2023-2024学年河南省平顶山市叶县高一下册期中数学试题(含解析)

2023-2024学年河南省平顶山市叶县高一下册期中数学试题
一、单选题
1．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,60,2a B c ==︒=，则b =（）
A ．1
B C D
【正确答案】D
【分析】直接由余弦定理可得答案.
【详解】由余弦定理可得222
12cos 1421232
b a
c ac B =+-=+-⨯⨯⨯
=
所以b =故选：D
2．已知i 是虚数单位，设复数2021i 1z =+，则z 的虚部为（）
A ．1
B ．1-
C ．i
D ．-i
【正确答案】A
【分析】根据虚数单位的定义，化简复数即可得出答案.【详解】根据虚数单位i 的定义可知：24i 1i 1=-=，2021i 11i
z =+=+所以z 的虚部为1，选项A 正确，选项BCD 错误.故选：A.
3．若a b
，均为非零向量，则“·a b a b = ”是“a 与b 共线”的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】根据向量数量积得cos ,a b a b a b ⋅=⋅ ，则有,0a b =
，此时共线，则正向可以推出，反之，,a b
还可能是π，则反向无法推出，即可得到答案.
【详解】cos ,a b a b a b ⋅=⋅ ，||||
a b a b ⋅= 则cos ,1a b = ，[],0,πa b ∈ ，则,0a b = ，此时//a b .
当//a b
时，,a b 还可能是π，此时a b a b ⋅=- ，
故“a b a b ⋅= ”是“//a b ”的充分而不必要条件，
故选：A.
4．如图，A O B '''V 表示水平放置的AOB 的直观图.点B '在x '轴上，A O ''和x '轴垂直，且2A O ''=，则AOB 的边OB 上的高为（）
A ．2
B ．
C ．
D ．4
【正确答案】C
【分析】作//A C x '''轴，交y '轴于C '，根据勾股定理求出O C ''=，再利用直观图性质即可求出答案.
【详解】如图，作//A C x '''轴，交y '轴于C '，由已知得2A C O A ''''==，则O C ''=
在直角坐标系xOy 的y 轴上取C 点，使得2OC O C ''==，
则AOB 的边OB 上的高为.故选：C.
5．设非零向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯
是一个向量，它的模
sin a b a b θ⨯=
，若()2,0a =r ，(b = ，则a b ⨯= （
）
A ．2
B ．C
D ．1
【正确答案】B
【分析】根据
()2,0a =r
，(b = ，利用数量积运算求得夹角，进而得到夹角的正弦值，
再代入公式
sin a b a b θ⨯= 求解.【详解】 ()2,0a =r
，(b = ，
2a ∴=
，2b = ，
2cos 21
4a b a b θ⋅∴===⋅
，则sin 2
θ=，
∴sin 22a b a b θ⨯==⨯= 故选：B .
6．
已知ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos c a B =，则ABC 一定为（）
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
【正确答案】B
【分析】运用正弦定理化简边角关系，从而判断三角形的形状.【详解】根据题意，2cos c a B =，结合正弦定理可得：
sin 2sin cos C A B =，又三角形中()sin sin C A B =+()sin 2sin cos A B A B ∴+=，化简计算得：()sin 0B A -=由三角形中，00B A B A ππ<<<<∴=，
ABC ∴ 必定为等腰三角形，选项B 正确，选项ACD 错误
故选：B.
7．若非零向量32,2b a c b c a =-==，则a 与b
的夹角余弦值为（
）A ．
34
B ．
14
C ．34-
D ．14
-
【正确答案】D
【分析】根据题意设a 与b
的夹角为θ，且a t = ，则2b c t ==，由32b a c =-可得2
2
2
491612t t t a c
=+-⋅
，变形可得274
a c t ⋅= ，由此求出a
b ⋅ 的值，结合数量积的计算公式可得答案.
【详解】根据题意设a 与b
的夹角为θ，且a t = ，则2b c t ==，又由32b a c
=-，
则()
2232b a c =-，即222491612t t t a c =+-⋅ ，
变形可得2
74
a c t ⋅= ，
则有
()
2222713232322
a b a a c a a c t t t ⋅=⋅-=-⋅=-=- ，所以1
cos 4a b a b
θ⋅==- .
