本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
10．B
解析：B 【解析】
由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[
)2,+∞ 本题选择B 选项.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x 的取值，然后利用数形结合即可得到结论． 【详解】
当x≥0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=x 2﹣x=（x ﹣
12）2﹣1144≥-， 当x ＜0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=﹣x 2﹣x=﹣（x+12）2+1
4
， 作出函数f （x ）的图象如图：
当x≥0时，由f （x ）=x 2﹣x=2，解得x=2． 当x=
12时，f （12）=1
4
-． 当x ＜0时，由f （x ）=）=﹣x 2﹣x=1
4
-
．
即4x 2
+4x ﹣1=0，解得=
=，
∴此时， ∵[m，n]上的最小值为1
4
-，最大值为2，
∴n=2，
11
22
m --≤≤，
∴n﹣m 的最大值为25
2+， 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据图象对称关系可知函数为偶函数，得到()()f x f x =-，进而得到
22
1414ax x x ax
++=
+-.
【详解】
()f x Q 图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数 ()()f x f x ∴=-
即：()
2
22sin ln 14sin ln
14sin ln
14x ax x x x ax x x ax
⋅++=-⋅+=⋅+-22
1414ax x x ax
∴++=
+-恒成立，即：222141x a x +-=
24a ∴=，解得：2a =± 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查根据函数的奇偶性求解参数值的问题，关键是能够明确恒成立时，对应项的系数相同，属于常考题型.
二、填空题
13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??
【解析】 【分析】
【详解】
由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220
log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪
⇒⎨>⎪⎩或
11
a a a a
<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.
14．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3
【解析】 【分析】
由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】
由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，
当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，
解得2=-x a 或x a =-，所以21
12a a a a -≤⎧⎪
-≤⎨⎪-≠-⎩
，解得13a <?；
当1x >时，由2
()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以11
11a a ->⎧⎨+>⎩
，解得2a >，
综上可得：实数a 的取值范围为(]
2,3. 【点睛】
本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.
15．【解析】设（）因为是增函数要求原函数的递减区间只需求（）的递减区间由二次函数知故填
解析：()-3∞-，
【解析】
设2log y t =，223t x x =+-，（0t >）因为2log y t =是增函数，要求原函数的递减区间，只需求223t x x =+-（0t >）的递减区间，由二次函数知(,3)x ∈-∞-，故填
(,3)x ∈-∞-．
16．（-∞-）【解析】【分析】方程有两个大于的根据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可【详解】解：根据题意m 应当满足条件即：解得：实数m 的取值范围：（-∞-）故答案为：（-∞-）【点睛】本题考查根的判
解析：（-∞，-12
） 【解析】 【分析】 方程有两个大于1
2
的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】
解：根据题意，m 应当满足条件
2(1)40112211(1)042
m m m m m ⎧
⎪∆=-+>⎪
-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：1
2m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-1
2
）. 故答案为：（-∞，-12
）. 【点睛】
本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.
17．【解析】由题意有：则： 解析：
14
【解析】 由题意有：1
3,29
a
a =∴=-， 则：()2
2
124
a
--=-=
. 18．；【解析】【分析】分为和两种情形分类讨论利用复合函数的单调性结合对数函数的性质求出取值范围【详解】∵函数（且）在上是减函数当时故本题
即求在满足时函数的减区间∴求得当时由于是减函数故是增函数不满足题意
解析：(1,4)； 【解析】 【分析】
分为1a >和01a <<两种情形分类讨论，利用复合函数的单调性，结合对数函数的性质求出a 取值范围． 【详解】
∵函数()log (4)a f x ax =-（0a >，且1a ≠）在[0,1]上是减函数， 当1a >时，故本题即求4t ax =-在满足0t >时，函数t 的减区间， ∴40a ->，求得14a <<，
当01a <<时，由于4t ax =-是减函数，故()f x 是增函数，不满足题意， 综上可得a 取值范围为(1,4)， 故答案为：(1,4)． 【点睛】
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数，理解“同增异减”以及注意函数的定义域是解题的关键，属于中档题．
19．y ＝a （1+b ）x （x∈N*）【解析】【分析】根据条件计算第一年产量第二年产量…根据规律得到答案【详解】设年产量经过x 年增加到y 件第一年为y ＝a （1+b ）第二年为y ＝a （1+b ）（1+b ）＝a （1+
解析：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）
【解析】 【分析】
根据条件计算第一年产量，第二年产量…根据规律得到答案. 【详解】
设年产量经过x 年增加到y 件， 第一年为 y ＝a （1+b %）
第二年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）2， 第三年为 y ＝a （1+b %）（1+b %）（1+b %）＝a （1+b %）3， …
∴y ＝a （1+b %）x （x ∈N *）． 故答案为：y ＝a （1+b %）x （x ∈N *） 【点睛】
本题考查了指数型函数的应用，意在考查学生的应用能力.
