全等与相似模型-对角互补模型(学生版)-2024年中考数学常见几何模型

全等与相似模型-对角互补模型
全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、旋转中的对角互补模型
对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。

思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。

常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60°对角互补模型、2α-(180°-2α)对角互补模型。

1)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(异侧型)
条件：如图，已知∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD=CE，②OD+OE=2OC，③S ODCE=S△COE+S△COD=1
2
OC2.
2)“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型(同侧型)
条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB.
结论：①CD=CE，②OE-OD=2OC，③S△COE-S△COD=1
2
OC2.
3)“等边三角形对120°模型”(1)
条件：如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB.
结论：①CD=CE，②OD+OE=OC，③S△COD+S△COE=
3
4
OC2.
4)“等边三角形对120°模型”(2)
条件：如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，
结论：①CD=CE，②OD-OE=OC，③S△COD-S△COE=
3
4
OC2.
5)“120°等腰三角形对60°模型”
条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。

结论：①PB+PC=3PA；
6)“2α对180°-2α模型”
条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180°结论：OP平分∠AOB
注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。

7)“蝴蝶型对角互补模型”
条件：AP=BP,∠AOB=∠APB结论：OP平分∠AOB的外角。

1(2023·黑龙江黑河·八年级期中)Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点
D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①(BE+CF)=2
2BC，②SΔAEF≤
1 4SΔABC，③S
四边形AEDF
=AD·EF，④AD≥EF其中正确结论的个数是()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2(2022辽宁九年级期末模拟)已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA，OB(或它们的反向延长线)相交于点D，E.
当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图①)，易证：OD+OE=2OC；
当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，即在图②，图③这两种情况下，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，线段OD，OE，OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
3(2022秋·四川绵阳·九年级校联考阶段练习)已知∠ACD=90°，AC=DC，MN是过点A的直线，过点D作DB⊥MN于点B，连接CB．
(1)问题发现：如图(1)，过点C作CE⊥CB，与MN交于点E，BD、AB、CB之间的数量关系是什么？并给予证明．(2)拓展探究：当MN绕点A旋转到如图(2)位置时，BD、AB、CB之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
4(2022四川宜宾八年级期末)如图1，∠AOB=90°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE=90°，交OA 于点D，OB于点E. (1)求证：CD=CE；(2)图1中，若OC=3，求OD+OE的长；
(3)如图2，∠AOB=120°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE=60°，交OA于点D，OB于点E.若OC=3，求四边形OECD的面积．
5(2022湖北省宜城市八年级期末)如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个60°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
(1)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时(如图1)，请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；(2)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，(1)中的结论是否成立？并说明理由；(3)当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
6(2023·山东·九年级专题练习)如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，∠EDF= 120°，把∠EDF绕点D旋转，使∠EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F．(1)当DF⊥AC时，求证：BE=CF；
(2)在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由
7(2022山东省枣庄市一模)如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的角平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与射线OA,OB相交于点D,E.
(1)如图1，当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时，请猜想OD +OE 与OC 的数量关系，并说明理由；
(2)当∠DCE 绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，到达图2的位置，(1)中的结论是否成立？并说明理由；
(3)如图3，当∠DCE 绕点C 旋转到点D 位于OA 的反向延长线上时，求线段OD ,OE 与OC 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
8(2022秋·福建厦门·九年级校考期中)如图，
∠AOB =α(α是常量)．点P 在∠AOB 的平分线上，且OP =2，以点P 为顶点的∠MPN 绕点P 逆时针旋转，在旋转的过程中，∠MPN 的两边分别与OB ，OA 相交于M ，N 两点，若∠MPN 始终与∠AOB 互补，则以下四个结论：①PM =PN ；②OM +ON 的值不变；③四边形PMON 的面积不变；④点M 与点N 的距离保持不变．其中正确的为()
A.①③
B.①②③
C.①③④
D.②③
模型2.对角互补模型(相似模型)【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。