故选：D
8．如图正三棱柱ABC A B C '''-
2，一只蚂蚁要从顶点A 沿三棱柱的表面爬到顶点C '，若侧面AA C C ''紧贴墙面（不能通行），则爬行的最短路程是（
）
A B ．2C ．4D
【正确答案】A
【分析】将侧面ABB A ''与BCC B ''展开，在展开图中，连接AC '求解即可.【详解】将侧面ABB A ''与BCC B ''展开，如图：
连接AC '，则4AC '=
=.
将侧面ABB A ''与'AC B
''展开，如图：
连接AC '，则()
2
23
3
2232()132
AC '=+-⨯⨯⨯-
=故选：A
9．已知一个圆锥的底面积为π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为（）．A ．86πB ．46π
C ．
33
πD ．
22π3
【正确答案】C
【分析】由条件底面积和侧面积建立方程，求出圆锥的底面半径和侧棱，再求出高，然后再求体积.
【详解】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r ，h ，l ，
则2,2,r rl ππππ⎧=⎨=⎩
解得1,2.r l =⎧⎨=⎩所以3h =圆锥的体积211313333
V Sh π
π==⨯⨯=
故选：C
10．a 和b 是异面直线，P a ∉且P b ∉，则过点P 与,a b 都相交的直线（）
A ．不存在
B ．无数条
C ．唯一一条
D ．最多一条
【正确答案】D
由点P 和直线a 确定一平面，利用直线与平面的位置关系判断．【详解】∵P a ∉，∴由点P 和直线a 确定一平面α，,a b 是异面直线，则直线b 与平面α可能相交可能平行，
若//b α，则过P 直线不可能同时与,a b 都相交，
若b 与α相交，则过交点与P 的直线与a 相交或平行，∴过点P 与,a b 都相交的直线最多只有一条．故选：D ．
二、多选题
11．已知i 是虚数单位，下列说法正确的是（）
A ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈
B ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈
C ．若复数2i
1i
z =
+，则z 的值为2D ．若复数z 满足i 3i z z +=-，则||z 的最小值为1【正确答案】BD
【分析】A 举反例判断；B 根据复数代数形式证明判断；C 计算复数模判断；D 根据Z 点轨迹方程判断．
【详解】解：对于A ，当i z =时，21z R =-∈，但i z =∉R ，所以A 错；
对于B ，设i z a b =+，(,)a R b R ∈∈，因为z R ∈，所以0b =，于是i z a b a =-=∈R ，所以
B 对；
对于C ，因为2i
1i
z =
+
，所以|2i |||2|1i |z =
≠+，所以C 错；对于D ，设i z x y =+，(,)x R y R ∈∈，由|i ||3i |z z +=-
=理得1y =，即|i ||3i |z z +=-的轨迹是直线1y =，所以||z 的最小值为点(0,0)到直线1y =的距离，即min ||1z =，所以D 对．故选：BD ．
12．下列说法正确的是（）
A ．在ABC 中，若0A
B B
C ⋅>
，则ABC 为锐角三角形B ．若(3,4),(1,2)a b ==-，则a 在b
方向上的投影向量为(1,2)-C ．若(1,)(2,2)a k b ，==，且a b + 与a 共线，则a b
⊥
D ．设M 是ABC 所在平面内一点，且330,22MB MA MC ++=uuu r uuu r uuu r r 则4ABC
MAC
S S =V V 【正确答案】BD
【分析】A 根据向量数量积为负，确定其夹角为钝角，从而判断；B 求向量投影判断；C 用反证法判断；D 用向量加法几何意义判断．
【详解】解：对于A ，因为0AB BC ⋅> ，所以0BA BC ⋅<uu r uu u r ，于是2
B π
∠>，所以ABC 为钝
角三角形，所以A 错；
对于B ，因为(3,4),(1,2)a b ==-
，则a 在b 方向上的投影向量为2
5
(1,2)(1,2)5||||||a b b a b b b b b ⋅⋅⋅=⋅=⋅-=- ，所以B 对；
对于C ，假设C 对，则a b ⊥
，从而220a b k ⋅=+= ，于是1k =-，所以(3,1)a b += 与(1,1)
