2023中考数学真题汇编29 规律探究题(含答案与解析)

2023中考数学真题汇编·29
规律探究题
一、单选题1.
（2023·重庆）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（
）
A ．39
B ．44
C ．49
D ．54
2.
（2023·重庆）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（
）
A ．14
B ．20
C ．23
D ．26
3.
（2023·湖南常德）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数20
2023
若排在第a 行b 列，则a b 的值为()11
12
211322
3114
23
32
41
……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023
4.
（2023·云南）按一定规律排列的单项式：
2345,a ，第n 个单项式是（）
A
B 1
n C n
D 1
n
5.
（2023·四川内江）对于正数x ，规定
2()1x f x x ，例如：224(2)213f
，1
2122123
12
f
，233(3)312f ，1
2113132
13
f
，计算：11111(1)1011009932f f f f f f
(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f （）
A ．199
B ．200
C ．201
D ．202
6.
（2023·山东）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，
，满足如下关系：12
2312
1111a a a a a a ，，34131111n
n n
a a a a a a
，，，若12a ，则2023a 的值是（）
A ．12
B ．
13
C ．3
D ．2
7.
（2023·四川达州）如图，四边形ABCD 是边长为1
2
的正方形，曲线11112DA B C D A 是由多段90 的圆心
角的圆心为C ，半径为1CB ； 11C D 的圆心为D ，半径为 11111111,DC DA A B B C C D
、、、的圆心依次为A B C D 、、、循环，则 20232023A B 的长是（
）
A ．40452
B ．2023
C ．
20234
D ．2022
8.
（2023·山东烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ，按此规律作下去，所作正方形
的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为 123,0,2,1,1,0P A A ， 32,1A ，则顶点100A 的坐标
为（）
A ．
31.34B ．
31,34
C ． 32,35
D ．
32,09.
（2023·山东日照）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算
1234100 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而
得到100(1100)
12341002
．人们借助于这样的方法，得
到(1)
12342
n n n （n 是正整数）．有下列问题，如图，在
平面直角坐标系中的一系列格点 ,i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y ，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A ，即231,(1,1)a A ，即30,a ，以此类推．则下列结论正确的是（
）
A ．202340a
B ．202443
a C ．2(21)26
n a n D ．2(21)24
n a n 二、填空题
10.（2023·四川成都）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ，则称这
个正整数为“智慧优数”．例如，221653 ，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n 进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是
．
11.（2023·湖南岳阳）观察下列式子：
21110 ；22221 ；23332 ；24443 ；25554 ；…
依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是
．
12.（2023·湖北随州）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：
设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：
甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：
乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……
丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．
根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．
13.（2023·湖北恩施）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
2 ，4，8 ，16，32 ，64，……①
0，7，4 ，21，26 ，71，……②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个
数的和为
．
14.（2023·黑龙江绥化）在求123100 的值时，发现：1100101 ，299101 ，从而得
到123100 101505050 ．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a ；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a ；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a ；按此方法继续下去，则
123n a a a a
．（结果用含n 的代数式表示）
15.（2023·湖北十堰）用火柴棍拼成如下图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第
②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，……，若按此规律拼下去，则第n 个图案需要火柴棍的根数为
（用含n 的式子表示）．
16.（2023·山西）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色
圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有
个白色圆片（用含n 的代数式表示）
17.（2023·四川遂宁）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等
原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的