该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.
【常见模型及结论】
1)对角互补相似1
条件：如图，在Rt △ABC 中，∠C =∠EOF =90°，点O 是AB 的中点，
辅助线：过点O 作OD ⊥AC ，垂足为D ，过点O 作OH ⊥BC ，垂足为H ，
结论：①△ODE ∼△OHF ；②OE OF =BC AC (思路提示：OE OF =OD OH =BH OH =BC AC
).2)对角互补相似2
条件：如图，已知∠AOB =∠DCE =90°，∠BOC =α.
辅助线：作法1：如图1，过点C 作CF ⊥OA ，垂足为F ，过点C 作CG ⊥OB ，垂足为G ；
结论：①△ECG ∼△DCF ；②CE =CD ·tan α.(思路提示：CE CD =CG CF ，CF =OG ，在Rt △COG 中，tan α=CG OG
)辅助线：作法2：如图2，过点C 作CF ⊥OC ，交OB 于F ；
结论：①△CFE ∼△COD ；②CE =CD ·tan α.(思路提示：CE CD =CF CO =tan α，在Rt △OCF 中，tan α=CF OC
)3)对角互补相似3
条件：已知如图，四边形ABCD 中，∠B +∠D =180°
辅助线：过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ；
结论：①△DAE ∼△DCF ；②ABCD 四点共圆。