a =- 不共线，所以与a
b +
与a
共线矛盾，所以C 错；
对于D ，取AC 中点D ，连接MB 、MD ，延长MD 到N ，使MD DN =，连接AN 、CN ，
则四边形ANCM 为平行四边形，于是1()2MD MA MC =+ ，又因为33022MB MA MC ++=
，
所以11()23MD MA MC MB =+=- ，所以B 、M 、D 共线，且1
4MD BD =，所以
4ABC MAC
S S =V V ，所以D 对．
故选：BD
．
三、填空题
13．复数z 的共轭复数为z ，已知26i z z -=（i 是虚数单位），则z =______【正确答案】2i
【分析】设()i ,z x y x y R =+∈，可得i z x y =-，代入条件根据复数相等可得答案.【详解】设()i ,z x y x y R =+∈，则i z x y =-则()()22i i 6i
z z x y x y -=+--=即3i 6i x y +=，所以036
x y =⎧⎨=⎩，即0
2x y =⎧⎨
=⎩
所以2i z =故2i
14．
在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，2,1AB AC AD ===，则ABC 的面积为______
【分析】由已知可得到12AD AB AC →
→→⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭，进一步222124AD AB AC AB AC →→→→→⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭
，进而通
过平面向量数量积的定义求出cos BAC ∠，再求出sin BAC ∠，最后利用面积公式得到答案.
【详解】由题意，12AD AB AC →
→→⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭，所以222124AD AB AC AB AC →→→→→⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭
，因为
2,1AB AC AD ===，所以()
1
13422cos cos
4BAC BAC =
++⨯∠⇒∠=
sin
4BAC ∠==，所以ABC 的面积为12244=.
故答案为15．“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜（如图，其反射面的形状为球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为底，垂直于圆面的直径被截得的部分为高，设球冠底的半径为r ，球冠的高为h ，则球的半径R =______________．
【正确答案】
22
2h r h
+【分析】作出图形，可知球心到截面圆的距离为R h -，利用勾股定理列等式可求得R .【详解】如下图所示：
球心到截面圆的距离为R h -，由勾股定理可得()2
22R h r R -+=，化简得222r h Rh +=，解得22
2r h R h +=.
故答案为.
22
2h r h
+四、解答题
16．已知i 是虚数单位，设复数121i,2i()z z m m R =+=-∈.（1）若12z z 为纯虚数，求m 的值；
（2）若2
1
z z 在复平面上对应的点位于第三象限，求m 的取值范围.
【正确答案】（1）2
m =-（2）()
2,2-【分析】（1）利用复数的乘法运算、纯虚数的定义即可得出答案.
（2）利用复数的除法运算、复数在复平面上对应的点的坐标即可得出答案.【详解】由复数121i,2i()
z z m m R =+=-∈则()()()121i 2i 22i m m z m z =+-=++-，由12z z 为纯虚数所以2020
m m +=⎧⎨-≠⎩，所以2
m =-（2）
()()()()
()212i 1i 22i 2i 1i 1i 1i 2m m m z m z ----+-===++-由
2
1
z z 在复平面上对应的点位于第三象限
所以2
02
202m m -⎧<⎪⎪⎨+⎪-<⎪⎩
，解得22
m -<<m 的取值范围：()
2,2-17．已知单位向量12e e ，的夹角60︒，向量1221a e e b e te t R =+=-∈
，，.（1）若//a b
，求t 的值；
（2）若2t =，求向量a b
，的夹角.
