高中数学必修四课时作业16：1.1.2 弧度制

1．1.2 弧度制
一、选择题
1．下列说法中，错误的是()
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1°的角是周角的1
360，1 rad的角是周角的1
2π
C．1 rad的角比1°的角要大
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
[考点]弧度制
[题点]弧度制定义、应用
[答案] D
[解析]根据1度，1弧度的定义可知只有D是错误的，故选D.
2．下列说法中，错误的是()
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
[考点]弧度制
[题点]弧度制定义
[答案] D
[解析]根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．
3．－240°化为弧度是( )
A ．－43π
B ．－53π
C ．－74π
D ．－76π
[考点] 弧度制
[题点] 弧度制角度制互化
[答案] A
[解析] －240°＝－240×π180＝－43π.
4．设角α＝－2弧度，则α终边所在的象限为( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[考点] 弧度制
[题点] 弧度制应用
[答案] C
[解析] ∵－π<－2<－π2，
∴2π－π<2π－2<2π－π2，
即π<2π－2<32π，
∴2π－2为第三象限角，∴α为第三象限角．
5．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为(
) A ．α＋β＝0 B ．α－β＝0
C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )
D ．α－β＝2k π＋π2(k ∈Z )
[考点] 弧度制
[题点] 弧度制应用
[答案] D
6．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )
A ．－34π
B ．－2π
C ．π
D ．－π
[考点] 弧度制的应用
[题点] 弧度制的应用
[答案] A
[解析] ∵－114
π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π ＝2×(－1)π＋⎝⎛⎭
⎫－34π， ∴θ＝－34
π. 7．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为( )
A ．40π cm 2
B ．80π cm 2
C ．40 cm 2
D ．80 cm 2
[考点] 弧度制
[题点] 扇形面积公式
[答案] B
[解析] ∵72°＝2π5
， ∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5
×202＝80π(cm 2)． 8．若扇形的半径变为原来的2倍，弧长增加到原来的2倍，则( )
A ．扇形的面积不变
B ．扇形的圆心角不变
C ．扇形的面积增加到原来的2倍
D ．扇形的圆心角增加到原来的2倍
[考点] 弧度制、扇形面积与弧长公式
[题点] 扇形面积公式
[答案] B
[解析] 设原来的扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则变化后的扇形的半径为2r ，弧长为2l ，圆心角为β，l ＝αr ,2l ＝2rβ，所以α＝β.
二、填空题
9．若角θ的终边与8π5角的终边相同，则在[0,2π]内终边与角θ4
的终边相同的角是 ． [考点] 弧度制
[题点] 弧度制应用
[答案] 2π5，9π10，7π5，19π10 [解析] ∵θ＝8π5＋2k π，k ∈Z ，∴θ4＝2π5＋k π2
，k ∈Z .
当k ＝0,1,2,3时，θ4＝2π5，9π10，7π5，19π10且θ4
∈[0,2π]． 10．圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数是 ．
[考点] 扇形弧长与面积公式
[题点] 扇形弧长公式
[答案] 2 3
[解析] 设圆的半径为r ，其外切正三角形的边长为a ，
则r ＝13×32×a ＝36
a ，又弧长为a ， 所以圆心角为α＝a r ＝a 36
a ＝63＝2 3. 11．如果圆心角为2π3
的扇形所对的弦长为23，则扇形的面积为 ． [考点] 扇形弧长与面积公式、弧度制应用
[题点] 扇形弧长公式、面积公式
[答案] 4π3
[解析] 如图，作BF ⊥AC .已知AC ＝23，∠ABC ＝2π3
，
则AF ＝3，∠ABF ＝π3. ∴AB ＝AF sin ∠ABF
＝2，即R ＝2. ∴弧长l ＝|α|R ＝4π3，∴S ＝12lR ＝4π3
.
12．已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π12
，则α，β，γ，θ，φ的大小关系为 ． [考点] 弧度制
[题点] 角度、弧度互化
[答案] α<β<γ<θ＝φ
[解析] 方法一 (化为弧度)：
α＝15°＝15×π180＝π12，θ＝105°＝105×π180＝7π12
. 显然π12<π10<1<7π12
，故α<β<γ<θ＝φ. 方法二 (化为角度)：
β＝π10＝π10×⎝⎛⎭⎫180π°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝7π12×⎝⎛⎭
⎫180π°＝105°. 显然15°<18°<57.30°<105°，故α<β<γ<θ＝φ.
三、解答题
13．已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3
. (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；
(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～－180°范围内找出与它们终边相同的所有角．
解 (1)α1＝－570°＝－570π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6
， α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6
. 故α1＝－19π6，α2＝25π6
， α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限．
(2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，β2＝－π3＝－13
×180°＝－60°. 设θ1＝108°＋k 1·360°(k 1∈Z )，θ2＝－60°＋k 2·360°(k 2∈Z )，
则由－720°≤θ1<－180°(k ∈Z )，
－720°≤θ2<－180°(k ∈Z )，
即－720°≤108°＋k 1·360°<－180°(k 1∈Z )，
－720°≤－60°＋k 2·360°<－180°(k 2∈Z )，
得k 1＝－2，－1，k 2＝－1.
故在－720°～－180°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°，与β2终边相同的角是－420°.
14.如图所示的图中，已知圆心角∠AOB ＝2π3
，半径OC 与弦AB 垂直，垂足为点D .若CD 的长为a ，求¼
ACB 的长及其与弦AB 所围成的弓形ACB 的面积． [考点]
[题点]
解 设圆半径为r ，¼ACB 的长为m ，
由题意，得m r ＝2π3.
而∠AOD ＝π3，
所以OD ＝12OA ＝r 2.
所以CD ＝12OC ＝r 2＝a .
所以r ＝2a .
所以m ＝4πa 3，S 扇形OACB ＝12r ·m ＝4π
a 23.
又AB ＝2AD ＝23a ，
S △OAB ＝12OD ·AB ＝12·a ·23a ＝3a 2.
所以S 弓形ACB ＝⎝⎛⎭⎫4π
3－3a 2.
15．如图，已知一个长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方形木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A 走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积．
[考点] 扇形的弧长与面积公式
[题点] 扇形的弧长与面积公式的综合应用
解 AA 1所在圆弧的半径是2 dm ，圆心角为π2；A 1A 2所在圆弧的半径是1 dm ，圆心角为π2
； A 2A 3所在圆弧的半径是 3 dm ，圆心角为π3，所以走过的路程是3段圆弧之和，即2×π2＋1×π2＋3×π3＝9＋236π(dm)； 3段圆弧所对的扇形的总面积是12×2×π＋12×π2＋12×3×3π3＝7π4
(dm 2)．。