20．8【解析】【分析】画出表示参加数学物理化学竞赛小组集合的图结合图形进行分析求解即可【详解】由条件知每名同学至多参加两个小组故不可能出现一名同学同时参加数学物理化学竞赛小组设参加数学物理化学竞赛小组的
解析：8
【解析】 【分析】
画出表示参加数学、物理、化学竞赛小组集合的Venn 图，结合图形进行分析求解即可． 【详解】
由条件知，每名同学至多参加两个小组，
故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学竞赛小组，
设参加数学、物理、化学竞赛小组的人数构成的集合分别为A ，B ，C ， 则()0card A B C ⋂⋂=，()6card A B ⋂=，()4card B C ⋂=， 由公式()card A B C ⋃⋃
()()()()()()card A card B card C card A B card A C card B C =++-⋂-⋂-⋂
知()3626151364card A C =++---⋂，
故()8card A C ⋂=即同时参加数学和化学小组的有8人， 故答案为8．
【点睛】
本小题主要考查Venn 图表达集合的关系及运算、Venn 图的应用、集合中元素的个数等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．
三、解答题
21．（1）(),0-∞；（2）()0,1；（3）21,log 3⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
【解析】 【分析】
（1）由a x -1＞0，得a x ＞1 下面分类讨论：当a ＞1时，x ＞0；当0＜a ＜1时，x ＜0即可求得f （x ）的定义域
（2）根据函数的单调性解答即可；
（3）令()()()2221log 12log 21x x
x g x f x ⎛⎫
-=-+= ⎪+⎝⎭
，[]1,3x ∈可知()
g x 在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可． 【详解】
本题考查恒成立问题．
（1）当12a =
时，()121log 12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，故：1
102x ->，解得：0x <，故函数()f x 的定义域为(),0-∞；
（2）由题意知，()()
log 1x
a f x a =-（1a >），定义域为()0,x ∈+∞，用定义法易知
()f x 为()0,x ∈+∞上的增函数，由()()1f x f <，知：0
1
x x >⎧⎨<⎩，∴()0,1x ∈.
（3）设()()()2221log 12log 21x x
x g x f x ⎛⎫
-=-+= ⎪+⎝⎭
，[]1,3x ∈，设
212
12121
x x x
t -==-++，[]1,3x ∈， 故[]213,9x
+∈，2171,2139x t ⎡⎤=-
∈⎢⎥+⎣⎦，故：()min 211log 33g x g ⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 又∵()(
)2log 12
x
f x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，
故：()min 21log 3m g x ⎛⎫
<= ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题． 22．（1）1,0a b ==；（2）4k <. 【解析】 【分析】
（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.
(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可. 【详解】
解：（1）()g x Q 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，
()g x ∴在[]2,3上单调递增
()()()()min max 2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩
.
解得1a =且0b =.
（2）()0f x k ->Q 在(]2,5x ∈上恒成立 所以只需()min k f x <.