【正确答案】（1）1t =-；（2）
23
π
.【分析】（1）根据题意，设a kb =
，又12,e e 不共线，根据系数关系，列出方程，即可求出t
的值；
（2）根据题意，设向量,a b
的夹角为θ；由数量积的计算公式可得b 、a r 以及a b ⋅ ，又由
cos a b
a b
θ⋅=⋅
，即可求出结果．
【详解】（1）根据题意，向量1221a e e b e te =+=-r u r u r r u r u r
,，若//a b
，设a kb = ，
则有()()
122112e e k e te kte ke +=-=-+u r u r u r u r u r u r ，
则有11kt k =-⎧⎨=⎩
，解可得1t =-；
（2）根据题意，设向量,a b
的夹角为θ；
若2t =，则212b e e =-
，
所以()
2
222
21
212124cos 604523b e e e e e e =-=-⋅︒+=-=r u r u r u r u r u r u r ，
所以b = ，
又12a e e =+
，则()
2
22212
12122cos 601113a e e e e e e =+=++⋅︒=++=r u r u r u r u r u r u r
，
所以a =
又()()
22122121121322cos 601222
a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=--︒=--=-r r u r u r u r u r u r u r u r u r ，
所以3
12cos 2a b
a b
θ-⋅==
-⋅r r r r ，
又由0θπ≤≤，所以23
πθ=
；故向量,a b 的夹角为23
π
．
本题考查了平面向量共线定理和平面向量数量积的计算，涉及向量模、夹角的计算公式，属于基础题．
18
．已知函数2
()cos 22f x x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭
.
（1）求函数f （x ）的单调性；
（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c
，且2A f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，a =c ＝1，求
△ABC 的面积.
【正确答案】（1）在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增，在511,1212k k ππππ⎛
⎤++ ⎥⎝⎦
上单调递减，k ∈Z ；（2
（1）利用二倍角公式逆应用和辅助角公式化简整理，求单调区间即可；（2）求出A 角，利用正弦定理得C 角和B 角，再由1
sin 2
ABC S ac B ∆=
计算即可.【详解】解：（1）(
)
)sin 21cos 2sin 222sin 23f x x x x x x π⎛
⎫=++==- ⎪⎝
⎭，
由222232k x k πππππ--+，得51212
k x k ππ
ππ-+，k ∈Z ；由32222
3
2k x k π
π
πππ+
<-
+
，得5111212
k x k ππ
ππ+<+，k ∈Z .
故f （x ）在5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上单调递增，在511,1212k k ππππ⎛
⎤++ ⎥⎝⎦上单调递减，k ∈Z ；（2
）2sin 23A f A π⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
sin 3A π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
，
∵A ∈（0，π），∴3
3
A π
π
-
=
，即23
A π
=
，由正弦定理得，sin sin a c A C =
1
sin 2
C =
，解得1sin 2C =，∴6
C π=或56π，
当C ＝
56π时，A +C ＞π，舍去，所以6
C π=，故6B π
=，
∴111sin 1222ABC S ac B ∆=
=⨯=
.本题考查了三角恒等变换、三角函数单调区间和解三角形的综合应用，属于中档题.19．如图，在平面四边形ABCD 中，2,AC CD AD BC BC CA ====⊥.
（1）求BA BD ⋅
的值；
（2）若BD mBA nBC =+
，求m n +的值
【正确答案】（1）6；（2）
2
2
+.【分析】（1）由已知得ACD 是边长为2等边三角形，ACB △是直角边长为2等腰直角三角形，
45BAC ∠=
，60CAD ∠=o
，所以BA BD BA BA BA AD ⋅=⋅+⋅ ，由数量积公式可得答案；
（2）取AC 的中点E ，连接DE 得//BC DE ，2
DE CB
=
，所以1
2BD CD CB CA =-=-，又()BD mCA n m CB =-+可得答案.【详解】（1）因为2AC CD AD BC ====，所以ACD 是边长为2等边三角形，因为BC CA ⊥，所以ACB △是直角边长为2等腰直角三角形，
且BA =，45BAC ∠= ，60CAD ∠=o ，
所以()
BA BD BA BA AD BA BA BA AD
⋅=⋅+=⋅+⋅
(()()
2
cos 180604584530BA AD =+⋅--=++
1
826
222⎫
=+⨯⨯=⎪⎪⎭
.（2）取AC 的中点E ，连接DE ，则AC ED ⊥，所以//BC DE ，
在DEC Rt △中，cos 30DE CD =⨯=DE =
，所以
1122222
BD CD CB CE ED CB CA CB CB CA CB =-=+-=--=-，
又
()
()BD mBA nBC m CA CB nCB mCA n m CB =+=--=-+，
所以1
,2
m n m =
+=
n =
所以n m +=
20．已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，在条件
①222()(cos cos )a b c a B b A abc +-⋅+=，条件②sin cos()6c A a C π
=-这两个条件中任选一个
作为已知条件，解决以下问题.