化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为
．
18.（2023·湖南怀化）在平面直角坐标系中，AOB 为等边三角形，点A 的坐
标为 1,0．把AOB 按如图所示的方式放置，并将AOB 进行变换：第一次变换将AOB 绕着原点O 顺时针旋转60 ，同时边长扩大为AOB 边长的2倍，得到11A OB △；第二次旋转将11A OB △绕着原点O 顺时针旋转60 ，同时边长扩大为11A OB △，边长的2倍，得到22A OB △，…．依次类推，得到20332033A OB ，则20232033A OB △的边长为
，点2023A 的坐标
为．
19.（2023·山东枣庄）如图，在反比例函数8(0)y x x
的图象上有1232024,,,P P P P 等点，它们的横坐标依次
为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1232023,,,,S S S S ，则1232023S S S S
．
20.（2023·湖南张家界）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC 是
正方形，点A 的坐标为(1,1)， 1AA 是以点B 为圆心，BA 为半径的圆弧； 12A A 是以点O 为圆心，1OA 为半径的圆弧， 23A A 是以点C 为圆心，2CA 为半径的圆弧， 34A A 是以点A 为圆心，3AA 为半径的圆弧，继续以点B ，O ，C ，A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A
称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是
．
21.（2023·山东东营）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y x 轴交于点1A ，以1OA 为边作
正方形111A B C O 点1C 在y 轴上，延长11C B 交直线l 于点2A ，以12C A 为边作正方形2221A B C C ，点2C 在y 轴上，以同样的方式依次作正方形3332A B C C ，…，正方形2023202320232022A B C C ，则点2023B 的横坐标是
．
22.（2023·山东泰安）已知，12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆
放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上，且2356891A A A A A A ，则点2023A 的坐标是
．
23.（2023·四川广安）在平面直角坐标系中，点1234A A A A 、、、在x 轴的正半轴上，点123B B B 、、在直
线 03
y x x
上，若点1A 的坐标为 2,0，且112223334A B A A B A A B A △、△、△均为等边三角形．则点2023B 的纵坐标为
．
24.（2023·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点A 在直线1:3
l y x
上，顶点B 在x 轴上，
AB 垂直x
轴，
且OB 顶点C 在直线2:l y 上，2BC l ；过点A 作直线2l 的垂线，垂足为1C ，交x 轴于1B ，过点1B 作11A B 垂直x 轴，交1l 于点1A ，连接11A C ，得到第一个111A B C △；过点1A 作直线2l 的垂线，垂足为2C ，交x 轴于2B ，过点2B 作22A B 垂直x 轴，交1l 于点2A ，连接22A C ，得到第二个222A B C △；如此下去，……，则202320232023A B C 的面积是
．
25.（2023·山东聊城）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列
且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对： 3,5； 7,10； 13,17； 21,26； 31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：
．
【参考答案与解析】
1.【答案】B
【解析】解：第①个图案用了459
根木棍，
第②个图案用了45214
根木棍，
第③个图案用了45319
根木棍，
第④个图案用了45424
根木棍，
……，
第⑧个图案用的木棍根数是45844
根，
故选：B．
2.【答案】B
【解析】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311
；
第②个图案中有5个圆圈，5321
；
第③个图案中有8个圆圈，8331
；
第④个图案中有11个圆圈，11341
；
…，
所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120
；
故选：B.
3.【答案】C
【解析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数
一致，故
20
2023在第20列，即20
b ；向前递推到第1列时，分数为
20191
2023192042
，故分数
20
2023与分数
1
2042在同一行．即在第2042行，则2042
a ．
∴2042202022.
a b
故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：按一定规律排列的单项式：2345,
a ，第n n，故选：C．
5.【答案】C
【解析】解：
2 (1)1,
11
f
∵
1
2441212(2),,(2)2,112323212f f f f
1
22331113(3),(3)2,113232313
f f f f
…
2100200(100)1100101f ，1
212100()11001011100
f
，
1
(100)()2100
f f ，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f 21001 201
故选：C ．6.
【答案】A
【解析】解：∵12a ，
∴212312a ，3131132a ，41
1121312a
，5
1132113
a
，…….；由此可得规律为按2、3 、12 、1
3
四个数字一循环，∵20234505.....3 =，∴2023
31
2
a a ；
故选A ．7.
【答案】A
【解析】解：由图可知，曲线11112DA B C D A …是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径1
2
，
112
AD AA
，111BA BB ，113
2CB CC ，112DC DD ，
12122AD AA
，2221BA BB ，223
22
CB CC ，2222DC DD ， ，
1114(1)22n n AD AA n ，1
4(1)12
n n BA BB n ，
故 20232023A B 的半径为 202320231
420231140452
BA BB ，
20232023A B 的弧长904045
40451802
．
故选A 8.
【答案】A
【解析】解：∵ 121A ，
， 412A ，， 703A ，， 1014A ，，L ，∴ 323n A n n ，，∵1003342 ，则34n ，∴ 1003134A ，
，故选：A ．9.