有（1）知()()22111
1
222
224222
2
x x f x x x x x x x x -+==+=-++≥-⋅
+=---- 当且仅当1
22
x x -=
-，即3x =时等号成立. 4k ∴<. 【点睛】
本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题. 23．（Ⅰ）能（Ⅱ）20AB =米且5AD =米 【解析】 【分析】
（1）以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为y=3
4
x+b ，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即
可得出结论；（2）欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，即可求出截面面积最大. 【详解】
解：如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．
（1）因为AB ＝18米，AD ＝6米， 所以半圆的圆心为H (9,6)，半径r ＝9. 设太阳光线所在直线方程为y ＝－
3
4
x ＋b ， 即3x ＋4y －4b ＝02
2
27+24-4b 3+4
＝9，
解得b ＝24或b ＝
3
2
(舍)． 故太阳光线所在直线方程为y ＝－3
4
x ＋24, 令x ＝30，得EG ＝1.5＜2.5. 所以此时能保证上述采光要求． （2）设AD ＝h 米，AB ＝2r 米，
则半圆的圆心为H (r ，h )，半径为r .
方法一 设太阳光线所在直线方程为y ＝－3
4
x ＋b ， 即3x ＋4y －4b ＝0，
r ，解得b ＝h ＋2r 或b ＝h －
r
2
(舍)． 故太阳光线所在直线方程为y ＝－3
4
x ＋h ＋2r ， 令x ＝30，得EG ＝2r ＋h －452
， 由EG ≤
5
2
，得h ≤25－2r . 所以S ＝2rh ＋12πr 2＝2rh ＋32×r 2≤2r (25－2r )＋32
×r 2 ＝－
52r 2＋50r ＝－5
2
(r －10)2＋250≤250. 当且仅当r ＝10时取等号． 所以当AB ＝20米且AD ＝5米时， 可使得活动中心的截面面积最大． 方法二 欲使活动中心内部空间尽可能大， 则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为(30,2.5)， 设过点G 的上述太阳光线为l 1， 则l 1所在直线方程为y －52＝－3
4
(x －30)， 即3x ＋4y －100＝0.
由直线l 1与半圆H 相切，得r ＝
3r+4h-100
5
.
而点H (r ，h )在直线l 1的下方，则3r ＋4h －100＜0， 即r ＝－
3r+4h-100
5
，从而h ＝25－2r . 又S ＝2rh ＋
12πr 2＝2r (25－2r )＋32×r 2＝－52r 2＋50r ＝－52
(r －10)2＋250≤250.当且仅当r ＝10时取等号．
所以当AB ＝20米且AD ＝5米时， 可使得活动中心的截面面积最大． 【点睛】
本题考查利用数学知识直线与圆的相切位置关系解决实际问题，考查二次函数配方法的运用和分析解决实际问题的能力，属于中档题．
24．（1）()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ （2）19t +<
【解析】 【分析】
（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式； （2）先确定23
x π
+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果.
【详解】
（1）解：由题意知74,212122
T A πππ==-=，得周期T π= 即
2π
πω
=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+
当12x π
=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412πϕ⎛⎫
⨯+= ⎪⎝⎭，得πsin φ16骣琪+=琪桫
得
2()6
2k k Z π
π
ϕπ+=+
∈，，得23
()k k Z π
ϕπ=+∈，
,ϕπ<∴Q 当0k =时，=
3
π
ϕ，因此()4sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
（2）()()210h x f x t =+-=，即()1
2
t f x -=
当,66x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 当23
2
x π
π
+
=
时，4sin
42π
=
要使()12t f x -=有两个根，则1
2342
t -≤
<，得1439t +≤< 即实数t 的取值范围是1439t +≤< 【点睛】
本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.
25．（1）{|22}x x -<<（2）偶函数（3）01m << 【解析】 【分析】 【详解】
（Ⅰ）要使函数有意义，则，得
.
函数
的定义域为
. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数
的定义域为
，关于原点对称，对任意
，
.
由函数奇偶性可知，函数为偶函数.
（Ⅲ）函数
由复合函数单调性判断法则知，当时，函数为减函数
又函数为偶函数，不等式等价于，
得.
26．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性的定义求出a的值，从而求出函数的解析式即可；问题转化为
在恒成立，令，，根据函数的单调性求出的最小值，从而求出m的范围即可．
【详解】
函数是奇函数，
，
故，
故；
当时，恒成立，
即在恒成立，
令，，
显然在的最小值是，
故，解得：．
【点睛】
本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数恒成立以及转化思想，指数函数，二次函数的性质，是一道常规题．对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数单调性求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.。