1(2023·成都市·九年级期中)如图所示，
在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =3,BC =4，在Rt △MPN 中，∠MPN =90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ．当PE =2PF 时，AP 的值为()．
A.1
B.2
C.3
D.4
2(2023·河南南阳·九年级统考阶段练习)如图，
在等腰直角△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，过点C 作射线CP ∥AB ，D 为射线CP 上一点，E 在边BC 上(不与B ,C 重合)且∠DAE =45°，AC 与DE 交于点
O ．(1)求证：△ADC ∼△AEB ；(2)求证：△ADE ∼△ACB ；(3)如果CD =CE ，求证：CD 2=CO ∙CA ．
3(2023·广西河池·校联考一模)综合与实践
【问题情境】在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4，在直角三角板EDF 中，∠EDF =90°，将三角板的直角顶点D 放在Rt △ABC 斜边BC 的中点处，并将三角板绕点D 旋转，三角板的两边DE ，DF 分别与边AB ，AC 交于点M ，N ．
【猜想证明】如图1，在三角板旋转过程中，当M 为边AB 的中点时，试判断四边形AMDN 的形状，并说明理由．【问题解决】如图2，在三角板旋转过程中，当∠B =∠MDB 时，求线段CN 的长．
4(2023年江西省南昌市月考)如图，
两个全等的四边形ABCD 和OA ′B ′C ′，其中四边形OA ′B ′C ′的顶点O 位于四边形ABCD 的对角线交点O ．
(1)如图1，若四边形ABCD 和OA ′B ′C ′都是正方形，则下列说法正确的有．(填序号)
①OE =OF ；②重叠部分的面积始终等于四边形ABCD 的14；③BE +BF =22
DB ．(2)应用提升:如图2，若四边形ABCD 和OA ′B ′C ′都是矩形，AD =a ,DC =b ，写出OE 与OF 之间的数量关系，并证明．
(3)类比拓展:如图3，若四边形ABCD 和OA ′B ′C ′都是菱形，∠DAB =α，判断(1)中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论(可用α表示)，并选取你所写结论中的一个说明理由．
5(2023.辽宁中考模拟)如图，
在Rt △ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点O 在线段AB 上(点O 不与点A ，B 重合)，且OB =kOA ，点M 是AC 延长线上的一点，作射线OM ，将射线OM 绕点O 逆时针旋转90°，
交射线CB于点N．(1)如图1，当k=1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当k>1时，判断线段OM与ON的数量关系(用含k的式子表示)，并证明；(3)点P在射线BC
上，若∠BON=15°，PN=kAM(k≠1)，且CM
AC
<3-1
2，请直接写出
NC
PC的值(用含k的式子表示)．
6(2023浙江中考二模)(1)特例感知：如图1，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE=AF；
(2)探索发现：如图2，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3，取BC边上中点D，连接AD，点
E为BA延长线上一点，AE=1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；
(3)类比迁移：如图3，已知在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，取BC边上中点D，连接AD，点E
为射线BA上一点(不与点A、点B重合)，连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE=4AF时，求AF的长．
课后专项训练
1(2022·江苏·八年级校联考期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为．
2(2023.广东九年级期中)如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向外作△ABD，使∠ADB=120°，再以点C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②DC平分
∠BDA；③∠E=∠BAC；④DC=DB+DA．其中正确的有( )．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3(2023·山西临汾·统考二模)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=6，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是AB，AD边上的点，且∠ECF=60°，BE=2，CF与BD交于点G，则OG
DG的值为．
4(2023青岛版九年级月考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，直角∠MON的顶点O
在AB上，OM、ON分别交CA、CB于点P、Q，∠MON绕点O任意旋转．当OA
OB
=1
2时，
OP
OQ的值为
；当OA
OB
=1
n时，
OP
OQ为．(用含n的式子表示)
5(2023•西城区校级期中)已知，如图，在四边形ABCD中，BC>BA，∠A+∠C=180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，试说明AD=DC．
6(2023•阜新中考模拟)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D．
(1)如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF=90°．求证：BE=AF；
(2)点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN=90°．
①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN=AM；
②当点M在点A，D之间，且∠AMN=30°时，已知AB=2，直接写出线段AM的长．
7(2022山西省吕梁市八年级期末)如图，已知∠DCE与∠AOB，OC平分∠AOB．
(1)如图1，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点 D、E，∠AOB=∠DCE=90°，试判断线段CD与CE 的数量关系，并说明理由.
以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：CD=CE．
理由如下：如图1，过点 C作 CF⊥OC，交 OB于点 F，则∠OCF=90°，⋯
请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．
(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．(3)若∠AOB=120°，∠DCE=60°．
①如图3，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点 D、E时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段 OD、OE、OC有什么数量关系？说明理由．②如图4，∠DCE的一边与 AO的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 OD、OE、OC有什么数量关系；如图5，∠DCE的一边与 BO的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 OD、OE、OC有什么数量关系．
8(2022·湖北武汉·八年级校考期末)已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=1800，AB=BC.