【答案】B
【解析】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a ；第2圈有8个点，即2A 到 91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到 252,2A ，；依次类推，第n 圈， 211,1n A n n ；
由规律可知：2023A 是在第23圈上，且 202522,22A ，则 202320,22A 即2023202242a ，故A 选项不正确；
2024A 是在第23圈上，且 202421,22A ，即2024212243a ，故B 选项正确；
第n 圈， 211,1n A n n ，所以2122n a n ，故C 、D 选项不正确；故选B ．10.【答案】
1545
【解析】解：依题意，当3m ，1n ，则第1个一个智慧优数为22318 当4m ，2n ，则第2个智慧优数为224214 当4m ，1n ，则第3个智慧优数为224115 ，当5m ，3n ，则第5个智慧优数为225316 当5m ，2n ，则第6个智慧优数为225221 当5m ，1n ，则第7个智慧优数为225324 ……
6m 时有4个智慧优数，同理7m 时有5个，8m 时有6个，12345621
第22个智慧优数，当9m 时，7n ，第22个智慧优数为2297814932 ，第23个智慧优数为9,6m n 时，2296813645 ，故答案为：15，45．
11.【答案】
2
1n n n n 【解析】解：∵21110 ；22221 ；23332 ；24443 ；25554 ；…
∴第n （n 为正整数）个等式是 2
1n n n n ，故答案为： 2
1n n n n ．
12.【答案】 111n n 【解析】解：∵21312 ；22413 ；23514 ；
……
∴ 2
211n n n ，
∴ 2
111n n n ．
故答案为： 111n n 13.【答案】10
【解析】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”；
因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100中，完全平方数为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；有10个数，故有10盏灯被按奇数次，为“亮”的状态；故答案为：10．14.【答案】
1024
202422024
【解析】第一行数的规律为(2)n ，
∴第①行数的第10个数为10(2)1024 ；第二行数的规律为(2)1n n ，
∴第①行数的第2023个数为2023(2) ，第②行数的第2023个数为2023(2)2024 ，∴202422024 ，故答案为：1024；202422024 ．15.【答案】22n n /2
2n n 【解析】解：依题意， 1231,5,9,14143n a a a a n n ，，∴123n a a a a 2143
2122
n n n n n n ，故答案为：22n n ．
16.【答案】66n /66n
【解析】解：当1n 时，有 2114 个三角形；当2n 时，有 2216 个三角形；当3n 时，有 2318 个三角形；第n 个图案有 2122n n 个三角形，
每个三角形用三根，故第n 个图案需要火柴棍的根数为66n ．故答案为：66n ．17.【答案】
22n 【解析】解：第1个图案中有4个白色圆片4221 ，第2个图案中有6个白色圆片6222 ，第3个图案中有8个白色圆片8223 ，第4个图案中有10个白色圆片10224 ，
，
∴第(1)n n 个图案中有 22n 个白色圆片．故答案为： 22n ．18.【答案】1226
C H 【解析】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．
19.【答案】
2023
2
2022
2022
2
,2【解析】解：∵AOB 为等边三角形，点A 的坐标为 1,0，∴1OA ，∵每次旋转角度为60 ，∴6次旋转360 ，第一次旋转后，1A 在第四象限，12OA ，第二次旋转后，2A 在第三象限，222OA ，
第三次旋转后，3A 在x 轴负半轴，332OA ，第四次旋转后，4A 在第二象限，442OA ，第五次旋转后，5A 在第一象限，552OA ，第六次旋转后，6A 在x 轴正半轴，662OA ，……
如此循环，每旋转6次，点A 的对应点又回到x 轴正半轴，∵202363371 ，点2023A 在第四象限，且2023
20232OA ，
如图，过点2023A 作2023A H x 轴于H ，
在2023Rt OHA 中，202360HOA ，
∴202320232022
202320231cos 2cos60222
OH OA HOA ，20232022202320232023sin 22A H OA HOA
，
∴点2023A 的坐标为
20222022
2,2．
故答案为：20232，
20222022
2,2．
20.【答案】
2023
253
【解析】当1x 时，1P 的纵坐标为8，当2x 时，2P 的纵坐标为4，当3x 时，3P 的纵坐标为83
，
当4x 时，4P 的纵坐标为2，
当5x 时，5P 的纵坐标为
8
5
，…
则11(84)84S ；288
1(4)433S ；
388
1(2)233S ；
481(2255
8
S ；
(881)
n S n n
；1238888888844228335111
n n
S S S S n n n n ，
∴1232023820232024253
2023
S S S S ．故答案为：
2023
253
．21.【答案】
2023,1 【解析】∵A 点坐标为 1,1，且1A 为A 点绕B 点顺时针旋转90 所得，∴1A 点坐标为 2,0，又∵2A 为1A 点绕O 点顺时针旋转90 所得，∴2A 点坐标为 0.2 ，又∵3A 为2A 点绕C 点顺时针旋转90 所得，∴3A 点坐标为 3,1 ，又∵4A 为3A 点绕A 点顺时针旋转90 所得，∴4A 点坐标为 1,5，
由此可得出规律：n A 为绕B 、O 、C 、A 四点作为圆心依次循环顺时针旋转90 ，且半径为1、2、3、 、n ，每次增加1．
∵202355053 ，故2023A 为以点C 为圆心，半径为2022的2022A 顺时针旋转90 所得，故2023A 点坐标为 2023,1 ．故答案为： 2023,1 ．
22.【答案】2022
1
【解析】解：当0y ，0 1x ，∴点 11,0A ,
∵111A B C O 是正方形，∴11111OA A B OC ，∴点 11,1B ，∴点1B 的横坐标是1，
当1y 时，1313x
，∴点213A
，
∵2221A B C C 是正方形，∴2212211A B C C A C ∴点21,233B
，即点2B 的横坐标是3
13
，
当2y
时，2
223x
，∴点34,2333A
，
∵3332A B C C 是正方形，∴3323324
33A B C C A C ，∴点3B 2
413
，……
以此类推，则点2023B 的横坐标是2022
13
故答案为：2022
313
23.