（1
）若c =ABC 的外接圆直径；（2）若ABC ∆的周长为6，求边c 的取值范围.【正确答案】（1）2
（2）[)
2,3【分析】（1）选择①：结合正弦定理和已知条件，推出a 2+b 2﹣c 2＝ab ，再由由余弦定理，求得3
C π
=
，然后由2sin c
R C
=
可得解；选择②：利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角差的余弦公式、同角三角函数的商数关系，求得3
C π
=，然后由2sin c
R C
=
可得解；（2）由（1）知3
C π
=
，由正弦定理，知,sin a A b B =
，结合两角差的正弦公式、辅助角公式，推出
612sin()
6
c A π=
++，然后根据正弦函数的图象与性质，得解．
【详解】解：（1）选择①：由正弦定理知，
sin a A ＝sin b B ＝sin c C
，∵()()222
cos cos a b c a B b A abc
+-⋅+=
∴()
()222
sin cos sin cos sin a b c A B B A
ab C +-⋅+=∴()()222sin sin a b c A B ab C +-⋅+=，即()222
sin sin a b c C ab C +-⋅=，
∵sin C ≠0，所以222a b c ab +-=，
由余弦定理知，cos C ＝222
2a b c ab
+-＝
122ab ab =，又0C π<<∴3
C π
=
，
由2sin c
R C
=，知2R
sin 3
2，∴R ＝1，
∴△ABC 的外接圆直径为2．选择②：由正弦定理知，sin a
A ＝sin c C
，∵sin cos()6
c A a C π
=-，
∴sin C sin A ＝sin A cos 6C π⎛
⎫-
⎪⎝
⎭
，∵sin A ≠0，∴sin C ＝cos 6C π⎛
⎫-
⎪⎝
⎭
，
∴1
sin sin 22C C C =
+，即sin C
C ，∴tan C ＝sin cos C
C
∵0C π
<<∴3
C π
=
，
由2R ＝sin c
C
，知2R
sin 3
2，∴R ＝1，
∴△ABC 的外接圆直径为2．（2）由（1）知，3
C π
=
，
由正弦定理知，sin a A ＝sin b
B ＝sin c
C ＝sin 3
c
π
∴a
A ，b
sin B ，∵△ABC 的周长为6，所以(
)
)266sin sin 6sin sin 3
c a b A B A A π
⎤
⎛⎫=-+=-
+=-
+- ⎪⎥⎝⎭⎦
1
6sin cos sin 62sin
226A A A c A π⎡⎤⎛
⎫=-+
+=-+⎥ ⎪
⎝
⎭⎦
∴c ＝
6
12sin()
6A π++
，
∵20,
3A π
⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴A +5,666πππ⎛⎫∈ ⎪
⎝⎭，1sin ,162A π⎛
⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦
，所以[)2,3c ∈．
21．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为
（1）求圆锥的底面积；
（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.【正确答案】（1）3π；（2）9
8
π.
（1）先由圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径，再求圆锥的底面积；
（2）圆柱的高1OO h =，OD r =，再由11AO D △AOB 求出,h r 的关系式，进而得出圆柱的侧面积，再结合二次函数的性质以及圆柱的体积公式求解即可.【详解】解：（1）沿母线AB 剪开，侧展图如图所示：
设OB R =，在半圆⊙A 中，AB =弧长'BB =，
这是圆锥的底面周长，所以2R π=，所以
R =，
故圆锥的底面积为2
3S R ππ==圆锥；
（2）设圆柱的高1OO h =，OD r =，
在Rt AOB 中，3AO =，
11AO D △AOB ，所以
111
AO O D AO OB
=，
即
3
3h -=3h =，222(3)()S rh r r ππ===-
圆柱侧面积，
2
22r π⎛=--+ ⎝⎭
，
所以，当2
r =
，32h =时，圆柱的侧面积最大，
此时2
9
8
V r h ππ==圆柱.
关键点睛：在第一问中，关键是由圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等，从而求出圆锥底面圆的半径.