(1)如图1．连接BD，若∠BAD=900，求证：AD=CD.
(2)如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ，求证：∠PBQ=∠ABP+∠QBC;
(3)若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ=AP+CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并给出证明过程．
9(2023·山东青岛·八年级统考期中)[问题]如图①，点D是∠ABC的角平分线BP上一点，连接AD，CD，若∠A与∠C互补，则线段AD与CD有什么数量关系？
[探究]探究一：如图②，若∠A=90°，则∠C=180°-∠A=90°，即AD⊥AB，CD⊥BC，又因为BD平分∠ABC，所以AD=CD，理由是：．
探究二：若∠A≠90°，请借助图①，探究AD与CD的数量关系并说明理由．
[结论]点D是∠ABC的角平分线BP上一点，连接AD，CD，若∠A与∠C互补，则线段AD与CD的数量关系是．
[拓展]已知：如图③，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC．求证：BC=AD+BD．
10(2022·陕西宝鸡·统考二模)问题提出
(1)如图1，四边形ABCD中，AB=AD，∠B与∠D互补，BC=2CD=20，点A到BC边的距离为17，求四边形ABCD的面积．
问题解决(2)某公园计划修建主题活动区域，如图2所示，BA=BC=60m，∠B=60°，CD∥AB，在BC上找一点E，修建两个不同的三角形活动区域，△ABE区域为体育健身活动区域，△ECD为文艺活动表演区域，根据规划要求，ED=EA，∠AED=60°，设EC的长为x(m)，△ECD的面积为y(m2)，求y与x之间的函数关系式，并求出△ECD面积的最大值．
11(2023山东中考模拟)如图，矩形ABCD中，∠ACB=30°，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC，BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边AB，BC所
在的直线相交，交点分别为E ，F ．
(1)当PE ⊥AB ，PF ⊥BC 时，如图1，则PE PF 的值为；
(2)现将三角板绕点P 逆时针旋转α(0°<α<60°)角，如图2，求
PE PF 的值；(3)在(2)的基础上继续旋转，当60°<α<90°，且使AP ：PC =1：2时，如图3，PE PF
的值是否变化？证明你的结论．12(2022秋·河南鹤壁·九年级统考期末)已知在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =2，AC =4，D 为BC 边上的一点．过点D 作射线DE ⊥DF ，分别交边AB 、AC 于点E 、F ．
(1)当D 为BC 的中点，且DE ⊥AB 、DF ⊥AC 时，如图1，DE DF =：(2)若D 为BC 的中点，将∠EDF 绕点D 旋转到图2位置时，DE DF =；(3)若改变点D 到图3的位置，且CD BD =m n 时，求DE DF 的值．
13(2023·浙江台州·九年级校考阶段练习)
【问题情境】如图①，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D 为AB 中点，连结CD ，点E 为CB 的延长线上一点，过点E 且垂直于DE 的直线交AC 的延长线于点F .易知BE 与CF 的数量关系．
【探索发现】如图②，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，点D 为AB 中点，连结CD ，点E 为CB 的延长线上一点，过点E 且垂直于DE 的直线交AC 的延长线于点F .【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由．【类比迁移】如图③，在等边△ABC 中，AB =4，点D 是AB 中点，点E 是射线AC 上一点(不与点
A 、C 重合)，将射线DE 绕点D 逆时针旋转60°交BC 于点F ．当CF =2CE 时，CE =．
14(2023广东中考模拟)我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
(1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；
(2)问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由；
(3)应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α(0°<∠α<∠BAC)得到Rt△AB′D′(如图3)，当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．
15(2023年成都市中考模拟)(1)如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC中点，E、F分别为AB、AC上的动点，且∠EDF=90°．求证：DE=DF；(2)如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=4，AB=3，AD⊥BC，∠EDF=90°．①求证：DF•DA=DB•DE；②求EF的最小值．
16(2023浙江省绍兴市九年级期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°．
(1)当DP⊥AB时，求CQ的长；(2)当BP=2，求CQ的长．
17(2023·湖北·九年级专题练习)如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点(不与A、C 重合)，连接PB，过点P作PE⊥PB，交DC于点E，已知AD=3，AC=5．设AP的长为x．
(1)AB =；当x =1时，求
PE PB 的值；(2)试探究：PE PB
是否是定值?若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；(3)当△PCE 是等腰三角形时，请求出x 的值．18(2023秋·山西忻州·九年级校考期末)综合与实践
问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究．
猜想推理：(1)如图1，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，∠ADE =60°，AB =6，BD =2，则CE =．
问题解决：(2)如图2，△ABC 是等边三角形，D 是BC 的中点，射线DE ，DF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，且∠EDF =120°，求证：DE =DF ．(3)如图3，∠BAC =90°，AB =6，AC =8，D 是BC 的中点，射线
DE ，DF 分别交AB ，AC 于点E ，F ，且∠EDF =90°，求DE DF
的值．
19(2023广东深圳三模试题)(1)
【探究发现】如图1，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，在正方形A B C O 绕点O 旋转的过程中，边A O 与边BC 交于点M ，边C O 与边CD 交于点N ．证明：△OMC ≌△OND ；
(2)【类比迁移】如图2，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，且AB =6，AD =12．在矩形A B C O 绕点O 旋转的过程中，边A O 与边BC 交于点M ，边C O 与边CD 交于点N ．若DN =1，求CM 的长；
(3)【拓展应用】如图3，四边形ABCD 和四边形A B C O 都是平行四边形，且∠A OC =∠ADC ，AB =3，BC =35，△BCD 是直角三角形．在▱A B C O 绕点O 旋转的过程中，边A O 与边BC 交于点M ，边C O
与边CD 交于点N ．当▱ABCD 与▱A B C O 重叠部分的面积是▱ABCD 的面积的14
时，请直接写出ON 的长．。