【答案】 2023,【解析】解：由图形可得： 2356892,0,3,0,5,0,6,0,8,0,9,0,A A A A A A 如图：过1A 作1A B x 轴，
∵12,OA A ∴111cos601,sin 60OB OA A B OA ∴ 1A ,
同理： 4774,,,10,,A A A
∴
3133131,0,3,0,3n n n A n A n A n 31n 为偶数， 31
31,n A n 为奇数；
∵202336741 ，2023为奇数，∴ 20232023,A ．
故答案为 2023,．
24.
【答案】2【解析】解：如图，过点1A 作1A M x
轴，交直线 0y x x 于点M ，过点1B 作1B C x 轴于点C
，
12,0A ∵，12OA ，
当2x 时，233y
，即1,M A M
111tan A M A OM A O 130A OM ，112A B A ∵ 是等边三角形，211121160,A A B A A A B ，11130O O A M B A ，1112A B OA
，111sin 6022A B B C ，即点1B
的纵坐标为22
，
同理可得：点2B
的纵坐标为223B
的纵坐标为324B
的纵坐标为42归纳类推得：点n B
的纵坐标为22n n （n 为正整数）
，则点2023B
的纵坐标为202322
故答案为：225.
【答案】2【解析】解：
∵OB
∴
B ，∵AB x 轴，∴点A
的横坐标为
∵1:3l y x ，∴点A
的纵坐标为33 ，
∴tan AB AOB OB ∴30AOB ，
∵2:l y ，∴设 ,C C C x y
，则C C y ，
∴tan C
C
y BOC x ∴60BOC ，
∴1cos602OC OB
，3sin 602
BC OB ∵130AOC BOC AOB ，∴1AOB AOC ，∴OA 平分BOC ，∵12AC l ，AB OB ，∴1263
AC AB
，∵1AB AC ，OA OA ，∴1Rt Rt OAB OAC ≌，
∴1OC OB ，
∴11CC OC OC
∴12ABC OAB ACC BOC
S S S S
1112222
∵2BC l ，∴90BCO ，∴906030CBO ，∵112B C l ，2BC l ，222B C l ，∴2112B B C C B C ∥∥，
∴112230C B O C B O CBO ，∴1122C B O C B O CBO AOB ，∴1AO AB ，112AO A B ，∵AB x 轴，11A B x 轴，∴112OB OB ，121
2
OB OB ，
∵AB x 轴，11A B x 轴，22A B x 轴，∴1122AB A B A B ∥∥，
∴
11112AB OB A B OB ，2221
4
AB OB A B OB ，∵2112B B C C B C ∥∥，∴
11112BC OB B C OB ，22214BC OB B C OB ，∴1111
AB BC
A B B C ，∵111903060ABC A B C ，∴111ABC A B C ∽△△，
同理222ABC A B C ∽，∴1114A B C ABC S S ， 2222
2242A B C ABC ABC S S S ，
∴ 2
222n n n n n A B C ABC ABC S S S ，
∴20232023202322023
2
2A B C S
故答案为：226.【答案】
22
1,22
n n n n 【解析】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121 ，231 ，341 ，451 ，561 ，…则第n 个数对的第一个数为： 2111n n n n ，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221 ；231 ；241 ；251 ；261 …，则第n 个数对的第二个位： 221122n n n ，
∴第n 个数对为：
22
1,22n n n n ，故答案为：
22
1,22n n n n ．。