五、单选题22．函数1
()ln 1
f x x x =++的定义域是（）A ．(1,0)-B ．(1,)
-+∞C ．(0,)+∞D ．
,1(1,)∞∞--⋃-+（）【正确答案】C
【分析】由解析式有意义列不等式求x 的取值范围即可.【详解】因为1
()ln 1
f x x x =
++有意义，所以0,10x x >+≠，解不等式可得0x >，所以函数1
()ln 1
f x x x =
++的定义域是(0,)+∞，
故选：C.
23．已知点()tan ,cos P αα在第三象限，则角α的终边位置在（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【正确答案】B
【分析】由P 所在的象限有tan 0,cos 0αα<<，即可判断α所在的象限.【详解】因为点()tan ,cos P αα在第三象限，所以tan 0,cos 0αα<<，
由tan 0α<，可得角α的终边在第二、四象限，
由cos 0α<，可得角α的终边在第二、三象限或x 轴非正半轴上，所以角α终边位置在第二象限，故选：B.
24．设0.73a =，0.7log 0.8b =，3tan 4
c π
=，则,,a b c 的大小关系为（）
A ．c b a <<
B ．b a c <<
C ．b<c<a
D ．c a b
<<【正确答案】A
【分析】由指数函数，对数函数单调性分析a 和b 与1和0的关系，由正切函数性质分析c 与1和0的关系，即可得出答案.【详解】0.70331a =>=，即1a >，
0.70.7log 0.8log 0.71b =<=，且0.70.7log 0.8log 00b =>=，即01b <<，
由正切函数性质可知3tan 04
c π
=<，即0c <，故c b a <<，故选：A.
25．函数()22log f x x x =-+的零点所在的区间为（）
A ．()01，
B ．()12，
C ．()23，
D ．()34，
【正确答案】B
【分析】判断函数的单调性，计算区间端点处函数值，由局零点存在定理即可判断答案.【详解】函数()22log f x x x =-+,0x >是单调递增函数，
当0x +→时，()f x →-∞，
2(1)1,(2)10,(3)1log 30,(4)40
f f f f =-=>=+>=>，
故(1)(2)0
f f ⋅<故函数的零点所在的区间为()12，
，故选：B
26．奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()1
32
x
f x =+
，则()2023f =（）
A ．72
-B ．32
C ．
72D ．
552
【正确答案】A
【分析】由()(4)f x f x =+，可得到函数()f x 的周期是4，利用函数的周期性和奇偶性，将
()2023f 转化为()1f -，代入函数解析式求解即可.
【详解】解：已知奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，()f x ∴是以4为周期的奇函数，
又当()0,2x ∈时，()132
x
f x =+
，()()()()1172023311322f f f f ⎛
⎫∴==-=-=-+=- ⎪⎝
⎭，
故选：A.
27．已知函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭（0ω>）
，若()f x 在2π0,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则ω的取值范围是（
）
A ．5
[,4)
2
B ．5
[,)
2
+∞C ．511[,22
D ．5[,4]
2
【正确答案】A 【分析】求出π3x ω+
的范围，数形结合得到关于
2ππ
33
ω+的范围，求出ω的取值范围.【详解】2π0,3x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，0ω>，则ππ2ππ,
3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，故
[)2ππ2π,3π33
ω+∈，解得.5
[,4)2ω∈
故选：A
六、多选题
28．下列命题为真命题的是（）
A ．若0a b >>，则22ac bc >
B ．若0a b >>，则22a b >
C ．若0a b <<，则22a ab b <<
D ．若0a b <<，则
11a b
>【正确答案】BD
【分析】利用不等式的运算法则与性质即可求解.【详解】对于A ：当0c =，22ac bc =，故A 错误；对于B ： 0a b >>，∴22a b >，故B 正确；对于C ：当2a =-，1b =-时，则24a =，2ab =，21b =，则22a ab b >>，故C 错误；对于D ： 0a b <<，∴11
a b
>，故D 正确；故选：BD.
29．下列说法正确的是（
）
A ．命题3:0,0p x x ∀>>的否定为.30,0x x ∃>≤
B ．2()lg f x x =与()2lg g x x =为同一函数
C ．若幂函数()y f x =的图象过点，则(9)2f =
D ．函数2x y =和2log y x =的图象关于直线y x =对称【正确答案】AD
【分析】根据全称量词的否定是存在量词，可知A 正确；根据两个函数的定义域不同，可知B 不正确；利用待定系数法求出()f x 的解析式，再根据解析式求出(9)f ，可知C 不正确；根据函数2x y =与2log y x =互为反函数，可知D 正确.
