【创新设计】高考数学(鲁闽皖京渝津,文科)大二轮总复习：第1部分专题2第1讲 专题训练 Word版含解析

一、选择题
1．(2014·吉林省实验中学一模)函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫5π2＋x 是
( )．
A ．非奇非偶函数
B ．仅有最小值的奇函数
C ．仅有最大值的偶函数
D ．既有最大值又有最小值的偶函数
解析 f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫
5π2＋x ＝cos 2x ＋cos x ＝2cos 2 x ＋cos x －1，易知
函数f (x )是偶函数，且当cos x ＝1时取最大值，cos x ＝－1
4时取最小值．
答案 D
2．(2014·福州一中模拟)将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π
4个单位，再向上平移
1个单位，所得到函数的图象对应的解析式为( )． A ．y ＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π4＋1
B ．y ＝2cos 2 x
C ．y ＝2sin 2 x
D ．y ＝－cos 2x
解析 将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π
4个单位，可得到函数的图象对应的函
数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x －π2，再向上平移1个单位，所得到函数的图象对应的
解析式为y ＝
sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x
－π2＋1，化简可得y ＝－cos 2x ＋1，即y ＝2sin 2 x . 答案 C
3．(2014·益阳模拟)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R )⎝ ⎛⎭
⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2
的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫x 1＋x 22等于( )．
A.12 B ．
22
C.
32
D ．1
解析 由图象可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＝0，得到f (x )的一条对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12，所以x 1＋x 2＝2×π12＝π6，观察图象可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫x 1＋x 22＝1. 答案 D
4．(2014·豫南五市模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋
3cos(2x ＋θ)(x ∈R )满足
2014f (－x )＝1
2014f (x )，且f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数，则θ的一个可能值是( )． A.π3
B ．2π3
C.4π3
D ．5π3
解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋θ＋π3，由2014f (－x )＝
1
2014f (x )，所以f (－x )＋f (x )＝0，所以函数f (x )是奇函数．所以θ＋π
3＝k π(k ∈Z )，即θ＝k π－π
3，故B ，D 可能正确，又因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是减函数，所以D 不
满足条件． 答案 B
5．(2014·北京东城区质量调研)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫
πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值
之差为( )． A ．2＋ 3
B ．4
C ．3
D ．2－
3
解析 因为0≤x ≤9，所以－π3≤πx 6－π3≤7π
6，因此当πx 6－π3＝π2时，函数y ＝
2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫πx 6－π3取最大值，即y max ＝2×1＝2，当πx 6－π3＝－π3时，函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫πx 6－π3取最小值，即y min ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－
3，因此y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎪
⎫
πx 6－π3
(0≤x ≤9)的最大值与最小值之差为2＋ 3.
答案 A 二、填空题
6．(2014·重庆卷)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2≤φ＜π
2)图象上每一点的横
坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π
6个单位长度得到y ＝sin x 的
图象，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6＝________.
答案
22
7．(2014·江苏五市联考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)在R 上的部分图象如图所示，则f (2 014)的值为________．
解析 根据题意，由函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)在R 上的部分图象可知周期为12，由此可知T ＝2πω＝12，ω＝π
6，A ＝5，将(5,0)代入
可知，5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π6＋φ＝0，可知φ＝π6， 所以f (2 014)＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
6×2 014＋π6＝－52
.
答案 －2
8．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题： ①y ＝f (x )的周期为π；
②x ＝π
4是y ＝f (x )的一条对称轴；
③⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心； ④将y ＝f (x )的图象向左平移π
4个单位，可得到y ＝
2sin 2x 的图象．
其中正确命题的序号是________． 解析 由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x －π4， 得T ＝2π
2＝π，故①对；
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π
4≠±2，故②错；
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π8＝2sin 0＝0，故③对；
y ＝f (x )的图象向左平移π
4个单位，
得y ＝
2sin ⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π4，
故④错，故填①③. 答案 ①③ 三、解答题
9．(2014·福建卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )．
(1)求f (4
)的值；
(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2 x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝
2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋π4＋1. (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π4＝
2sin 11π4
＋1
＝
2sin π4
＋1
＝2.
(2)函数f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z .
所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π
8]，k ∈Z .
10. 如图，f (x )＝A sin(2ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0，－π＜φ＜0)．
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－π，－π2上的值域．
解 (1)依题意，A ＝2，3
4T ＝2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝3π
4，T ＝π.
由T ＝2π
2ω＝π，得ω＝1，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．
代入⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2π3，2得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫4π3＋φ＝1，
所以4π3＋φ＝π
2＋2k π(k ∈Z )，
得φ＝－56
π＋2k π(k ∈Z )．
又因为－π＜φ＜0，所以φ＝－5π
6，
所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪
⎫2x －5π6.
(2)因为x ∈⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－π，－π2， 所以2x －5π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤－17π6，－11π6， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －5π6∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤－1，12，
所以2sin ⎝
⎛⎭⎪⎪
⎫2x －5π6∈[－2,1]，
故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π，－π2上的值域为[－2,1]． 11．(2014·西安第一中学模拟)设函数f (x )＝2cos 2 x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．
解 (1)f (x )＝2cos 2 x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝
2sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π4＋1＋a ，
则f (x )的最小正周期T ＝2π
2
＝π，
且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2(k ∈Z )时f (x )单调递增，
即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥
⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )为f (x )的单调递增区间．
(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，则π4≤2x ＋π4≤7π12， 当2x ＋π
4＝π
2，即x ＝π
8时sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2x ＋π4＝1.
所以f (x )max ＝
2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－
2.
由2x ＋π4＝k π＋π
2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，
即x ＝
k π2
＋π8
(k ∈Z )为f (x )的对称轴．。