【详解】对于A ，命题3:0,0p x x ∀>>的否定为：30,0x x ∃>≤，故A 正确；对于B ，2()lg f x x =与()2lg g x x =的定义域不同，所以不为同一函数，故B 不正确；
对于C ，设()f x x α=，则(2)2a f ==，所以1
2
α=
，所以12(9)93f ==，故C 不正确；对于D ，函数2x y =与2log y x =互为反函数，它们的图象关于直线y x =对称，故D 正确.故选：AD
30．已知函数()sin(3)f x x ϕ=+2
2π
πϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（
）
A ．函数12f x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭为奇函数
B ．函数()f x 在123ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上单调递增
C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3
πD ．函数()f x 的图象向右平移4
π
个单位长度得到函数cos3y x =-的图象【正确答案】AC
利用()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4
x π
=
对称，即可求出ϕ的值，从而得出()f x 的解析
式，再利用三角函数的性质逐一判断四个选项即可.【详解】因为()sin(3)f x x ϕ=+的图象关于直线4
x π
=对称，
所以()34
2
k k Z π
π
ϕπ⨯+=
+∈，
得4
k π
ϕπ=-
+，Z k ∈，因为22
ππ
ϕ-
<<，所以0,4k πϕ==-，
所以()sin 34f x x π⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭
，对于A ：sin 3sin 312124f x x x πππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，所以
12f x π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭为奇函数成立，故选项A
正确；
对于B ：123x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，30,434x ππ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦-，函数()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数；故选项B
不正确；
对于C ：因为()max 1f x =，()min 1f x =-，又因为()()122f x f x -=，所以12x x -的最小值为半个周期，即
21323
ππ
⨯=，故选项C 正确；对于D ：函数()f x 的图象向右平移
4
π
个单位长度得到
()sin 3sin 3sin 344y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=--=-=- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，故选项D 不正确；故选：AC
本题主要考查了利用三角函数的对称轴求函数解析式，考查了三角函数平移变换、三角函数的周期、单调性、最值，属于中档题
七、填空题
31．
已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<的图象如图所示.则函数()f x 的解析式为_________.
【正确答案】()2sin(2)
3f x x π
=+【分析】根据最值可求A ，根据周期可求ω，代入特殊值可求ϕ.
【详解】由图可知，2A =， 313341234
T πππ=-=，∴T π=， 2T ππω==，∴2ω=，又0ω>，
∴2ω=.
∴()()()2sin 2,0f x x ϕϕπ=+≤<，当3x π
=时，()222sin 02333f k k Z πππϕϕππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，解得3πϕ=.故答案为.()2sin(2)
3f x x π
=+32．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成
的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧 AB 的长度为π，则该勒洛三角形的面积为
___________.
【正确答案】92
π-【分析】计算出等边ABC 的边长，计算出由弧 AB 与AB 所围成的弓形的面积，进而可求得勒洛三角形的面积.
【详解】设等边三角形ABC 的边长为a ，则
3a ππ=，解得3a =，
所以，由弧 AB 与AB
所围成的弓形的面积为
22211939sin 323236424a a ππππ⨯-⨯=⨯-=-，
所以该勒洛三角形的面积332S π⎛=⨯= ⎝⎭
.故答案为
.92
π-八、解答题
33．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为03(,)5
y ，且3(,2)2
παπ∈.(1)求sin α的值；
(2)求9cos()cos(23sin()tan()2
ππααπααπ-+++⋅-）的值.【正确答案】(1)45-(2)1
4
【分析】（1）由三角函数的定义与三角函数的象限符号即可求解；
（2）由同角三角函数的关系即可求解.
【详解】（1）∵角α的终边与单位圆的交点为M 03(,)5
y ∴35=
cos α∵3(,2)2
παπ∈∴sin 0α<
∴4sin 5α==-
.（2）原式cos sin cos sin 1tan cos tan sin tan ααααααααα--++=
==-⋅又∵sin tan s 43co ααα=
=-∴原式4
113443
-==-34．某居民小区欲在一块空地上建一面积为21200m 的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m ，东西的人行通道宽4m ，如图所示（图中单位：m ）
，问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？
【正确答案】设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小5282m ．
【分析】设矩形停车场南北侧边长为m x ，则其东西侧边长为1200x
m ，人行通道占地面积为1200(6)81200S x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭
，再由基本不等式可得答案.【详解】设矩形停车场南北侧边长为()m 0x x >，则其东西侧边长为
1200x
m ，人行通道占地面积为
()212007200681200848m S x x x x ⎛⎫=++-=++ ⎪⎝⎭，
由均值不等式，得2720084848224048528m S x x =+
+≥=⨯+=，当且仅当72008x x =，即30m x =时，2min 528m S =，此时120040m x =．所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m ，则其东西侧边长为40m ，人行通道占地面积最小528m 2．
35．已知函数()()2f x x ax b a b R =+-∈，．
(1)若1b =-，且函数()f x 有零点，求实数a 的取值范围；
(2)当1b a =-时，解关于x 的不等式()0f x ≤；
(3)若正数a b ，满足43a b
+≤，且对于任意的[)()10x f x ∈+∞≥，，恒成立，求实数a b ，的值．【正确答案】(1)(,2][2,)-∞-+∞ ；
(2)2a <时[1,1]a --；2a =时{}1-；2a >时[1,1]a --；
(3)1,2a b ==；
【分析】(1)由240a ∆=-≥可得结果；(2)1b a =-时，()21
f x x ax a =++-()()11x x a =++-，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法求解即可；
(3)[)1x ∈+∞，
时()0f x ≥恒成立，当且仅当()10f ≥，即10a b +-≥，即1a b ≥-，由43a b
+≤，可得43a b ≤-，则413b b -≤-，解不等式即可的结果．【详解】(1)1b =-时，()21f x x ax =++，
由函数()f x 有零点，可得240a ∆=-≥，即2a ≤-或2a ≥；
(2)1b a =-时，()21f x x ax a =++-()()11x x a =++-，
当11a -<-即2a <时，()0f x ≤的解集为[]11
a --，，当11a -=-即2a =时，()0f x ≤的解集为{}1-，
当11a ->-即2a >时，()0f x ≤的解集为[]11a --，
；(3)二次函数()f x 开口响上，对称轴2
a x =-，由2a >可得()f x 在[)1+∞，单调递增，[)1x ∈+∞，时()0f x ≥恒成立，当且仅当()10f ≥，即10a
b +-≥，即1a b ≥-，
由43a b +≤，可得43a b
≤-，则413b b
-≤-，由0>可得2440b b -+≤，即()220b -≤，则2b =，此时11a ≤≤，则1a =．
本题主要考查函数的零点、一元二次不等式的解法、二次函数的性质以及分类讨论思想的应用，属于中档题．分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中．36．设函数()212x x
a f x =+-(a 为实数).(1)当0a =时，求方程1|()|2
f x =的实数解；(2)当1a =-时，存在[1,2]t ∈使不等式22(2)(2)0f t t f t k --->成立，求k 的范围；【正确答案】(1)=1x -或2
3
log 2x =(2)(3,)
+∞【分析】（1）代入得1|()|2
f x =，解出x 值即可；（2）根据复合函数单调性得1()212x x f x =--在R 上单调递增，转化为2222t t t k ->-，则
()2min 2k t t >+，求出右边最小值即可.
【详解】（1）当0a =时，()21x f x =-，则1|()|2f x =⇔1212x -=-或1212x -=，⇔=1x -或23log 2
x =.（2）当1a =-时，1()212x x f x =-
-，因为2x y =在(,)-∞+∞上单调递增，12x
y =在(,)-∞+∞上单调递减，所以1()212x x f x =--在R 上单调递增.因为存在[1,2]t ∈，使不等式22(2)(2)0f t t f t k --->成立，
所以22(2)(2)f t t f t k ->-，所以2222t t t k ->-，所以只需()2min 2k t t >+，
又当[1,2]t ∈时，()22211t t t +=+-，
则当1t =时，()22min 21213t t +=+⨯=，所以3k >，
.即k的取值范围为(3,)。